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2019年高考數(shù)學新一輪復習 詳細分類題庫 考點42 拋物線（文、理）（含詳解，13高考題） 一、選擇題 1. （xx四川高考文科Ｔ5）拋物線的焦點到直線的距離是（ ） A. B. C. D. 【解題指南】本題考查的是拋物線的基本幾何性質(zhì),在求解時首先求得拋物線的焦點坐標,然后利用點到直線的距離公式進行求解即可. 【解析】選D，拋物線的焦點到直線的距離，根據(jù)點到直線的距離公式可得，故選D. 2.（xx北京高考理科Ｔ7）直線l過拋物線C:x2=4y的焦點且與y軸垂直，則l與C所圍成的圖形的面積等于（ ） A. B.2 C. D. 【解題指南】把所求面積轉(zhuǎn)化為一個矩形面積減去一個積分值。 【解析】選C。的方程是，所以求面積相當于一個矩形面積減去一個積分值： . 3.（xx新課標全國Ⅱ高考文科Ｔ10）設(shè)拋物線的焦點為，直線過且與交于，兩點。若，則的方程為（ ） A.或 B.或 C.或 D.或 【解題指南】設(shè)出A、B點的坐標，利用拋物線的定義表示出，再利用，確立的方程. 【解析】選C. 拋物線y2=4x的焦點坐標為（1，0），準線方程為x=-1，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則因為|AF|=3|BF|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2，因為|y1|=3|y2|，x1=9x2，所以x1=3，x2=，當x1=3時，，所以此時，若，則,此時,此時直線方程為。若，則,此時,此時直線方程為. 4.(xx新課標全國Ⅱ高考理科T11)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點M在C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過點(0,2),則C的方程為　(　　) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x 【解題指南】結(jié)合已知條件,設(shè)出圓心坐標,然后借助拋物線的定義,確定拋物線的方程. 【解析】選C.由題意知:F,準線方程為,則由拋物線的定義知,xM=,設(shè)以MF為直徑的圓的圓心為,所以圓的方程為又因為過點(0,2),所以yM=4,又因為點M在C上,所以16=2p,解得p=2或p=8,所以拋物線C的方程為y2=4x或y2=16x,故選C. 5. （xx大綱版全國卷高考文科Ｔ12）與（xx大綱版全國卷高考理科Ｔ11）相同 已知拋物線，兩點， 若，則（ ） A. B. C. D. 【解題指南】先求出拋物線的焦點，列出過焦點的直線方程，與拋物線聯(lián)立，化簡成關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系代入求解. 【解析】選D.由題意知直線的方程為，將其代入到得， ，設(shè)，， 則，① 又，② ③ 因為,所以， 即.④ 由①②③④得，. 二、 填空題 6.（xx北京高考文科Ｔ9）若拋物線y2=2px的焦點坐標為（1,0）則p=____;準線方程為_____ 【解題指南】利用拋物線的標準方程求解。 【解析】。 【答案】2， 7.(xx浙江高考理科T15)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點,過點P(-1,0)的直線l交拋物線C于A,B兩點,點Q為線段AB的中點,若|FQ|=2,則直線l的斜率等于　　　　. 【解題指南】由拋物線方程可知F的坐標,再利用待定系數(shù)法表示A,B兩點的坐標,根據(jù)|FQ|=2求解. 【解析】設(shè)直線l:y=k(x+1),由消去y得,k2x2+(2k2-4)x+k2=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則,x1x2=1,設(shè)AB的中點Q(x0,y0), 則,,因為|FQ|=2,F(1,0), 所以,所以k2=1,k=1. 【答案】1. 三、解答題 8.(xx福建高考理科T18)如圖,在正方形OABC中,O為坐標原點,點A的坐標為,點C的坐標為,分別將線段OA和AB十等分,分點分別記為A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9,連接OBi,過Ai作x軸的垂線與OBi交于點 (1)求證:點都在同一條拋物線上,并求拋物線E的方程. (2)過點C作直線l與拋物線E交于不同的兩點M,N,若△OCM與△OCN的面積之比為4∶1,求直線l的方程. 【解析】(1)依題意,過Ai(i∈N*,1≤i≤9)且與x軸垂直的直線方程為x=i, 因為Bi(10,i),所以直線OBi的方程為y=x, 設(shè)Pi坐標為(x,y),由得:y=x2,即x2=10y, 所以Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上,且拋物線E的方程為x2=10y. (2)依題意:直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx+10, 由得x2-10kx-100=0. 此時Δ=100k2+400>0,直線l與拋物線E恒有兩個不同的交點M,N, 設(shè):M(x1,y1),N(x2,y2),則 因為S△OCM=4S△OCN,所以,又因為x1x2<0,所以x1=-4x2, 分別代入①②,解得. 直線l的方程為,即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0. 9.(xx福建高考文科T20)如圖,拋物線E:y2=4x的焦點為F,準線l與x軸的交點為A.點C在拋物線E上,以C為圓心, 為半徑作圓,設(shè)圓C與準線l交于不同的兩點M,N. (1)若點C的縱坐標為2,求. (2)若,求圓C的半徑. 【解題指南】垂徑定理求圓的弦長MN,第(2)問,先設(shè)C的坐標,寫出圓方程,聯(lián)立方程,然后結(jié)合已知條件列式求解. 【解析】(1)拋物線y2=4x的準線l的方程為x=-1, 由點C的縱坐標為2,得點C的坐標為(1,2), 所以點C到準線l的距離d=2,又|CO|=. 所以. (2)設(shè),則圓C的方程為, 即x2-x+y2-2y0y=0. 由x=-1,得y2-2y0y+1+=0, 設(shè)M(-1,y1),N(-1,y2),則: 由|AF|2=|AM||AN|,得|y1y2|=4, 所以+1=4,解得y0=,此時Δ>0, 所以圓心C的坐標為或, 從而|CO|2=,|CO|=,即圓C的半徑為. 10. （xx陜西高考理科Ｔ20）已知動圓過定點A(4,0), 且在y軸上截得的弦MN的長為8. (1) 求動圓圓心的軌跡C的方程; (2) 已知點B(－1,0), 設(shè)不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點P, Q, 若x軸是的角平分線, 證明直線過定點. 【解題指南】由弦長的一半，半徑和弦心距構(gòu)成直角三角形列出方程，化簡后得出軌跡C的方程;直線過定點可抓住該題的關(guān)鍵x軸是的角平分線，即解之. 【解析】(1) A(4,0),設(shè)圓心，設(shè)圓心C(x,y),線段MN的中點為E,由幾何圖像知 (2) 設(shè)直線l的方程為y=kx+b,聯(lián)立. 設(shè)， 則 若x軸是的角平分線，則 =即k=-b, 故直線l的方程為y=k(x-1), 直線l過定點（1,0）. 11. （xx湖南高考理科Ｔ21）過拋物線的焦點F作斜率分別為的兩條不同的直線，且，相交于點A，B，相交于點C，D.以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，N為圓心）的公共弦所在的直線記為. （1）若，證明；； （2）若點M到直線的距離的最小值為，求拋物線E的方程. 【解題指南】(1)先寫出過拋物線焦點的直線方程,然后和拋物線方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系以及向量的坐標運算可得到結(jié)果. (2)利用拋物線的焦點弦長公式求出|AB|,此即圓M的直徑,進而可求出圓M的方程,同理可求出圓N的方程,再把兩圓的方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程,于是代入條件即可求解. 【解析】（1）由題意，拋物線E的焦點為，直線的方程為. 由，得，設(shè)A,B兩點坐標分別為，， 則是上述方程的兩個實數(shù)根，從而， ，所以點M的坐標為，，同理可得點N的坐標為， ，于是 ，由題設(shè)，，， 所以，故. （2）由拋物線的定義得，， 所以，從而圓M的半徑，故圓M的方程為， 化簡得 同理可得圓N的方程為.于是圓M,圓N的公共弦所在直線l的方程為，又，，則的方程為，因為，所以點M到直線l的距離 ，故當時，取最小值，由題設(shè)，，解得，故所求拋物線E的方程為.