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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第31講 推理與證明問題經(jīng)典回顧 理 題一： 若數(shù)列是等差數(shù)列，則有數(shù)列也是等差數(shù)列；類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則有數(shù)列 題二： 在等差數(shù)列中，若，則有等式 成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列中，若，則有等式 成立. 題三： 在一個(gè)有限實(shí)數(shù)列中，任意接連７項(xiàng)之和為負(fù)，任意接連11項(xiàng)之和為正，求證：這樣的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)不超過16. 題四： 用反證法證明：1，，2不可能是一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng) 題五： 找出三角形和空間四面體的相似性質(zhì)，并用三角形的下列性質(zhì)類比出四面體的有關(guān)性質(zhì)（1）三角形的兩邊之和大于第三邊. （2）三角形的中位線等于第三邊的一半，并且平行于第三邊. （3）三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心. （4）三角形的面積為S=（a+b+c）r（r為內(nèi)切圓半徑）. 題六： 如圖,平面中三角形有,類比平面研究三棱錐的元素關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是 題七： 將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖所示的0-1三角數(shù)表．從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，…，第次全行的數(shù)都為1的是第 行． 第1行　　　　　 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……………………………………… 題八： ⑴下面三個(gè)圖是由若干盆花組成形如三角形的圖案，每條邊（包括頂點(diǎn)）有n(n>1)盆花，每個(gè)圖案花盆總數(shù)為S，按此規(guī)律推斷，S與n的關(guān)系式是＿＿＿＿＿＿. n=2 n=3 n=4 S=3 S=6 S=9 ⑵觀察下列的圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，則第個(gè)圖中有 個(gè)小正方形. n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 題九： 已知：, 通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫出一般性的命題，并給出證明 題十： 觀察下列等式： ① cos2a=2-1; ② cos4a=8- 8+ 1; ③ cos6a=32- 48+ 18- 1; ④ cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1; ⑤ cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1. 可以推測(cè)，m – n + p = . 題十一： 對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y，定義運(yùn)算＝ax＋by＋cxy，其中a、b、c為常數(shù)，等號(hào)右邊的運(yùn)算是通常意義的加、乘運(yùn)算．現(xiàn)已知1*2＝3，2*3＝4，且有一個(gè)非零實(shí)數(shù)m，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有，則m＝　　　　?。? 題十二： 用表示不大于的最大整數(shù)．令集合，對(duì)任意和，定義，集合，并將集合中的元素按照從小到大的順序排列，記為數(shù)列． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值； 題十三： 設(shè)函數(shù)中，均為整數(shù)，且均為奇數(shù).求證：無整數(shù)根. 題十四： 已知，求證：中至少有一個(gè)不小于. 第31講 推理與證明問題經(jīng)典回顧 題一： 詳解：由已知“等差數(shù)列前n項(xiàng)的算術(shù)平均值是等差數(shù)列”可類比聯(lián)想“等比數(shù)列前n項(xiàng)的幾何平均值也應(yīng)該是等比數(shù)列”不難得到 題二： 詳解： 等差數(shù)列用減法定義性質(zhì)用加法表述（若且則）； 等比數(shù)列用除法定義性質(zhì)用乘法表述（若且則）. 由此，猜測(cè)本題的答案為： 事實(shí)上，對(duì)等差數(shù)列，如果，則 . 所以有： ） （）.從而對(duì)等比數(shù)列，如果，則有等式：成立. 題三： 證明：假設(shè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)至少是17，則有x1+x2+…＋x7<0，x2+x3+…＋x8<0，…，x１１+x１２+…＋x17<0，將以上各式相加得：（x1+x2+…＋x11）+（x２+x３+…＋x１２）＋…＋（x７+x８+…＋x１7）<0，＊但這與條件任意接連11項(xiàng)之和為正，即x1+x2+…＋x１１>0，x2+x3+…＋x１２>0，…，x７+x８+…＋x１7>0，相矛盾，故項(xiàng)數(shù)不超過16. ＊處所說的各式相加后, x1一共有1個(gè), x2一共有2個(gè), x3一共有3個(gè),…x7一共有7個(gè), x8, x9, x10, x11分別一共有7個(gè), x12一共有6個(gè), x13一共有5個(gè),…x17一共有1個(gè). 題四： 證明：,假設(shè)1，，2是一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng),設(shè)這一等差數(shù)列的公差為d，則，其中m，n為某兩個(gè)正整數(shù)，由上兩式中消去d，得到，因?yàn)闉橛欣頂?shù)，為無理數(shù)，所以，因此假設(shè)不成立，1，，2不能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)。 題五： 見詳解 詳解:我們通過分析三角形和四面體的有關(guān)性質(zhì)，知道它們有下列的共同性質(zhì)： （1）三角形是平面內(nèi)由直線段圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形，四面體是空間中由平面三角形所圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形. （2）三角形可以看作平面上一條線段外一點(diǎn)及這條線段上的各點(diǎn)所形成的圖形；四面體可以看作三角形外一點(diǎn)與這個(gè)三角形上的各點(diǎn)的連線所圍成的圖形.通過類比推理，并根據(jù)三角形的性質(zhì)可以推測(cè)空間四面體有如下性質(zhì): 我們從上面的例子可以知道合情推理常常能幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，也常常能為我們提供解題思路和方向，但是類比推理的結(jié)論可能為真，也可能為假，它是由特殊到特殊的推理的推理，如果類比的兩類事物的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間越類似，類比得出的結(jié)論就越可靠，要確定它結(jié)論的真假，還需要我們?nèi)ミM(jìn)一步證明. 題六： 詳解:其中,,分別為點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)C引出的對(duì)邊上的高線.通過類比證明這兩個(gè)結(jié)論. 可以得出的正確結(jié)論是: ,其中,,,分別為點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)C,點(diǎn) D引出的對(duì)面的高線, 分別為點(diǎn)P引出的面BCD,ACD,ABD,ABC上的高線. （1）證明: 證明： （2）證明: 證明： 題七： 第行． 詳解: 要注意答案不是，即第５行的全行不是１，我們不妨把楊輝三角在草稿紙上寫出，看看到底第三個(gè)全行為１的是第幾行． 第次全行的數(shù)都為1的是第行． 題八： S=3n-3；. 詳解:⑴題目給出了“每條邊（包括頂點(diǎn)）有n(n>1)盆花”，而三角形有三條邊，因此，三條邊上的的花盆數(shù)量為3n，但每個(gè)頂點(diǎn)上的花盆用了兩次，必須減去.所以S=3n-3. ⑵設(shè)小正方形個(gè)數(shù)為，觀察圖形,當(dāng)n=1時(shí),, 當(dāng)n=2時(shí),, 當(dāng)n=3時(shí),, 當(dāng)n=4時(shí),, 當(dāng)n=5時(shí),,…可得 =. 題九： 詳解: 觀察可得兩個(gè)式子都是平方項(xiàng)的和，角度依次相差，等式的右邊都是常數(shù)，由此可類比得出一般性的等式：． 證明：左邊 所以 題十： 962 詳解:觀察發(fā)現(xiàn)，各式右邊每項(xiàng)系數(shù)和均為１．則，得．又觀察，每式展開的最高次冪系數(shù)規(guī)律得， ．每式展開的２次冪系數(shù)依次正負(fù)相間規(guī)律得，應(yīng)為正值，現(xiàn)只考察２,８,１８,３２,這幾個(gè)數(shù)的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每項(xiàng)與前項(xiàng)的差成等差數(shù)列６,１０,１４,．．．則．將，代入得，從而得． 題十一： m =4 詳解:由已知條件知 12=a+2b+2c=3 ① 23=2a+3b+6c=4 ② xm=ax+b m +cx m =(a+c m)x+b m =x ③ 由③得 a+c m =1 b m =0 因?yàn)閙≠0，所以b=0 代入①得a+2c=3，代入②得2a+6c=4 從而解得a=5，c= -1，將a=5，c= -1代入a+c m =1得m =4 題十二： ；． 詳解:（Ⅰ）由已知知 ．所以． （Ⅱ）因?yàn)閿?shù)列是將集合中的元素按從小到大的順序排成而成，所以我們可設(shè)計(jì)如下表格 k m 1 2 3 4 5 ‥‥ 1 ‥‥ ‥‥ 2 ‥‥ 3 ‥‥ ‥‥ 4 ‥‥ ‥‥ 5 ‥‥ ‥‥ 從上表可知，每一行從左到右數(shù)字逐漸增大，每一列從上到下數(shù)字逐漸增大． 且‥‥ 所以 ． 題十三： 證明：假設(shè)有整數(shù)根，則 而均為奇數(shù)，即為奇數(shù)，為偶數(shù)，則同時(shí)為奇數(shù)或同時(shí)為偶數(shù)，為奇數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，也為偶數(shù)，即為奇數(shù)，與矛盾.無整數(shù)根. 題十四： 證明：設(shè)中沒有一個(gè)大于或等于， 即全部小于. 觀察：得： 所以2=≤<+2+=2 這是不可能的，矛盾表明原結(jié)論成立.