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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 單元測試卷 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．每小題中只有一項(xiàng)符合題目要求) 1．已知等差數(shù)列{an}中，a2＝5，a4＝11，則前10項(xiàng)和S10＝(　　) A．55　　　　　　　　　　 B．155 C．350 D．400 答案　B 解析　由解得∴S10＝10a1＋d＝155. 2．已知數(shù)列{an}滿足3an＋1＋an＝0，a2＝－，則{an}的前10項(xiàng)和等于(　　) A．－6(1－3－10) B.(1－3－10) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10) 答案　C 解析　由3an＋1＋an＝0，a2＝－，得a1＝4，＝－.∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列．S10＝＝3(1－3－10)． 3．在等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，則k＝(　　) A．22 B．23 C．24 D．25 答案　A 解析　因?yàn)閍n＝(n－1)d，由題知(k－1)d＝d＋2d＋…＋6d＝21d，所以k＝22，故選A. 4．設(shè)數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，則等于(　　) A．3 B．4 C．6 D．7 答案　D 解析　∵數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，設(shè)公差為d.∴S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d.又∵S1，S2，S4，成等比數(shù)列，∴S＝S1S4，可得d＝2a1或d＝0(舍去)．∴a4＝a1＋3d＝7a1.∴＝7.故選D. 5．設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是(　　) A．若d<0，則數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng) B．若數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng)，則d<0 C．若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，則對任意n∈N*，均有Sn>0 D．若對任意n∈N*，均有Sn>0，則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列 答案　C 解析　因?yàn)镾n＝na1＋n(n－1)d＝n2＋(a1－)n，所以Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，當(dāng)d<0時(shí)，Sn有最大值，即數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng)，故A項(xiàng)命題正確．若{Sn}有最大項(xiàng)，即對于n∈N*，Sn有最大值，故二次函數(shù)圖像的開口要向下，即d<0，故B項(xiàng)命題正確．而若a1<0，d>0，則數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列，此時(shí)S1<0，故C項(xiàng)命題錯(cuò)誤．若對于任意的n∈N*，均有Sn>0，則a1＝S1>0，且n＋a1－>0對于n∈N*恒成立，∴>0，即命題D項(xiàng)正確．故選C項(xiàng)． 6．在10到2 000之間，形如2n(n∈N*)的各數(shù)之和為(　　) A．1 008 B．2 040 C．2 032 D．2 016 答案　C 解析　S＝24＋25＋…＋210＝＝(27－1)24＝2 032. 7．設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(n＋1)＝(n∈N*)，且f(1)＝2，則f(20)＝(　　) A．95 B．97 C．105 D．192 答案　B 解析　∵f(n＋1)＝f(n)＋，∴ 累加，得f(20)＝f(1)＋(＋＋…＋)＝f(1)＋＝97. 8．現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆成三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余的鋼管為(　　) A．9根 B．10根 C．19根 D．29根 答案　B 解析　設(shè)堆成x層，得1＋2＋3＋…＋x≤200，即求使得x(x＋1)≤400成立的最大正整數(shù)x，應(yīng)為19.∴200－＝10. 9．已知等比數(shù)列{an}的公比q<0，其前n項(xiàng)的和為Sn，則a9S8與a8S9的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)9S8>a8S9 B．a(chǎn)9S80，q<0，所以－aq7>0，即a9S8>a8S9，故選A. 10．若在等差數(shù)列{an}中的a1，a4 025是函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋6x－1的極值點(diǎn)，則log2a2 013＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　A 解析　由題意得f′(x)＝x2－8x＋6.∵a1，a4 025是函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋6x－1的極值點(diǎn)，∴a1，a4 025是方程x2－8x＋6＝0的兩實(shí)數(shù)根，則a1＋a4 025＝8.而{an}為等差數(shù)列，∴a1＋a4 025＝8＝2a2 013＝8，即a2 013＝4，從而log2a2 013＝2. 11．(xx衡水調(diào)研)已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝1，a2＝2，b1＝2，且對任意的正整數(shù)i，j，k，l，當(dāng)i＋j＝k＋l時(shí)，都有ai＋bj＝ak＋bl，則(ai＋bi)(注：i＝a1＋a2＋…＋an)的值為(　　) A．2 012 B．2 013 C．2 014 D．2 015 答案　D 解析　由條件可得a1＝1，b1＝2；a2＝2，b2＝3；a3＝3，b3＝4；…；a2 013＝2 013，b2 013＝2 014. ∴(ai＋bi)＝[(1＋2 014)2 013]＝2 015. 12．某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線，但需要經(jīng)環(huán)保部門審批同意方可投入生產(chǎn)．已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的產(chǎn)量為f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)噸，但如果年產(chǎn)量超過150噸，將會(huì)給環(huán)境造成危害．為保護(hù)環(huán)境，環(huán)保部門應(yīng)給該廠這條生產(chǎn)線擬定最長的生產(chǎn)期限是(　　) A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 答案　C 解析　由題意可知第一年的產(chǎn)量為a1＝123＝3；以后各年的產(chǎn)量分別為an＝f(n)－f(n－1)＝n(n＋1)(2n＋1)－(n－1)n(2n－1)＝3n2. 令3n2≤150，∴1≤n≤5. 又∵n∈N*，∴1≤n≤7，即生產(chǎn)期限最長為7年． 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上) 13．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S9＝72，則a2＋a4＋a9＝________. 答案　24 解析　∵{an}是等差數(shù)列，由S9＝72，得9a5＝72，a5＝8. ∴a2＋a4＋a9＝(a2＋a9)＋a4＝(a5＋a6)＋a4＝3a5＝24. 14．若m，n，m＋n成等差數(shù)列，m，n，mn成等比數(shù)列，則橢圓＋＝1的離心率為________． 答案　 解析　由題意知2n＝m＋m＋n， ∴n＝2m.又n2＝mmn，∴n＝m2，∴m2＝2m. ∴m＝2，∴n＝4，∴a2＝4，b2＝2，c2＝2. ∴e＝＝. 15．若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且＝5，則＝________. 答案　17 解析　數(shù)列{an}為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，設(shè)S2＝t，S4－S2＝4t，S6－S4＝16t，S8－S6＝64t，∴S2＝t，S4＝5t，S6＝21t，S8＝85t，∴＝＝17. 16．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，a2＝1，an＋2＝3an＋1－2an，則{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________. 答案　2n－n－1 解析　由an＋2＝3an＋1－2an，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，a2－a1＝1，∴數(shù)列{an＋1－an}為等比數(shù)列，an＋1－an＝(a2－a1)2n－1＝2n－1，即a2－a1＝1，a3－a2＝2，…，an－an－1＝2n－2.再由累加法得an－a1＝1＋2＋22＋…＋2n－2＝2n－1－1，an＝2n－1－1，∴Sn＝－n＝2n－n－1. 三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分) 在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＝15，a2a5＝54，公差d<0. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最大值及相應(yīng)的n值． 答案　(1)an＝11－n　(2)n＝10或11時(shí)，Sn最大值為55 解析　(1)∵{an}為等差數(shù)列，∴a2＋a5＝a3＋a4. ∴解得(因d<0，舍去)或 ∴∴an＝11－n. (2)∵a1＝10，an＝11－n，∴Sn＝＝－n2＋n. 又∵－<0，對稱軸為n＝，∴當(dāng)n＝10或11時(shí)，Sn取最大值，其最大值為55. 18．(本小題滿分12分) 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，a1＝1，點(diǎn)(Sn，an＋1)在直線y＝2x＋1上，n∈N*. (1)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an； (2)設(shè)bn＝log3an＋1，Tn是數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，求T2 014的值． 答案　(1)an＝3n－1　(2) 解析　(1)由題意得an＋1＝2Sn＋1，an＝2Sn－1＋1(n≥2)，兩式相減，得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)． ∵a1＝1，∴a2＝2S1＋1＝3，∴當(dāng)n≥1時(shí)，{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列． ∴an＝3n－1. (2)由(1)得知an＝3n－1，bn＝log3an＋1＝n，＝＝－， T2 014＝＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝. 19．(本小題滿分12分) 在數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥1時(shí)，其前n項(xiàng)的和Sn滿足S＝an(Sn－1)． (1)證明：數(shù)列{}是等差數(shù)列； (2)設(shè)bn＝log2，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求滿足Tn≥6的最小正整數(shù)n. 答案　(1)略　(2)n＝10 解析　(1)證明：∵S＝an(Sn－1)， ∴S＝(Sn－Sn－1)(Sn－1)(n≥2)． ∴SnSn－1＝Sn－1－Sn，即－＝1. ∴{}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列． (2)由(1)知Sn＝，∴bn＝log2，∴Tn＝log2(…)＝log2≥6. ∴(n＋2)(n＋1)≥128. ∵n∈N*，∴n≥10. ∴滿足Tn≥6的最小正整數(shù)為10. 20．(本小題滿分12分) 已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，公差d≠0，等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1，a2＝b2，a5＝b3. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列{cn}對任意n∈N*均有＋＋…＋＝an＋1，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn. 答案　(1)an＝2n－1，bn＝3n－1　(2)Sn＝3n 解析　(1)由a2＝1＋d，a5＝1＋4d，且a1，a2，a5成等比數(shù)列， 得(1＋d)2＝1＋4d.又d≠0，所以d＝2. ∴an＝1＋(n－1)d＝2n－1. 又b2＝a2＝3，∴q＝3，bn＝3n－1. (2)∵＋＋…＋＝an＋1，① ∴＝a2，∴c1＝3. 又＋＋…＋＝an(n≥2)，② ①－②，得＝an＋1－an＝2. ∴cn＝2bn＝23n－1(n≥2)，∴cn＝ 當(dāng)n＝1時(shí)，Sn＝c1＝3， 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝3＋2(31＋32＋…＋3n－1)＝3＋2＝3n，所以Sn＝3n. 21．(本小題滿分12分) 祖國大陸允許臺(tái)灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來，在11個(gè)省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗(yàn)區(qū)和臺(tái)灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園，臺(tái)灣農(nóng)民在那里申辦個(gè)體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受理、審批一站式服務(wù)，某臺(tái)商第一年年初到大陸就創(chuàng)辦了一座120萬元的蔬菜加工廠M，M的價(jià)值在使用過程中逐年減少，從第二年到第六年，每年年初M的價(jià)值比上年年初減少10萬元，從第七年開始，每年年初M的價(jià)值為上年年初的75%. (1)求第n年年初M的價(jià)值an的表達(dá)式； (2)設(shè)An＝，若An大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則需在第n年年初對M更新，證明：必須在第九年年初對M更新． 答案　(1)an＝　(2)略 思路　(1)根據(jù)題意，當(dāng)n≤6時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，當(dāng)n≥7時(shí)，數(shù)列{an}是等比數(shù)列，分別寫出其通項(xiàng)公式，然后進(jìn)行合并即可；(2)先對n進(jìn)行分類，表示出An，利用數(shù)列的單調(diào)性質(zhì)確定其最小項(xiàng)，并與80比較大小，確定n的值． 解析　(1)當(dāng)n≤6時(shí)，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為120，公差為－10的等差數(shù)列，故an＝120－10(n－1)＝130－10n. 當(dāng)n≥7時(shí)，數(shù)列{an}從a6開始的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)以a6＝130－60＝70為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故an＝70()n－6. 所以第n年初M的價(jià)值an＝ (2)設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，得 當(dāng)1≤n≤6時(shí)，Sn＝120n－5n(n－1)， An＝＝120－5(n－1)＝125－5n≥95>80， 當(dāng)n≥7時(shí)，由于S6＝570， 故Sn＝570＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋704[1－()n－6]＝780－210()n－6. 因?yàn)閧an}是遞減數(shù)列，所以{An}是遞減數(shù)列． 因?yàn)锳n＝＝， A8＝≈82.734>80， A9＝≈76.823<80， 所以必須在第九年年初對M更新． 22．(本小題滿分12分) 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn滿足S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*. (1)求a1的值； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (3)證明：對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋<. 答案　(1)2　(2)an＝2n　(3)略 解析　(1)令n＝1代入得a1＝2(負(fù)值舍去)． (2)由S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋3)＝0. 又已知各項(xiàng)均為正數(shù)，故Sn＝n2＋n. 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n， 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2也滿足上式， 所以an＝2n，n∈N*. (3)證明：k∈N*,4k2＋2k－(3k2 ＋3k)＝k2－k＝k(k－1)≥0， ∴4k2＋2k≥3k2＋3k. ∴＝＝≤ ＝(－)． ∴＋＋…＋ ≤(－＋－＋…＋－) ＝(1－)<. ∴不等式成立． 1．在等比數(shù)列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，則的值為(　　) A．9 B．1 C．2 D．3 答案　D 解析　由等比數(shù)列性質(zhì)可知a3a5a7a9a11＝a＝243，所以得a7＝3，又＝＝a7，故選D. 2．已知{an}為等差數(shù)列，其公差為－2，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，n∈N*，則S10的值為(　　) A．－110 B．－90 C．90 D．110 答案　D 解析　因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為－2，所以a3＝a1－4，a7＝a1－12，a9＝a1－16.因?yàn)閍7是a3與a9的等比中項(xiàng)，所以a＝a3a9，即(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，a－24a1＋144＝a－20a1＋64，所以4a1＝80，a1＝20.于是S10＝10a1＋d＝1020＋45(－2)＝110.故選D. 3．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＋a5＝S5，且a9＝20，則S11＝(　　) A．260 B．220 C．130 D．110 答案　D 解析　∵S5＝5，又∵S5＝a1＋a5，∴a1＋a5＝0.∴a3＝0，∴S11＝11＝11＝11＝110，故選D. 4．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S5＝15，S9＝18，在等比數(shù)列{bn}中，b3＝a3，b5＝a5，則b7的值為(　　) A. B. C．2 D．3 答案　B 解析　在等差數(shù)列{an}中，由得a3＝3，a5＝2. 于是b3＝3，b5＝2，所以b7＝＝. 5．?dāng)?shù)列{an}是等比數(shù)列且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 答案　A 解析　由于a2a4＝a，a4a6＝a，所以a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25.所以a3＋a5＝5.又an>0，所以a3＋a5＝5.所以選A. 6．設(shè)a1，a2，…，a50是從－1,0,1這三個(gè)整數(shù)中取值的數(shù)列，若a1＋a2＋…＋a50＝9且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，則a1，a2，…，a50當(dāng)中取零的項(xiàng)共有(　　) A．11個(gè) B．12個(gè) C．15個(gè) D．25個(gè) 答案　A 解析　(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝a＋a＋…＋a＋2(a1＋a2＋…＋a50)＋50＝107，∴a＋a＋…＋a＝39，∴a1，a2，…，a50中取零的項(xiàng)應(yīng)為50－39＝11個(gè)，故選A. 7．已知數(shù)列－1，a1，a2，－4成等差數(shù)列，－1，b1，b2，b3，－4成等比數(shù)列，則的值為(　　) A. B．－ C.或－ D. 答案　A 解析　3(a2－a1)＝－4－(－1)＝－3，a2－a1＝－1；b＝(－1)(－4)＝4，且b2<0，b2＝－2.則＝. 8．已知{an}是等差數(shù)列，設(shè)Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|(n∈N*)．某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)求Tn的部分算法流程圖(如圖)，圖中空白處理框中是用n的表達(dá)式對Tn賦值，則空白處理框中應(yīng)填入：Tn＝________. 答案　n2－9n＋40 解析　由流程圖可知該等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝2n－10或an＝－2n＋10.不妨令an＝2n－10，則當(dāng)n≥6時(shí)，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－a1－a2－…－a5＋a6＋a7＋…＋an＝20＋＝n2－9n＋40. 9．已知奇函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，數(shù)列{xn}是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，滿足f(x8)＋f(x9)＋f(x10)＋f(x11)＝0，則x2 013＝________. 答案　4 007 解析　因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，在R上是增函數(shù)，且數(shù)列{xn}是遞增數(shù)列，所以由f(x8)＋f(x9)＋f(x10)＋f(x11)＝0可得x8＋x11＝x9＋x10＝0.由數(shù)列{xn}的公差為2，得x1＝－17，所以xn＝x1＋(n－1)d＝2n－19.所以x2 013＝22 013－19＝4 007. 10．已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{2an}的前n項(xiàng)和Sn. 答案　(1)an＝n　(2)Sn＝2n＋1－2 解析　(1)由題設(shè)知公差d≠0. 由a1＝1，a1，a3，a9成等比數(shù)列，得＝，解得d＝1，或d＝0(舍去)． 所以{an}的通項(xiàng)公式an＝1＋(n－1)1＝n. (2)由(1)知2an＝2n，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2. 11．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an，an＋1是方程x2－(2n＋1)x＋＝0的兩個(gè)根，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 答案　Sn＝ 解析　∵an，an＋1是x2－(2n＋1)x＋＝0的兩根， ∴an＋an＋1＝2n＋1，anan＋1＝. ∴an＋1＋an＋2＝2n＋3. ∴an＋2－an＝2. ∴a3－a1＝2， a5－a3＝2， …… a2n－1－a2n－3＝2. ∴a2n－1－a1＝2(n－1)． ∴a2n－1＝2n－1，∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＝n. 同理可得當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an＝n. ∴an＝n. ∴bn＝＝＝－. ∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝1－＋－＋－＋…＋－ ＝1－＝. 12．成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2,5,13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3，b4，b5. (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； (2)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：數(shù)列{Sn＋}是等比數(shù)列． 答案　(1)bn＝52n－3　(2)略 解析　(1)設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為a－d，a，a＋d. 依題意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5. 所以{bn}中的b3，b4，b5依次為7－d,10,18＋d. 依題意，有(7－d)(18＋d)＝100， 解得d＝2或d＝－13(舍去)． 故{bn}的第3項(xiàng)為5，公比為2. 由b3＝b122，即5＝b122，解得b1＝. 所以{bn}是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為bn＝2n－1＝52n－3. (2)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝＝52n－2－， 即Sn＋＝52n－2. 所以S1＋＝，＝＝2. 因此{(lán)Sn＋}是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．