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2019-2020年高考數學專題復習 第39講 變量間的相關關系、統(tǒng)計案例練習 新人教A版 [考情展望]　1.考查獨立性檢驗的基本思想，兩個臨界值的理解及應用.2.考查回歸分樣的基本思想及回歸直線方程的計算應用.3.多以選擇題、填空題形式進行考查． 一、兩個變量的線性相關 1．在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關． 2．在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關關系稱為負相關． 3．如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線． 二、回歸方程 1．最小二乘法：使得樣本數據的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫最小二乘法． 2．回歸方程：兩個具有線性相關關系的變量的一組數據：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．其回歸方程為＝x＋，則 其中(，)稱為樣本點的中心． 三、殘差分析 1．殘差：對于樣本點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，它們的隨機誤差為ei＝y(tǒng)i－bxi－a，i＝1,2，…，n，其估計值為i＝y(tǒng)i－i＝y(tǒng)i－xi－，i＝1,2，…，n.i稱為相應于點(xi，yi)的殘差． 2．殘差平方和為 (yi－i)2. 3．相關指數：R2＝1－. 四、獨立性檢驗 1．利用隨機變量K2來判斷“兩個分類變量有關系”的方法稱為獨立性檢驗． 2．列聯(lián)表：列出的兩個分類變量的頻數表，稱為列聯(lián)表．假設有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數列聯(lián)表(稱為22列聯(lián)表)為 22列聯(lián)表 y1 y2 總計 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 構造一個隨機變量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量． 1．某商品銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)負相關，則其回歸方程可能是(　　) A.＝－10x＋200　　　　　　　 B.＝10x＋200 C.＝－10x－200 D.＝10x－200 【解析】　由題意回歸方程斜率應為負，故排除B，D，又銷售量應為正值，故C不正確，故選A. 【答案】　A 2．下面是22列聯(lián)表： y1 y2 合計 x1 a 21 73 x2 22 25 47 合計 b 46 120 則表中a，b的值分別為(　　) A．94,72 B．52,50 C．52,74 D．74,52 【解析】　∵a＋21＝73，∴a＝52. 又a＋22＝b，∴b＝74. 【答案】　C 3．調查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關關系，并由調查數據得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：＝0.254x＋0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元． 【解析】　由題意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254. 【答案】　0.254 4．在一項打鼾與患心臟病的調查中，共調查了1 671人，經過計算K2的觀測值k＝27.63，根據這一數據分析，我們有理由認為打鼾與患心臟病是________的(填有關或無關)． 【解析】　∵k＝27.63＞6.635， ∴有99%的把握認為“打鼾與患心臟病有關”． 【答案】　有關 5．(xx湖北高考)四名同學根據各自的樣本數據研究變量x，y之間的相關關系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結論： ①y與x負相關且＝2.347x－6.423；②y與x負相關且＝－3.476x＋5.648；③y與x正相關且＝5.437x＋8.493；④y與x正相關且＝－4.326x－4.578. 其中一定不正確的結論的序號是(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【解析】　由正負相關性的定義知①④一定不正確． 【答案】　D 6．(xx福建高考)已知x與y之間的幾組數據如下表： x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假設根據上表數據所得線性回歸直線方程為＝x＋.若某同學根據上表中的前兩組數據(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結論正確的是(　　) A.>b′，>a′ B.>b′，a′ D.a′. 【答案】　C 考向一 [169]　相關關系的判斷 　(1)下列結論： ①函數關系是一種確定性關系； ②相關關系是一種非確定性關系； ③回歸分析是對具有函數關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種方法； ④回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法． 其中正確的是________． (2)下列關系屬于線性負相關的是(　　) A．父母的身高與子女身高的關系 B．球的體積與半徑之間的關系 C．汽車的重量與汽車每消耗1 L汽油所行駛的平均路程 D．一個家庭的收入與支出 【思路點撥】　(1)根據相關關系及回歸分析的定義判斷； (2)先判斷兩個變量之間關系是否為相關關系，再判斷是否為負相關． 【嘗試解答】　(1)①由函數y＝f(x)的定義可知當x確定時，y也唯一確定了，所以函數關系是一種確定性關系，所以①正確． ②相關關系的兩個變量x，y存在一定的聯(lián)系，但無法確定具體的關系，所以相關關系是一種非確定性關系，所以②正確． ③回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種方法，不是對具有函數關系的變量進行分析，所以③錯誤． ④與③對比，同時根據回歸分析的定義可知④正確，所以正確的是①②④. (2)父母身高與子女身高的關系是一個正相關， 球的體積與半徑之間的關系是函數關系， 一個家庭的收入與支出是一個正相關關系， 即A、D中的兩個變量屬于線性正相關， B中兩個變量是函數關系． 【答案】　(1)①②④　(2)C 規(guī)律方法1　1.相關關系的判斷方法：一是利用散點圖直觀判斷，二是利用相關系數作出判斷. 2.對于由散點圖作出相關性判斷時，若散點圖呈帶狀且區(qū)域較窄，說明兩個變量有一定的線性相關性，若呈曲線型也是有相關性. 3.在散點圖中，若點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，稱為正相關；若散布在從左上角到右下角的區(qū)域稱為負相關. 對點訓練　對變量x，y有觀測數據(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖9－3－1(1)；對變量u，v有觀測數據(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖9－3－1(2)．由這兩個散點圖可以判斷(　　) 　　　圖(1)　　　　　　　　　　　圖(2) 圖9－3－1 A．變量x與y正相關，u與v正相關 B．變量x與y正相關，u與v負相關 C．變量x與y負相關，u與v正相關 D．變量x與y負相關，u與v負相關 【解析】　由散點圖可知x與y負相關，u與v正相關． 【答案】　C 考向二 [170]　線性回歸分析 　(xx重慶高考)從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數據資料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720. (1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y＝bx＋a； (2)判斷變量x與y之間是正相關還是負相關； (3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄． 附：線性回歸方程y＝bx＋a中，b＝，a＝－b，其中，為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為＝x＋. 【思路點撥】　(1)根據已知數據求回歸系數，再求出線性回歸方程． (2)根據回歸方程判斷． (3)利用回歸方程進行預測分析． 【嘗試解答】　(1)由題意知n＝10，＝i＝＝8， ＝i＝＝2， 又lxx＝－n2＝720－1082＝80， lxy＝iyi－n＝184－1082＝24， 由此得b＝＝＝0.3，a＝－b＝2－0.38＝－0.4. 故所求線性回歸方程為y＝0.3x－0.4. (2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x與y之間是正相關． (3)將x＝7代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為y＝0.37－0.4＝1.7(千元)． 規(guī)律方法2　1.正確運用計算、的公式和準確的計算，是求線性回歸方程的關鍵. 2.在分析兩個變量的相關關系時，可根據樣本數據作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關關系，若具有線性相關關系，則可通過線性回歸方程估計和預測變量的值. 對點訓練　為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間x(單位：小時)與當天投籃命中率y之間的關系： 時間x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 (1)試求小李這5天的平均投籃命中率； (2)請你用線性回歸分析的方法，預測小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率． 【解】　(1)由圖表知，5天的平均投籃命中率 ＝＝0.5， (2)＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3， ∴＝ ＝0.01， ＝－＝0.5－0.013＝0.47， 故回歸直線方程為＝0.47＋0.01x 將x＝6代入，得＝0.53， ∴6號打6小時籃球的投籃命中率約為0.53. 考向三 [171]　獨立性檢驗 　某中學對“學生性別和是否喜歡看NBA比賽”作了一次調查，其中男生人數是女生人數的2倍，男生喜歡看NBA的人數占男生人數的，女生喜歡看NBA的人數占女生人數的. (1)若被調查的男生人數為n，根據題意建立一個22列聯(lián)表； (2)若有95%的把握認為是否喜歡看NBA和性別有關，求男生至少有多少人？ 附：K2＝ P(K2≥k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【思路點撥】　(1)根據題意列出22列聯(lián)表；(2)計算K2的觀測值，解不等式即可． 【嘗試解答】　(1)由已知，得 喜歡NBA 不喜歡NBA 總計 男生 n 女生 總計 n (2)K2＝＝n. 若有95%的把握認為是否喜歡看NBA和性別有關． 則K2＞3.841，即n＞3.841，n＞10.24. ∵，為整數，∴n最小值為12，即男生至少12人． 規(guī)律方法3　1.獨立性檢驗的關鍵是準確的計算K2，在計算時，要充分利用22列聯(lián)表. 2.獨立性檢驗的步驟：,(1)根據樣本數據制成22列聯(lián)表.,(2)根據公式K2＝計算K2的觀測值k. (3)比較k與臨界值的大小關系作統(tǒng)計推斷. 對點訓練　某班主任對班級22名學生進行了作業(yè)量多少的調查，數據如下表：在喜歡玩電腦游戲的12人中，有10人認為作業(yè)多，2人認為作業(yè)不多；在不喜歡玩電腦游戲的10人中，有3人認為作業(yè)多，7人認為作業(yè)不多． (1)根據以上數據建立一個22列聯(lián)表；(2)試問喜歡電腦游戲與認為作業(yè)多少是否有關系？(可能用到的公式：K2＝.(可能用到數據：P(K2≥6.635)＝0.01，P(K2≥3.841)＝0.05) 【解】　(1)根據題中所給數據，得到如下列聯(lián)表： 認為作業(yè)多 認為作業(yè)不多 總計 喜歡玩電腦游戲 10 2 12 不喜歡玩電腦游戲 3 7 10 總計 13 9 22 (2)K2＝＝≈6.418，而3.841＜6.418＜6.635 ∴有95%的把握認為喜歡玩電腦游戲與認為作業(yè)多少有關． 規(guī)范解答之二十　概率與統(tǒng)計的綜合應用問題求解 第一步：理清題意，理解問題中的條件和結論．尤其是直方圖中給定的信息，找關鍵量；第二步：由直方圖確定所需的數據，列出22列聯(lián)表；第三步：利用獨立性檢驗的步驟進行判斷；第四步：確定基本事件總數及所求事件所含基本事件的個數；第五步：利用概率公式求事件的概率． ————[1個示范例]————[1個規(guī)范練]———— 　　　(12分)電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某個類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查，其中女性有55名，下面是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖9－3－2： 圖9－3－2 將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性． (1)根據已知條件完成下面的22列聯(lián)表，并據此資料判斷是否有95%的把握認為“體育迷”與性別有關？ 非體育迷 體育迷 合計 男 女 合計 (2)將日均收看該體育節(jié)目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育迷”中有2名女性，若從“超級體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率． 附：K2＝ P(K2≥k) 0.05 0.01 k 3.841 6.635 【規(guī)范解答】　(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而完成22列聯(lián)表如下： 非體育迷 體育迷 合計 男 30 15 45 女 45 10 55 合計 75 25 100 3分 將22列聯(lián)表中的數據代入公式計算，得K2＝＝≈3.030.因為3.030＜3.841，所以我們沒有95%的把握認為“體育迷”與性別有關.6分 (2)由頻率分布直方圖可知，“超級體育迷”為5人，從而一切可能結果所組成的基本事件為(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，其中ai表示男性，i＝1,2,3，bj表示女性，j＝1,2.9分 由10個基本事件組成，而且這些基本事件的出現是等可能的．用A表示“任選2人中，至少有1人是女性”這事件，則A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，11分 事件A由7個基本事件組成，因而P(A)＝.12分 【名師寄語】　1.忽視直方圖縱軸表示為導致每組人數計算失誤. 2.K2的計算不準確、導致結果判斷出錯. 3.由5人中任取2人列舉出所有可能結果時重復或遺漏某一情況導致失誤. 中國共產黨第十八屆中央委員會第三次會議于2013年11月9日至12日在北京召開，為了搞好對外宣傳工作，會務組選聘了16名男記者和14名女記者擔任對外翻譯工作，調查發(fā)現，男、女記者中分別有10人和6人會俄語． (1)根據以上數據完成以下22列聯(lián)表： 會俄語 不會俄語 總計 男 女 總計 30 并回答能否在犯錯的概率不超過0.10的前提下認為性別與會俄語有關？ 參考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 參考數據： P(K2≥k0) 0.40 0.25 0.10 0.010 k0 0.708 1.323 2.706 6.635 (2)會俄語的6名女記者中有4人曾在俄羅斯工作過，若從會俄語的6名女記者中隨機抽取2人做同聲翻譯，則抽出的2人都在俄羅斯工作過的概率是多少？ 【解】　(1)如表： 會俄語 不會俄語 總計 男 10 6 16 女 6 8 14 總計 16 14 30 假設是否會俄語與性別無關．由已知數據可求得 K2＝≈1.157 5＜2.706. 所以在犯錯的概率不超過0.10的前提下不能判斷會俄語與性別有關． (2)會俄語的6名女記者，分別設為A，B，C，D，E，F，其中A，B，C，D曾在俄羅斯工作過． 則從這6人中任取2人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15種，其中2人都在俄羅斯工作過的是AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種， 所以抽出的女記者中，2人都在俄羅斯工作過的概率是 P＝＝.