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2019-2020年九年級數(shù)學 第二章 二次函數(shù)教案 北師大版 學習目標: 1.探索并歸納二次函數(shù)的定義. 2.能夠表示簡單變量之間的二次函數(shù)關系. 學習重點: 1.經(jīng)歷探索二次函數(shù)關系的過程,獲得用二次函數(shù)表示變量之間關系的體驗. 2.能夠表示簡單變量之間的二次函數(shù). 學習難點: 經(jīng)歷探索二次函數(shù)關系的過程,獲得用二次函數(shù)表示變量之間關系的體驗. 學習方法: 討論探索法. 學習過程: 【例1】 函數(shù)y=（m＋2）x＋2x－1是二次函數(shù)，則m= ． 【例2】 下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有（ ） ①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=＋x． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【例3】正方形的邊長是5，若邊長增加x，面積增加y，求y與x之間的函數(shù)表達式． 1、 已知正方形的周長為20，若其邊長增加x，面積增加y，求y與x之間的表達式． 2、 已知正方形的周長是x，面積為y，求y與x之間的函數(shù)表達式． 3、已知正方形的邊長為x，若邊長增加5，求面積y與x的函數(shù)表達式． 【例4】如果人民幣一年定期儲蓄的年利率是x，一年到期后，銀行將本金和利息自動按一年定期儲蓄轉存，到期支取時，銀行將扣除利息的20%作為利息稅．請你寫出兩年后支付時的本息和y（元）與年利率x的函數(shù)表達式． 【例5】某商場將進價為40元的某種服裝按50元售出時，每天可以售出300套．據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種服裝每提高1元售價，銷量就減少5套，如果商場將售價定為x，請你得出每天銷售利潤y與售價的函數(shù)表達式． 課后練習: 作業(yè)： 小結： 教后記： 2.2 結識拋物線 學習目標: 經(jīng)歷探索二次函數(shù)y=x2的圖象的作法和性質(zhì)的過程，獲得利用圖象研究二次函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗．掌握利用描點法作出y=x2的圖象，并能根據(jù)圖象認識和理解二次函數(shù)y=x2的性質(zhì)．能夠作為二次函數(shù)y=－x2的圖象，并比較它與y=x2圖象的異同，初步建立二次函數(shù)表達式與圖象之間的聯(lián)系． 學習重點: 利用描點法作出y=x2的圖象過程中，理解掌握二次函數(shù)y=x2的性質(zhì)，這是掌握二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c（a≠0）的基礎，是二次函數(shù)圖象、表達式及性質(zhì)認識應用的開始，只有很好的掌握，才會把二次函數(shù)學好．只要注意圖象的特點，掌握本質(zhì)，就可以學好本節(jié)． 學習難點: 函數(shù)圖象的畫法，及由圖象概括出二次函數(shù)y=x2性質(zhì)，它難在由圖象概括性質(zhì)，結合圖象記憶性質(zhì)． 學習方法: 探索——總結——運用法. 學習過程: 一、作二次函數(shù)y=x的圖象。 二、議一議： 1.你能描述圖象的形狀嗎？與同伴交流。 2.圖象與x軸有交點嗎？如果有，交點的坐標是什么？ 3.當x<0時，y隨著x的增大，y的值如何變化？當x>0時呢？ 4.當x取什么值時，y的值最小？ 5.圖象是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？請你找出幾對對稱點，并與同伴交流。 三、y=x的圖象的性質(zhì)： 三、例題： 【例1】求出函數(shù)y=x＋2與函數(shù)y=x2的圖象的交點坐標． 【例2】已知a＜－1，點（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函數(shù)y=x2的圖象上，則（ ） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 四、練習 作業(yè)： 小結： 教后記： 2.3 剎車距離與二次函數(shù) 學習目標: 1．經(jīng)歷探索二次函數(shù)y=ax2和y=ax2＋c的圖象的作法和性質(zhì)的過程，進一步獲得將表格、表達式、圖象三者聯(lián)系起來的經(jīng)驗． 2．會作出y=ax2和y=ax2＋c的圖象，并能比較它們與y=x2的異同，理解a與c對二次函數(shù)圖象的影響． 3．能說出y=ax2＋c與y=ax2圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標． 4．體會二次函數(shù)是某些實際問題的數(shù)學模型． 學習重點: 二次函數(shù)y=ax2、y=ax2＋c的圖象和性質(zhì)，因為它們的圖象和性質(zhì)是研究二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)的基礎．我們在學習時結合圖象分別從開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大（小值）、函數(shù)的增減性幾個方面記憶分析． 學習難點: 由函數(shù)圖象概括出y=ax2、y=ax2＋c的性質(zhì)．函數(shù)圖象都由（1）列表，（2）描點、連線三步完成．我們可根據(jù)函數(shù)圖象來聯(lián)想函數(shù)性質(zhì)，由性質(zhì)來分析函數(shù)圖象的形狀和位置． 學習方法: 類比學習法。 學習過程: 一、復習： 二次函數(shù)y=x2 與y=-x2的性質(zhì)： 拋物線 y=x2 y=-x2 對稱軸 頂點坐標 開口方向 位置 增減性 最值 二、問題引入： 你知道兩輛汽車在行駛時為什么要保持一定距離嗎？ 剎車距離與什么因素有關？ 有研究表明:汽車在某段公路上行駛時，速度為v(km/h)汽車的剎車距離s(m)可以由公式： 晴天時：；雨天時：，請分別畫出這兩個函數(shù)的圖像： 三、動手操作、探究： 1.在同一平面內(nèi)畫出函數(shù)y=2x2與y=2x2+1的圖象。 2.在同一平面內(nèi)畫出函數(shù)y=3x2與y=3x2-1的圖象。 比較它們的性質(zhì)，你可以得到什么結論？ 四、例題： 【例1】 已知拋物線y=（m＋1）x開口向下，求m的值． 【例2】k為何值時，y=（k＋2）x是關于x的二次函數(shù)？ 【例3】在同一坐標系中，作出函數(shù)①y=－3x2，②y=3x2，③y=x2，④y=－x2的圖象，并根據(jù)圖象回答問題：（1）當x=2時，y=x2比y=3x2大（或?。┒嗌?？（2）當x=－2時，y=－x2比y=－3x2大（或?。┒嗌?？ 【例4】已知直線y=－2x＋3與拋物線y=ax2相交于A、B兩點，且A點坐標為（－3，m）． （1）求a、m的值； （2）求拋物線的表達式及其對稱軸和頂點坐標； （3）x取何值時，二次函數(shù)y=ax2中的y隨x的增大而減?。? （4）求A、B兩點及二次函數(shù)y=ax2的頂點構成的三角形的面積． 【例5】有一座拋物線形拱橋，正常水位時，橋下水面寬度為20m，拱頂距離水面4m．（1）在如圖所示的直角坐標系中，求出該拋物線的表達式；（2）在正常水位的基礎上，當水位上升h（m）時，橋下水面的寬度為d（m），求出將d表示為k的函數(shù)表達式；（3）設正常水位時橋下的水深為2m，為保證過往船只順利航行，橋下水面寬度不得小于18m，求水深超過多少米時就會影響過往船只在橋下的順利航行． 五、課后練習 作業(yè)： 小結： 教后記： 2.4 二次函數(shù)的圖象（第一課時） 學習目標: 　　1．會用描點法畫出二次函數(shù) 與 的圖象； 　　2．能結合圖象確定拋物線 與 的對稱軸與頂點坐標； 3．通過比較拋物線 與 同 的相互關系，培養(yǎng)觀察、分析、總結的能力; 學習重點: 畫出形如 與形如 的二次函數(shù)的圖象，能指出上述函數(shù)圖象的開口方向，對稱軸，頂點坐標. 學習難點: 理解函數(shù) 、 與 及其圖象間的相互關系 學習方法: 探索研究法。 學習過程: 一、復習引入 　　提問：1．什么是二次函數(shù)？ 　　2．我們已研究過了什么樣的二次函數(shù)？ 　　3．形如 的二次函數(shù)的開口方向，對稱軸，頂點坐標各是什么？ 二、新課 復習提問：用描點法畫出函數(shù) 的圖象，并根據(jù)圖象指出：拋物線 的開口方向，對稱軸與頂點坐標. 例1 在同一平面直角坐標系畫出函數(shù) 、 、 的圖象. 由圖象思考下列問題： 　?。?）拋物線 的開口方向，對稱軸與頂點坐標是什么？ 　?。?）拋物線 的開口方向，對稱軸與頂點坐標是什么？ 　?。?）拋物線 ， 與 的開口方向，對稱軸，頂點坐標有何異同？ （4）拋物線 與 同有什么關系？ 繼續(xù)回答： 　?、賿佄锞€的形狀相同具體是指什么？ 　?、诟鶕?jù)你所學過的知識能否回答：為何這三條拋物線的開口方向和開口大小都相同？ 　?、圻@三條拋物線的位置有何不同？它們之間可有什么關系？ 　?、軖佄锞€ 是由拋物線 沿y軸怎樣移動了幾個單位得到的？拋物線 呢？ 　?、菽阏J為是什么決定了會這樣平移？ 例2在同一平面直角坐標系內(nèi)畫出 與 的圖象． 三、本節(jié)小結 　　本節(jié)課學習了二次函數(shù) 與 的圖象的畫法，主要內(nèi)容如下?！　√顚懴卤恚? 　　表一： 拋物線 開口方向 對稱軸 頂點坐標 　　表二： 拋物線 開口方向 對稱軸 頂點坐標 作業(yè)： 教后記： 2.4 二次函數(shù)的圖象（第二課時） 學習目標: 　　1．會用描點法畫出二次函數(shù) 的圖像； 　　2．知道拋物線 的對稱軸與頂點坐標； 學習重點: 會畫形如 的二次函數(shù)的圖像，并能指出圖像的開口方向、對稱軸及頂點坐標。 學習難點: 確定形如 的二次函數(shù)的頂點坐標和對稱軸。 學習方法: 探索研究法。 學習過程: 1、請你在同一直角坐標系內(nèi)，畫出函數(shù) 的圖像，并指出它們的開口方向，對稱軸及頂點坐標． 2、你能否在這個直角坐標系中，再畫出函數(shù) 的圖像？ 3、你能否指出拋物線 的開口方向，對稱軸，頂點坐標？將在上面練習中三條拋物線的性質(zhì)填入所列的有中，如下表： 拋物線 開口方向 對稱軸 頂點坐標 4、我們已知拋物線的開口方向是由二次函數(shù) 中的a的值決定的，你能通過上表中的特征，試著總結出拋物線的對稱軸和頂點坐標是由什么決定的嗎？ 5、拋物線 有什么關系？ 6、它們的位置有什么關系？ ①拋物線 是由拋物線 怎樣移動得到的？ ②拋物線 是由拋物線 怎樣移動得到的？ ③拋物線 是由拋物線 怎樣移動得到的？ ④拋物線 是由拋物線 怎樣移動得到的？ ⑤拋物線 是由拋物線 怎樣移動得到的？ 總結、擴展 一般的二次函數(shù)，都可以變形成 的形式，其中： 　　1．a(chǎn)能決定什么？怎樣決定的？ 2．它的對稱軸是什么？頂點坐標是什么？ 課后練習: 作業(yè)： 小結： 教后記： 2.4 用三種方式表示二次函數(shù) 學習目標: 　　經(jīng)歷三種方式表示變量之間二次函數(shù)關系的過程，體會三種方式之間的聯(lián)系和各自不同點；掌握變量之間的二次函數(shù)關系，解決二次函數(shù)所表示的問題；掌握根據(jù)二次函數(shù)不同的表達方式，從不同的側面對函數(shù)性質(zhì)進行研究． 學習重點: 能夠根據(jù)二次函數(shù)的不同表示方式，從不同的側面對函數(shù)進行研究．函數(shù)的綜合題目，往往是三種方式的綜合應用，由三種不同方式，都能把握函數(shù)性質(zhì)，才會正確解題． 學習難點: 用三種方式表示二次函數(shù)的實際問題時，忽略自變量的取值范圍是常見的錯誤． 學習方法: 討論式學習法。 學習過程: 一、做一做： 已知矩形周長20cm,并設它的一邊長為xcm,面積為ycm2，y隨x的而變化的規(guī)律是什么？你能分別用函數(shù)表達式，表格和圖象表示出來嗎？比較三種表示方式,你能得出什么結論?與同伴交流. 二、試一試： 兩個數(shù)相差2,設其中較大的一個數(shù)為x,那么它們的積y是如何隨x的變化而變化的? ？用你能分別用函數(shù)表達式,表格和圖象表示這種變化嗎? 三、積累： 表示方法 優(yōu)點 缺點 解析法 表格法 圖像法 三者關系 表示方法 優(yōu)點 缺點 解析法 表格法 圖像法 三者關系 四、例題： 【例1】已知函數(shù)y=x2＋bx＋1的圖象經(jīng)過點（3，2）． （1）求這個函數(shù)的表達式； （2）畫出它的圖象，并指出圖象的頂點坐標； （3）當x＞0時，求使y≥2的x的取值范圍． 【例2】 一次函數(shù)y=2x＋3，與二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象交于A（m，5）和B（3，n）兩點，且當x=3時，拋物線取得最值為9． （1）求二次函數(shù)的表達式； （2）在同一坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象； （3）從圖象上觀察，x為何值時，一次函數(shù)與二次函數(shù)的值都隨x的增大而增大． （4）當x為何值時，一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值？ 【例3】 行駛中的汽車，在剎車后由于慣性的作用，還要繼續(xù)向前滑動一段距離才停止，這段距離稱為“剎車距離”．為了測定某種型號汽車的剎車性能（車速不超過130km/h），對這種汽車進行測試，測得數(shù)據(jù)如下表： 剎車時車速（km/h） 0 10 20 30 40 50 60 70 剎車距離（m） 0 1．1 2．4 3．9 5．6 7．5 9．6 11．9 （1）以車速為x軸，剎車距離為y軸，在下面的方格圖中建立坐標系，描出這些數(shù)據(jù)所表示的點，并用平滑曲線連接這些點，得到函數(shù)的大致圖象； （2）觀察圖象，估計該函數(shù)的類型，并確定一個滿足這些數(shù)據(jù)的函數(shù)表達式； （3）該型號汽車在國道上發(fā)生了一次交通事故，現(xiàn)測得剎車距離為26．4m，問在事故發(fā)生時，汽車是超速行駛還是正常行駛，請說明理由． 課后練習: 作業(yè)： 小結： 教后記： 2.6 何時獲得最大利潤 學習目標: 　　體會二次函數(shù)是一類最優(yōu)化問題的數(shù)學模型．了解數(shù)學的應用價值，掌握實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系，并運用二次函數(shù)的知識求出實際問題的最大值、最小值． 學習重點: 本節(jié)重點是應用二次函數(shù)解決實際問題中的最值．應用二次函數(shù)解決實際問題，要能正確分析和把握實際問題的數(shù)量關系，從而得到函數(shù)關系，再求最值．實際問題的最值，不僅可以幫助我們解決一些實際問題，也是中考中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型． 學習難點: 本節(jié)難點在于能正確理解題意，找準數(shù)量關系．這就需要同學們在平時解答此類問題時，在平時生活中注意觀察和積累，使自己具備豐富的生活和數(shù)學知識才會正確分析，正確解題． 學習方法: 在教師的引導下自主學習。 學習過程: 一、有關利潤問題： 某商店經(jīng)營T恤衫,已知成批購進時單價是2.5元.根據(jù)市場調(diào)查,銷售量與銷售單價滿足如下關系:在某一時間內(nèi),單價是13.5元時,銷售量是500件,而單價每降低1元,就可以多售出200件. 請你幫助分析:銷售單價是多少時,可以獲利最多? 二、做一做： 某果園有100棵橙子樹,每一棵樹平均結600個橙子.現(xiàn)準備多種一些橙子樹以提高產(chǎn)量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據(jù)經(jīng)驗估計,每多種一棵樹,平均每棵樹就會少結5個橙子. ⑴利用函數(shù)表達式描述橙子的總產(chǎn)量與增種橙子樹的棵數(shù)之間的關系. ⑵利用函數(shù)圖象描述橙子的總產(chǎn)量與增種橙子樹的棵數(shù)之間的關系.? ⑶增種多少棵橙子,可以使橙子的總產(chǎn)量在60400個以上? 三、舉例： 【例1】某商場經(jīng)營一批進價為2元一件的小商品，在市場營銷中發(fā)現(xiàn)此商品的日銷售單價x元與日銷售量y件之間有如下關系： x 3 5 9 11 y 18 14 6 2 （1）在所給的直角坐標系甲中： ①根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實數(shù)對（x，y）的對應點； ②猜測并確定日銷售量y件與日銷售單價x元之間的函數(shù)表達式，并畫出圖象． （2）設經(jīng)營此商品的日銷售利潤（不考慮其他因素）為P元，根據(jù)日銷售規(guī)律： ①試求出日銷售利潤P元與日銷售單價x元之間的函數(shù)表達式，并求出日銷售單價x為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤？試問日銷售利潤P是否存在最小值？若有，試求出；若無，請說明理由． ②在給定的直角坐標系乙中，畫出日銷售利潤P元與日銷售單價x元之間的函數(shù)圖象的簡圖，觀察圖象，寫出x與P的取值范圍． 【例2】某化工材料經(jīng)銷公司購進了一種化工原料共7000kg，購進價格為30元/kg，物價部門規(guī)定其銷售單價不得高于70元/kg，也不得低于30元/kg．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價定為70元時，日均銷售60kg；單價每降低1元，日均多售出2kg．在銷售過程中，每天還要支出其他費用500元（天數(shù)不足一天時，按整天計算）．設銷售單價為x元，日均獲利為y元． （1）求y關于x的二次函數(shù)表達式，并注明x的取值范圍． （2）將（1）中所求出的二次函數(shù)配方成y=a（x＋）2＋的形式，寫出頂點坐標，在圖所示的坐標系中畫出草圖．觀察圖象，指出單價定為多少元時日均獲利最多？是多少？ （3）若將這種化工原料全部售出比較日均獲利最多和銷售單價最高這兩種方式，哪一種獲總利較多？多多少？ 四、隨堂練習： 五、課后練習 作業(yè)： 小結： 教后記： 2.7 最大面積是多少 學習目標: 　　掌握長方形和窗戶透光最大面積問題，體會數(shù)學的模型思想和數(shù)學應用價值．學會分析和表示不同背景下實際問題中的變量之間的二次函數(shù)關系，并運用二次函數(shù)的知識解決實際問題． 學習重點: 本節(jié)的重點是應用二次函數(shù)解決圖形有關的最值問題，這是本書惟一的一種類型，也是二次函數(shù)綜合題目中常見的一種類型．在二次函數(shù)的應用中占有重要的地位，是經(jīng)常考查的題型，根據(jù)圖形中的線段之間的關系，與二次函數(shù)結合，可解決此類問題． 學習難點: 由圖中找到二次函數(shù)表達式是本節(jié)的難點，它常用的有三角形相似，對應線段成比例，面積公式等，應用這些等式往往可以找到二次函數(shù)的表達式． 學習方法: 教師指導學生自學法。 學習過程: 一、例題及練習： 例1、如圖,在一個直角三角形的內(nèi)部作一個矩形ABCD，其中AB和AD分別在兩直角邊上. (1).設矩形的一邊AB=xcm,那么AD邊的長度如何表示？ (2).設矩形的面積為ym2,當x取何值時,y的最大值是多少? 練習 例2、某建筑物的窗戶如圖所示,它的上半部是半圓,下半部是矩形,制造窗框的材料總長(圖中所有的黑線的長度和)為15m.當x等于多少時,窗戶通過的光線最多(結果精確到0.01m)?此時,窗戶的面積是多少? 練習：某建筑物窗戶如圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形．制造窗框的材料總長（圖中所有黑線的長度和）為15m．當x等于多少時，窗戶透過的光線最多（結果精確到0．01m）？此時，窗戶的面積是多少？ 二、課后練習： 作業(yè)： 小結： 教后記： 2.8 二次函數(shù)與一元二次方程 學習目標: 　　體會二次函數(shù)與方程之間的聯(lián)系；掌握用圖象法求方程的近似根；理解二次函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關系，及何時方程有兩個不等的實根，兩個相等的實根和沒有實根；理解一元二次方程的根就是二次函數(shù)y=h（h是實數(shù)）圖象交點的橫坐標． 學習重點: 本節(jié)重點把握二次函數(shù)圖象與x軸（或y=h）交點的個數(shù)與一元二次方程的根的關系．掌握此點，關鍵是理解二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c圖象與x軸交點，即y=0，即ax2＋bx＋c=0，從而轉化為方程的根，再應用根的判別式，求根公式判斷，求解即可，二次函數(shù)圖象與x軸的交點是二次函數(shù)的一個重要內(nèi)容，在其考查中也有重要的地位． 學習難點: 應用一元二次方程根的判別式，及求根公式，來對二次函數(shù)及其圖象進行進一步的理解．此點一定要結合二次函數(shù)的圖象加以記憶． 學習方法: 討論探索法。 學習過程: 一、實例講解： 我們已經(jīng)知道,豎直上拋物體的高度h(m)與運動時間t(s)的關系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是拋出時的高度,v0(m/s)是拋出時的速度.一個小球從地面以40m/s的速度豎直向上拋出起,小球的高度h(m)與運動時間t(s)的關系如圖所示,那么 (1).h和t的關系式是什么？ (2).小球經(jīng)過多少秒后落地?你有幾種求解方法?與同伴進行交流. 二、議一議： 在同一坐標系中畫出二次函數(shù)y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的圖象并回答下列問題： (1).每個圖象與x軸有幾個交點？ (2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有幾個根?驗證一下一元二次方程x2-2x+2=0有根嗎? (3).二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關系? 三、例題： 【例1】已知二次函數(shù)y=kx2－7x－7的圖象與x軸有兩個交點，則k的取值范圍為 ． 【例2】拋物線y=ax2＋bx＋c與x軸交于點A（－3，0），對稱軸為x=－1，頂點C到x軸的距離為2，求此拋物線表達式． 【例5】有一個二次函數(shù)的圖象，三位學生分別說出了它的一些特點： 甲：對稱軸是直線x=4； 乙：與x軸兩個交點的橫坐標都是整數(shù)； 丙：與y軸交點的縱坐標也是整數(shù)，且以這三點為頂點的三角形面積為3． 請寫出滿足上述全部特點的一個二次函數(shù)表達式 ． 四、隨堂練習： 五、課后練習： 作業(yè)： 小結： 教后記：