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2019-2020年九年級數(shù)學(xué)輔導(dǎo)與測試 命題與證明 新課標(biāo) 人教版 1. 命題的概念 判斷一件事情的句子叫做命題。 正確利用命題的定義，來判斷一語句是否為命題，關(guān)鍵看它是否為判斷句。 如：（1）兩點確定一條直線。（2）過兩點畫一條直線。（3）過兩點能畫一條直線嗎？ （1）是判斷句，所以是命題，而（2）是描述句；（3）是疑問句，所以（2）、（3）都不是命題。 2. 命題的結(jié)構(gòu)。 命題是由題設(shè)（已知事項）和結(jié)論（由已知事項推出的事項）組成的。 已知事項，常寫為：“如果……”，由已知事項推出的事項，常寫為：“那么……?！彼?，對于一般命題而言，“如果”后面是題設(shè)，“那么”后面是結(jié)論。有的命題語言很簡練，可以將其改寫成：“如果……那么……”的形式。 3. 命題的真假性。 命題有真有假，正確的命題叫真命題；錯誤的命題叫做假命題，判定一個命題是真命題時，必須保證題設(shè)成立時，結(jié)論一定成立。判斷一個命題是假命題時，只需舉出一個“反例”，說明不能保證結(jié)論一定成立即可。 4. 公理。 人們在長期實踐中總結(jié)出來的得到人們公認的真命題，叫做公理，如“兩點之間，線段最短”，“兩直線平行，同位角相等”。 注意：（1）公理是通過長期實踐反復(fù)試驗證過的，不需再進行推理論證而都承認的命題。（2）公理可以作為判定其他命題真假的根據(jù)。 5. 定理。 用推導(dǎo)的方法判為正確的命題叫做定理。如“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”等。 定理是真命題，但真命題不一定都是定理，一般選擇一些最常用最基本的真命題作為定理，可以以它們?yōu)楦鶕?jù)推證其他命題，這些選作定理的真命題，在教材中用黑體字排印的。 6. 證明： 判斷一個命題的正確性的推理過程叫做證明。 在幾何題的研究上，必須經(jīng)過證明，才能做出真實可靠的判斷，如“對頂角相等”這個命題，如果只采用測量的方法，只能測量有限個對頂角是相等的，但采用推理方法證明了對頂角相等，那么就可以確信一切對頂角相等。 7. 證明的一般步驟： （1）根據(jù)題意，畫出圖形。 （2）根據(jù)題設(shè)、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證。 （3）經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。 【典型例題】 例1. 下列語句是不是命題？ （1）畫∠AOB的平分線； （2）兩條直線相交，有幾個交點？ （3）直角大于銳角； （4）如果； （5）小林可能被北京大學(xué)錄取了； （6）幾何多有樂趣??！ 分析：命題不僅是一個完整的句子，而且要有判斷的特征。 （1）是畫圖語句。（2）是疑問語句。（5）是猜測，既沒有肯定又沒有否定。（6）是感嘆句，它們都不是命題。 （4）是不正確的命題，但它是命題。 解：（1）、（2）、（5）、（6）都不是命題； （3）、（4）都是命題。 例2. 把下列命題改寫成“如果……那么……”的形式，指出其題設(shè)和結(jié)論，并判斷其真假。 （1）垂直于同一條直線的兩條直線平行； （2）同角的余角相等； （3）異號的兩數(shù)相加得負數(shù)。 分析：（1）命題對符合某種條件的兩條直線作出了是平行線的判斷。 （2）命題是對符合某種條件的兩個角作出了相等的判斷。 （3）命題是對符合某種條件的兩個數(shù)相加的結(jié)果作出了是負數(shù)的判斷。 解：（1）如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行。 題設(shè)：兩條直線垂直于同一條直線； 結(jié)論：這兩條直線平行。是真命題。 （2）如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等。 題設(shè)：兩個角是同一個角的余角； 結(jié)論：這兩個角相等。是真命題。 （3）如果兩個數(shù)異號，那么這兩個數(shù)的和是負數(shù)。 題設(shè)：兩個數(shù)異號，結(jié)論：這兩個數(shù)的和是負數(shù)。是假命題。 點撥：如何把命題改寫成“如果……那么……”的形式，首先要找出命題的題設(shè)和結(jié)論?！叭绻焙髮戭}設(shè)，是已知事項，“那么”后面寫結(jié)論，也就是由題設(shè)推出的事項。 例3. 判斷下列命題是真命題還是假命題，要說出判斷的理由。 （1）二元一次方程組一定有解。 （2）∠AOB＝90時，OA⊥OB。 （3）一個數(shù)的相反數(shù)一定比它本身小。 （4）互為補角的兩個角的平分線一定互相垂直。 解：（1）是假命題，如方程組就無解。 （2）是真命題，由垂直的定義可知，如果兩條直線相交成90，那么這兩條直線互相垂直。 （3）是假命題，如－3的相反數(shù)＋3，則－3＜－（－3）。 （4）是假命題，因為互為補角的兩個角不一定相鄰，因而不能確定它們的位置。 點撥：要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可。 例4. 已知，如圖1，D、E、F分別是BC、CA、AB上的點，DE∥BA，DF∥CA。求證：∠FDE＝∠A。 圖1 分析：由DE∥BA知∠A＝∠DEC 由DF∥AC知∠FDE＝∠DEC，問題得證。 證明：∵DE∥BA（已知） ∴∠DEC＝∠A（兩直線平行，同位角相等） ∵DF∥AC（已知） ∴∠DEC＝∠FDE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） ∴∠FDE＝∠A（等量代換） 例5. 如圖2，平行四邊形ABCD與平行四邊形EAFC的頂點D、B、E、F在一條直線上，求證：DE＝BF。 圖2 分析：要證明DE＝BF，因為兩線段都在平行四邊形的對角線上，可以考慮通過平行四邊形的對角線互相平分這一特征來證明。 證明：連結(jié)AC交BD于O 在平行四邊形ABCD中，OB＝OD（平行四邊形的對角線互相平分） 在平行四邊形AFCE中，OF＝OE（平行四邊形的對角線互相平分） 則OB－OF＝OD－OE（等式的性質(zhì)） 即BF＝DE 例6. 如圖3，已知AE∥BC，∠B＝∠C，求證：AE是∠DAC的平分線。 圖3 分析：要證AE是∠DAC的平分線，只要證明∠1＝∠2，而已知AE∥BC，可以得到∠1＝∠B，∠2＝∠C，再由∠B＝∠C，利用等量代換可推證：∠1＝∠2。 證明：AE∥BC（已知） ∴∠1＝∠B（兩直線平行，同位角相等） ∠2＝∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 又∵∠B＝∠C（已知） ∴∠1＝∠2（等量代換） ∴AE是∠DAC的平分線（角平分線定理） 點撥：利用等量代換可推證：∠1＝∠2。 例7. 證明：兩條平行線被第三條直線所截，一組同位角的角平分線互相平行。 分析：這是一個文字命題，要分清題設(shè)和結(jié)論，然后根據(jù)題意畫出圖形，寫出已知和求證。 已知：如圖4，AB∥CD，EF交AB、CD分別于G、H，GK平分∠EGB，HL平分∠GHD。 圖4 求證：GK∥HL 證明：∵AB∥CD（已知） ∴∠EGB＝∠GHD（兩直線平行，同位角相等） ∵GK平分∠EGB，HL平分∠GHD（已知） ∴（角平分線定義）。 ∴∠1＝∠2（等量代換） ∴GK∥HL（同位角相等，兩直線平行） 點撥：對文字敘述的命題，在寫出“已知”和“求證”時，要借助圖形“翻譯”成數(shù)學(xué)符號語言。證明中的推理要有根據(jù)，不能想當(dāng)然。 例8. 如圖5，已知：∠1＋∠2＝180，∠3＝∠B，判斷∠AED與∠C的大小關(guān)系。并對結(jié)論進行證明。 圖5 分析：題目已知條件中涉及的角比較分散，都不能構(gòu)成“三線八角”的基本圖形，但根據(jù)圖形可知，∠1與∠4的鄰補角，有∠1＋∠4＝180，而已知∠1＋∠2＝180，故可得∠2＝∠4，進而知道EF∥AB，∠3＝∠ADE，又根據(jù)∠3＝∠B，故可得∠ADB＝∠B，這樣DE∥BC了，那么∠AED＝∠C。 解：∠AED＝∠C，證明如下： ∵∠1＋∠2＝180（已知） ∠1＋∠4＝180（鄰補角定義） ∴∠2＝∠4（同角的補角相等） ∴AB∥EF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行） ∴∠3＝∠ADE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 又∵∠3＝∠B（已知）。 ∴∠ADE＝∠B（等量代換）。 ∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行） ∴∠AED＝∠C（兩直線平行，同位角相等） 例9. 已知，如圖6，E是正方形ABCD的邊BC的中點，F(xiàn)是CD上一點，AE平分∠BAF。 圖6 求證：AF＝BC＋CF 分析：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法是解答證明題的關(guān)鍵。本題要證明一條線段是另外兩條線段的和，可以考慮用“截長”或“補短”的方法。即可以（1）在AF上截取AM＝AB，再證MF＝CF；（2）將線段BC、CF合二為一，借助等腰三角形的判定定理來證明；（3）還可以取AF的中點，借助梯形的中位線定理證之?，F(xiàn)介紹證法（1）： 證明：在AF上截取AM＝AB，連結(jié)EM、EF 在△ABE和△AME中 AB＝AM，∠1＝∠2，AE＝AE ∴△ABE≌△AME， ∴BE＝EM，∠B＝∠AME ∵四邊形ABCD是正方形 ∴AB＝BC，∠B＝90＝∠C ∴∠EMF＝∠C＝90 ∵E是BC中點，∴BE＝EC＝EM ∴在Rt△EFM和Rt△EFC中， ∠C＝∠EMF＝90 EM＝EC，EF＝EF ∴Rt△EFM≌Rt△EFC， ∴MF＝CF AF＝AM＋MF＝BC＋CF 例10. 請閱讀下面材料，并回答所提出的問題。三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應(yīng)成比例，已知如圖7，△ABC中，AD是角平分線。 圖7 求證： 剖析：要證，一般只要BD、DC與AB、AC或BD、AB與DC、AC所在的三角形相似。現(xiàn)在B、D、C在一直線上，△ABD與△ADC不相似，需要考慮用別的方法換比。 此比例式中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例項，所以考慮過C作CE∥AD交BA的延長線于E，從而得到BD、DC、AB的第四比例項AE。這樣，證明就可以轉(zhuǎn)化成證AE＝AC。 證明：過C作CE∥DA交BA的延長線于E （答題時間：60分鐘） 一、選擇題（每小題只有一個正確答案，把正確答案的代號填在括號內(nèi)） 1. 在△ABC和△ABC中，①AB＝AB；②BC＝BC；③AC＝AC；④∠A＝∠A；⑤∠B＝∠B；⑥∠C＝∠C。則不能判斷△ABC≌△ABC的是（ ） A. ①②③ B. ①②⑤ C. ②④⑤ D. ①③⑤ 2. 在△ABC和△ABC中，AB＝AB，AC＝AC，∠B＝∠B，則∠C與∠C的關(guān)系為（ ） A. 相等 B. 互補 C. 相等或互補 D. 不能確定 3. 下列三個命題中 ①三個角對應(yīng)相等的兩個三角形是全等三角形 ②用全等的正三角形，可以進行平面鑲嵌 ③正三角形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 錯誤的命題有（ ） A. 3個 B. 2個 C. 1個 D. 0個 4. 要測量河兩岸相對的兩點A、B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點C、D，使CD＝CB，再定出BF的垂線DE。使A、C、E在一條直線上（如圖1），可以證明△EDC≌△ABC，得到ED＝AB，因此測量ED的長即為AB的長，判斷△EDC≌△ABC的理由是（ ） 圖1 A. SSS B. SAS C. ASA D. HL 5. 如圖2，AO＝BO，CO＝DO，連接AD、BC交于點P，則①△AOD≌△BOC；②△APC≌△BPD；③點P在∠AOB的角平分線上，以上結(jié)論中（ ） 圖2 A. 只有①正確 B. 只有②正確 C. 只有①②正確 D. ①②③都正確 6. 已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，給出以下四個結(jié)論： 圖3 ①AE＝CF ②△EPF是等腰直角三角形 ③ ④EF＝AP，當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A、B重合）， 上述結(jié)論中始終正確的有（ ） A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 7. 能把平行四邊形分成兩個全等形的直線有（ ） A. 2條 B. 3條 C. 4條 D. 無數(shù)條 二、判斷題 8. 頂角相等的兩個等腰三角形全等。（ ） 9. 關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。（ ） 10. 周長相等的兩個直角三角形全等。（ ） 11. 有一邊和這邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等。（ ） 12. 全等三角形的對應(yīng)邊上的中線相等。（ ） 13. 三角形的三條中位線把三角形分割成四部分，它們是全等形。（ ） 三、填空題 14. 把下列命題寫成“如果……，那么……”的形式： 直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半。 ____________________________________________ 15. 如圖4，AC＝DC，∠ACD＝∠BCE，添加一個條件___________，使△ABC≌△DEC。 圖4 16. 如圖5，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，E是AD延長線上一點，連BE、CE。 圖5 按要求寫出正確的結(jié)論： （1）全等三角形一組：___________； （2）相等的角一組：___________； （3）相等的線段一組（除AB＝AC）：___________。 17. O為平行四邊形ABCD對角線AC、BD的交點，EF經(jīng)過點O，且與邊AD、BC分別交于點E、F，則圖6中的全等三角形有___________對。 圖6 18. BD是△ABC的角平分線，∠C＝90，AC＝CB，DE⊥AB于E，若AB＝5cm，則△ADE的周長為___________。 圖7 19. 此題共有A、B、C三題。請你任選兩題填寫，多填寫的題目不記分。填寫時不再標(biāo)注另外的字母。根據(jù)選題難度評分 （1） （2） （3） 圖8 （A）如圖8（1），AB＝AC，AD＝AE。 寫出一對全等三角形___________；識別方法是___________。 （B）如圖8（2），CE⊥AB于點E，BD⊥AC于點D，BD、CE交于點O，且AO平分∠BAC。 寫出一對全等三角形___________；識別方法是___________。 （C）如圖8（3），△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延長線與AC交于點E。 寫出一對全等三角形___________；識別方法是___________。 四、解答題 20. 根據(jù)下列命題，畫出圖形并寫出“已知”、“求證”：直徑所對的圓周角是直角。 已知：______________________ 求證：______________________ 21. 已知∠α、∠β，用直尺和圓規(guī)作角：。（不寫作法，保留作圖痕跡） 圖9 22. 已知線段a、b，∠α，用直尺和圓規(guī)作△ABC，使AB＝c，AC＝b，∠C＝∠α。（不寫作法，保留作圖痕跡） 圖10 23. 分別作出下列三個三角形三邊上的高，根據(jù)你畫的圖形判斷三角形三邊上的高線交點位置是怎樣的？（不寫作法，保留作圖痕跡） 圖11 參考答案 一、選擇題（每小題只有一個正確答案，把正確答案的代號填在括號內(nèi)） 1. D 2. C 3. B 4. C 5. D 6. C 7. D 二、判斷題 8. 9. √ 10. 11. 12. √ 13. √ 三、填空題 14. 如果一個三角形是直角三角形，那么它斜邊上的中線等于斜邊的一半 15. BC＝EC或∠A＝∠D或∠DEC＝∠B等 16. （1）△ABD≌△ACD或△BDE≌△CDE或△ABE≌△ACE （2）∠BAE＝∠EAC等， （3）BD＝DC或BE＝EC 17. 6 18. 5cm 19. （A）△ABD≌△ACE，SAS （B）△AEO≌△ADO，AAS等， （C）△BDH≌△ADC，SAS 四、解答題 20. 已知：AB為⊙O的直徑，C為半圓上一點。 求證：∠ACB為直角。 21. 略 22. 略 23. 當(dāng)三角形為銳角三角形時，交點在三角形內(nèi)；當(dāng)三角形為直角三角形時，交點在三角形的邊上；當(dāng)三角形為鈍角三角形時，交點在三角形外。 作圖略。