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2019-2020年八年級數(shù)學(xué)上冊 第二章 軸對稱圖形 2.5 等腰三角形的軸對稱性教案（3） （新版）蘇科版 教　　材：義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)（八年級上冊） 2.5　等腰三角形的軸對稱性（3） 教學(xué)目標(biāo) 1．探索并掌握直角三角形的一個性質(zhì)定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半； 2．經(jīng)歷“折紙、畫圖、觀察、歸納”的活動過程，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和抽象、概括能力，不斷積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗； 3．在交流過程中，引導(dǎo)學(xué)生體會推理的思考方法，進(jìn)一步提高說理、分析、猜想和歸納的能力； 4. 引導(dǎo)學(xué)生理解合情推理和演繹推理都是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的重要途徑，進(jìn)一步體會證明的必要性． 教學(xué)重點 探索并能應(yīng)用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題． 教學(xué)難點 引導(dǎo)學(xué)生用“分析法”證明“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半” ． 教學(xué)過程（教師） 學(xué)生活動 設(shè)計思路 情境創(chuàng)設(shè) 提問： 1．等腰三角形有哪些性質(zhì)？ 2．怎樣判定一個三角形是等腰三角形？ 學(xué)生回顧： 1．等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角；等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合． 2．判定一個三角形是等腰三角形的方法： （1）根據(jù)定義，證明三角形有兩邊相等； （2）根據(jù)“等角對等邊”，只要證明一個三角形有兩個角相 等． 復(fù)習(xí)回顧等腰三角形的性質(zhì)及判定方法，為下面解決問題作鋪墊，同時也明確無論是證明線段相等還是折出等腰三角形，都只要證（尋）得相等的角即可． 應(yīng)用反饋 根據(jù)你所掌握的方法獨立解決下列問題： 1．已知：如圖，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．求證：AB＝AC． 思考：（1）上圖中，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC嗎？試證明你的結(jié)論． （2）上圖中，如果AB＝AC，AD平分∠EAC，那么AD∥BC嗎？ 通過這一系列問題的解決，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 學(xué)生獨立思考分析，代表發(fā)言． 解：△ABC是等腰三角形． ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C． ∵∠EAD＝∠DAC， ∴∠B＝∠C． ∴AB＝AC（等角對等邊）． 學(xué)生板演． ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C （等邊對等角） ． ∴∠EAD＝∠DAC． ∴AD平分∠EAC． 學(xué)生交流想法，代表發(fā)言． 歸納結(jié)論：①AB＝AC；②AD平分∠EAC；③AD∥BC三個論斷中，其中任意兩個成立，第三個一定也成立． 對等腰三角形的判定方法的直接應(yīng)用，同時也為下面折紙活動作鋪墊． “思考”兩題是第1題的變式，同時也是“等邊對等角”性質(zhì)的應(yīng)用． 培養(yǎng)學(xué)生積極思考，舉一反三的思維習(xí)慣，也培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力． 活動一： 操作探索 1．提問：你能用折紙的方法將一個直角三角形分成兩個等腰三角形嗎？ 2．提問：△ACD與△BCD為什么是等腰三角形？請說明理由． 3．提問：觀察圖形，你還有哪些發(fā)現(xiàn)？ 學(xué)生思考，操作，小組內(nèi)交流． 1．學(xué)生代表發(fā)言，說明折紙的方法，指出△ACD與△BCD是等腰三角形； 圖（3） 圖（2） 2．在學(xué)生代表帶領(lǐng)下操作，將剪出的直角三角形紙片，分別按圖（2）（3）折疊，標(biāo)出點D，連接CD． 3．觀察圖形，小組內(nèi)交流自己的發(fā)現(xiàn)，代表發(fā)言． 有4個直角三角形全等； BD＝CD＝AD； …… 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也明確操作活動的目的，為在折紙過程中發(fā)現(xiàn)直角三角形的性質(zhì)作鋪墊． 通過折紙，讓學(xué)生親歷操作——觀察——發(fā)現(xiàn)——歸納的過程，體驗“做數(shù)學(xué)”，發(fā)展空間觀念，提高動手能力． 設(shè)計這個活動的目的是通過觀察線段CD把直角三角形ABC分成的2個三角形，進(jìn)一步獲得直角三角形與斜邊的關(guān)系．實質(zhì)是從中引導(dǎo)學(xué)生不斷地學(xué)會從多個角度觀察、認(rèn)識圖形，主動地發(fā)現(xiàn)和獲得新的數(shù)學(xué)結(jié)論，不斷地積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗． 相互討論使學(xué)生主動參與到學(xué)習(xí)活動中來，提高學(xué)生的觀察分析能力，培養(yǎng)學(xué)生善于思考的良好習(xí)慣，同時也培養(yǎng)學(xué)生合作交流精神和發(fā)散思維能力. 活動二：探索說理 1．提問． （1）D是斜邊AB的中點嗎？ （2）斜邊AB上的中線CD與斜邊AB有何數(shù)量關(guān)系？ 2．剛才我們通過折紙活動發(fā)現(xiàn)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，你能說明理由嗎？ （1）你能根據(jù)題中的已知條件和要說明的結(jié)論畫出圖形來表示嗎？ （2）思考：怎樣說明CD＝AB？ 分析： 在折紙活動中，你怎樣找出斜邊上的中線？ 假設(shè)已知CD＝AB，那么我們可以得出怎樣的結(jié)論？這對于你說明結(jié)論有啟發(fā)嗎？ 3．小結(jié)． （1）定理：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，并用符號語言表述； （2）證明中常用的一種思考方法：即分析法從需要證明的結(jié)論出發(fā)，逆推出要使結(jié)論成立所需要的條件，再把這樣的“條件”看作“結(jié)論”，一步一步逆推，直至歸結(jié)為已知條件． 4．嘗試練習(xí)． （1）Rt△ABC中，如果斜邊AB 為4cm，那么斜邊上的中線CD＝_______cm． （2）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，DE⊥AC，垂足為E． ①如果CD＝2.4cm，那么AB＝ cm． ②寫出圖中相等的線段和角． （3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CA＝CB，如果斜邊AB＝5cm，那么斜邊上的高CD＝ cm． 1．在剛才討論交流的基礎(chǔ)上，學(xué)生回答，得出結(jié)論： “直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半” ． 2.（1）畫出Rt△ABC，∠ACB＝90，CD為斜邊上的中線． （2）首先獨立思考，嘗試證明，再小組討論交流，代表發(fā)言，說明如何想到證明思路的？ ①通過折疊，使∠BCD＝∠B，從而確定斜邊AB的中點D，并發(fā)現(xiàn)結(jié)論，所以說理時也可以在∠ACB內(nèi)作∠B＝∠BCD，在證明CD是斜邊上的中線時也能證明結(jié)論； ②如果CD＝AB，那么CD＝BD＝AD，∠A＝∠ACD， ∠B＝∠BCD，那么首先需作CD使∠A＝∠ACD或∠B＝ ∠BCD，再證CD為斜邊AB上的中線，且CD＝BD＝AD即可； ③閱讀課本． 3．學(xué)生口答，板書． ∵ 在△ABC中，∠ACB＝90， 點D是AB的中點， ∴ CD＝ AB． 4．學(xué)生口答，并說明理由． （1）根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，CD＝AB＝2cm． （2）①根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，AB＝2CD＝4.8cm． ②CD＝BD＝AD，CE＝AE，∠A＝∠ACD， ∠B＝∠BCD，∠ACB＝∠DEA＝∠DEC＝90． （3）因為CA＝CB，CD⊥AB，根據(jù)“等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合”得AD＝BD ，又因為∠ACB＝90，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得 CD＝AB＝2.5cm． 在相互交流的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力． 鞏固證明文字命題的一般步驟． 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)格的證明，使學(xué)生進(jìn)一步體會證明的必要性． 提供學(xué)生充分討論和交流的機(jī)會，鼓勵學(xué)生進(jìn)行不同證明思路的交流和討論． 引導(dǎo)學(xué)生回顧折紙過程，從而明確像折疊那樣使∠BCD＝∠B，就能逐步證得結(jié)論，目的是使學(xué)生感受合情推理有助于發(fā)現(xiàn)證明思路和方法． 讓學(xué)生了解“分析法”，逐步學(xué)會自己進(jìn)行分析尋找解題思路． 展現(xiàn)學(xué)生的思路，并通過討論，引導(dǎo)學(xué)生體會推理的思考方法，并由學(xué)生自己逐步完善證明的思路．使學(xué)生認(rèn)識將探索和證明有機(jī)的結(jié)合起來和演繹推理都是人們正確的認(rèn)識事物的重要途徑．同時，培養(yǎng)學(xué)生“言之有理，落筆有據(jù)”的習(xí)慣． 回歸教材，閱讀課本，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力． 通過嘗試練習(xí)，及時鞏固定理的應(yīng)用． （1）已知斜邊上的中線長，應(yīng)用定理求出斜邊長． （2）綜合應(yīng)用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)和“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．學(xué)生回答時，要求他們說明理由，及時鞏固等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的這一性質(zhì)，同時也鍛煉學(xué)生有條理的表達(dá)能力． 例題講解 1．如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90，如果∠A＝30，那么BC與AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 試證明你的結(jié)論． 提問引導(dǎo)： （1）對于BC與AB的數(shù)量關(guān)系，你有何猜想？你為什么作這樣的猜想？ （2）我們猜想BC＝AB，根據(jù)我們學(xué)過的知識，什么與AB相等？這對于你證明結(jié)論有啟發(fā)嗎？ （3）指導(dǎo)學(xué)生完成證明過程（投影）． 2．已知：如圖，點C為線段AB的中點， ∠AMB＝∠ANB＝90.CM與CN是否相等？為什么？ 指導(dǎo)學(xué)生完成證明過程，對板演點評． 1．獨立思考，嘗試用分析法推理證明思路． 學(xué)生口答，說明自己的思考過程． （1）猜想：BC＝AB； （2）聯(lián)想：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，也有AB，作斜邊上的中線CD，則CD＝BD，如果結(jié)論成立，則△BCD為等邊三角形，∠B＝60，由已知條件易得； （3）書寫證明過程． 解：BC＝AB． 作斜邊上的中線CD， ∵∠ACB＝90，∠A＝30， ∴∠B＝60． ∵∠ACB＝90，CD是斜邊上的中線， ∴CD＝AB＝BD（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）． ∴△BCD是等邊三角形（有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形）． ∴BC＝CD＝AB． 2．獨立思考，完成證明過程，學(xué)生板演． 解：CM＝CN． ∵點C為線段AB的中點，∠AMB＝∠ANB＝90， ∴CM＝AB，CN＝AB（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）． ∴CM＝CN． 學(xué)生猜想后追問為什么這樣猜想，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到可以通過度量或疊合等操作獲得線段（或角）之間的數(shù)量關(guān)系的感性認(rèn)識，以便作出合理猜想. 引導(dǎo)學(xué)生采用分析法推理證明思路. 師生互動，鍛煉學(xué)生的口頭表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)表自己看法的能力. 指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步規(guī)范證明的書寫格式. 第2題也是鞏固“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一性質(zhì)的應(yīng)用. 指導(dǎo)學(xué)生活動 完成練習(xí)： 1．課本P66練習(xí)2． 2．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90，M、 N分別是AC、BD的中點，試說明： （1）MD＝MB； （2）MN⊥BD． 課本練習(xí)第2題是角平分線、等腰三角形性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用，學(xué)生通過“分析法”分析證明思路． 練習(xí)2是例2的變式，也有助于了解學(xué)生對“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”和等腰三角形性質(zhì)的掌握情況． 課堂小結(jié) 這節(jié)課你有哪些收獲？ 說一說自己的收獲． 1．知道直角三角形的一個性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，并會應(yīng)用性質(zhì)定理解決問題． 2．通過折紙等操作活動能發(fā)現(xiàn)結(jié)論，用分析法也可以幫助我們尋找證明思路. 及時對所學(xué)進(jìn)行反思和小結(jié)，便于知識內(nèi)化．