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2019年高考數(shù)學(xué) 考點匯總 考點45 隨機抽樣、用樣本估計總體、變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例（含解析） 一、選擇題 1. (xx湖北高考文科T6)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù) x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0 得到的回歸方程為=bx+a,則　(　　) A.a>0,b<0 B.a>0,b>0 C.a<0,b<0 D.a<0,b>0 【解題提示】考查根據(jù)已知樣本數(shù)據(jù)繪制散點圖,由散點圖判斷線性回歸方程中的b與a的符號問題. 【解析】選A.畫出散點圖如圖所示,y的值大致隨x的增加而減小,所以b<0,a>0. 2. （xx湖南高考文科Ｔ3）與（xx湖南高考科理科Ｔ2）相同 對一個容器為的總體抽取容量為的樣本，當(dāng)選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為，則（ ） 【解題提示】根據(jù)三種抽樣方法的特點求解。 【解析】選D.因為隨機抽樣時，不論三種抽樣方法的哪一種都要保證總體中每個個體被抽到的概率相等，所以三個概率值相等。 3. （xx湖南高考理科Ｔ2）對一個容量為的總體抽取容量為的樣本，當(dāng)選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別是則( ) A． B． C． D． 【解題提示】根據(jù)三種抽樣方法的特點求解。 【解析】選D.因為隨機抽樣時，不論三種抽樣方法的哪一種都要保證總體中每個個體被抽到的概率相等，所以三個概率值相等。 4.(xx廣東高考文科T6)為了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,采用系統(tǒng)抽樣的方法,從中抽取容量為40的樣本,則分段的間隔為　(　　) A.50 B.40 C.25 D.20 【解題提示】分段的間隔等于樣本空間總數(shù)除以抽取容量. 【解析】選C.分段的間隔為100040=25. 5. （xx山東高考理科Ｔ7） 為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：）的分組區(qū)間為，，，，，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，......，第五組.右圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（ ） A.1 B.8 C.12 D.18 【解題指南】本題考查了頻率分布直方圖，先利用已知數(shù)據(jù)估計總體數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)，然后再根據(jù)比例計算第三組數(shù)據(jù)有效的人數(shù). 【解析】選C.由圖知，樣本總數(shù)為.設(shè)第三組中有療效的人數(shù)為x，則，解得. 6. （xx山東高考文科Ｔ8）與（xx山東高考理科Ｔ7）相同 (xx陜西高考文科T9)某公司10位員工的月工資(單位:元)為x1,x2,…,x10,其均值和方差分別為和s2,若從下月起每位員工的月工資增加100元,則這10位員工下月工資的均值和方差分別為　(　　) A.,s2+1002 B.+100,s2+1002 C.,s2 D.+100,s2 【解題指南】根據(jù)樣本數(shù)據(jù)均值和方差的計算公式代入求解即可. 【解析】選D. 樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的均值=(x1+x2+…+x10), 方差s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2] 新數(shù)據(jù)x1+100,x2+100,…,x10+100的均值, =(x1+100+x2+100+…+x10+100)=(x1+x2+…+x10)+100=+100, 新數(shù)據(jù)x1+100,x2+100,…,x10+100的方差, s2=[(x1+100--100)2+(x2+100--100)2+…+(x10+100--100)2] =[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2]=s2. 7.(xx陜西高考理科T9)設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的均值和方差分別為1和4,若yi=xi+a(a為非零常數(shù),i=1,2,…,10),則y1,y2,…,y10的均值和方差分別為　(　　) A.1+a,4 B.1+a,4+a C.1,4 D.1,4+a 【解題指南】根據(jù)樣本數(shù)據(jù)均值和方差的計算公式代入求解即可. 【解析】選A.樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的均值=(x1+x2+…+x10)=1, 方差s2=[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4, 新數(shù)據(jù)x1+a,x2+a,…,x10+a的均值 =(x1+a+x2+a+…+x10+a)=(x1+x2+…+x10)+a=1+a, 新數(shù)據(jù)x1+a,x2+a,…,x10+a的方差 s2=[(x1+a-1-a)2+(x2+a-1-a)2+…+(x10+a-1-a)2] =[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4. 8.（xx四川高考文科Ｔ2）在“世界讀書日”前夕，為了了解某地名居民某天的閱讀時間，從中抽取了名居民的閱讀時間進(jìn)行統(tǒng)計分析．在這個問題中，名居民的閱讀時間的全體是（ ） A．總體 B．個體 C．樣本的容量 D．從總體中抽取的一個樣本 【解題提示】考查統(tǒng)計中總體的有關(guān)概念，屬基本題. 【解析】選A. 從500份中抽取份，樣本容量是200，抽取的200份是一個樣本，每個居民的閱讀時間就是一個個體，5000名居民的閱讀時間的全體是總體．所以選A. 9. （xx重慶高考文科Ｔ3）某中學(xué)有高中生人,初中生人.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個容量為的樣本,已知從高中生中抽取人,則為（ ） A. B. C. D. 【解題提示】直接根據(jù)分層抽樣的定義列出關(guān)于的等式求解即可. 【解析】選A.由分層抽樣的定義可知,解得 二、填空題 10. (xx湖北高考文科T11)甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4800件,采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測.若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn),則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為 　　　　件. 【解析】依題意,設(shè)在甲生產(chǎn)的設(shè)備中抽50x件, 則在乙生產(chǎn)的設(shè)備中抽30x件, 所以50x+30x=4800,解得x=60, 故乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為1800件. 答案:1800 【誤區(qū)警示】本題的易錯點是理解分層抽樣是一個等比例抽樣,記憶公式是重點. 11. （xx湖北高考理科Ｔ4）根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù) x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0 得到的回歸方程為，則 A. B. C. D. 【解題提示】考查根據(jù)已知樣本數(shù)判繪制散點圖，由散點圖判斷線性回歸方程中的與的符號問題 【解析】選B. 畫出散點圖如圖所示，y的值大致隨x的增加而減小，因而兩個變量呈負(fù)相關(guān)，所以， 12. （xx上海高考理科Ｔ1）某校高一、高二、高三分別有學(xué)生1600名、1200名、800名.為了解該校高中學(xué)生的牙齒健康情況，按各年級的學(xué)生數(shù)進(jìn)行分層抽樣.若高三抽取20名學(xué)生，則高一、高二共需抽取的學(xué)生數(shù)為___________. 【解題提示】 根據(jù)分層抽樣的定義，按三個年級的比例抽取，已知高三了，高一高二易得. 【解析】三個年級的學(xué)生數(shù)之比為4:3:2，高三抽取了20人，則高一、高二應(yīng)分別抽取40、30人，故共抽取70人. 13. （xx天津高考文科Ｔ9，同xx天津高考理科Ｔ9））某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查.已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為，則應(yīng)從一年級本科生中抽取 名學(xué)生. 【解析】由知應(yīng)從一年級本科生中抽取60名學(xué)生. 【答案】60 三、解答題 14. （xx遼寧高考理科Ｔ18）（本小題滿分12分） 一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示： 將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立. （Ⅰ）求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另一天的日銷售量低于50個的概率； （Ⅱ）用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列，期望及方差. 【解析】（Ⅰ）記表示事件“日銷售量不低于100個”，表示事件“日銷售量低于50個”，表示事件“未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另一天的日銷售量低于50個”，因此結(jié)合日銷售量的頻率分布直方圖得 ; ; （Ⅱ）的可能取值為，相應(yīng)的概率為 ， ， 所以的分布列為 0 1 2 3 因為,所以隨機變量X的期望， 方差 15. （xx遼寧高考文科Ｔ18）（本小題滿分12分）某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示： 喜歡甜品 不喜歡甜品 合計 南方學(xué)生 北方學(xué)生 合計 （Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95℅的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”； （Ⅱ）已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中2名喜歡甜品，現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率. 附：， 【解析】（Ⅰ）將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入計算公式， 得 由于，所以有95℅的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”； （Ⅱ）從5名數(shù)學(xué)系學(xué)生中人去3人的一切可能結(jié)果所組成的基本事件為下列10個： 其中表示喜歡甜品的學(xué)生，表示不喜歡甜品的學(xué)生， 這10個基本事件的出現(xiàn)是等可能的. 抽取3人，至多有1人喜歡甜品的事件為以下7個： 從這5名學(xué)生中隨機抽取3人，至多有人喜歡甜品的概率為 16. (xx新課標(biāo)全國卷Ⅱ高考理科數(shù)學(xué)T19)(本小題滿分12分)某地區(qū)xx年至xx年農(nóng)村居民家庭純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表: 年份 xx xx xx xx 2011 xx xx 年份代號t 1 2 3 4 5 6 7 人均純收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)求y關(guān)于t的線性回歸方程. (2)利用(1)中的回歸方程,分析xx年至xx年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測該地區(qū)xx年農(nóng)村居民家庭人均純收入. 附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為: . 【解題提示】(1)利用公式求得回歸直線方程.(2)利用回歸方程中b的正負(fù)分析變化情況,將xx年的年份代號代入回歸方程,估計家庭人均純收入. 【解析】(1)因為==4, ==4.3, 設(shè)回歸方程為y=bt+a,代入公式,經(jīng)計算得 b===, a=-b=4.3-4=2.3, 所以,y關(guān)于t的回歸方程為y=0.5t+2.3. (2)因為b=>0,所以xx年至xx年該地區(qū)人均純收入穩(wěn)步增長,預(yù)計到xx年, 該地區(qū)人均純收入y=0.59+2.3=6.8(千元), 所以,預(yù)計到xx年,該地區(qū)人均純收入約6800元左右. 17. （xx重慶高考文科Ｔ17）20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(單位:分)的頻率分布直方圖如下: (1)求頻率分布直方圖中 的值; (2)分別求出成績落在 與 中的學(xué)生人數(shù); (3)從成績在的學(xué)生中任選人，求此 人的成績都在中的概率. 【解題提示】 直接根據(jù)頻率之和為 可求出 的值,再根據(jù)對應(yīng)頻率可求出成績落在 與 中的學(xué)生人數(shù),然后利用古典概型概率公式求解成績都在中的概率. 【解析】(1)據(jù)直方圖知組距為 ，由 解得 . (2)成績落在中的學(xué)生人數(shù)為 成績落在中的學(xué)生人數(shù)為 (3)記成績落在中的 人為 成績落在中的 人 , 則從成績在的學(xué)生中任選人的基本事件共有 個: 其中人的成績都在中的基本事件有 個： 故所求概率為 18.（xx安徽高考文科Ｔ17）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)（單位:小時） （1）應(yīng)收集多少位女生樣本數(shù)據(jù)？ （2）根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估計該校學(xué)生每周平均體育運動時間超過4個小時的概率. （3）在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4個小時.請完成每周平均體育運動時間與性別的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)”. 附： P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 【解題提示】分清樣本總體、個體的概念，識別頻率分布直方圖，正確列出列聯(lián)表求解，本題屬于容易題。 【解析】（1）,所以應(yīng)收集90位女生的樣本數(shù)據(jù)。 （2）由頻率分布直方圖得，所以該校學(xué)生每周平均體育運動時間超過4小時的概率的估計值為0.75. （3）由（2）知，300為學(xué)生中有人的每周平均體育運動時間超過4個小時. 75人的每周平均體育運動時間不超過4個小時.又因為樣本數(shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的，90份是關(guān)于女生的，所以每周平均體育運動時間與性別的列聯(lián)表如下： 平均體育運動時間與性別列聯(lián)表 男生 女生 總計 每周平均體育運動時間不超過4個小時 45 30 75 每周平均體育運動時間超過4個小時 165 60 225 總計 210 90 300 結(jié)合列聯(lián)表可算得。 有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)”.