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2019-2020年九年級數(shù)學(xué)上冊 第2章 命題與證明 第2章綜合 名師教案 湘教版 【教學(xué)目標(biāo)】 1. 了解命題的概念，知道什么是命題，真命題、假命題、逆命題，能區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論，會把一個(gè)命題寫成“如果……，那么……”的形式。 2. 了解定義、公理、定理的概念以及公理與定理的區(qū)別，能舉例將所學(xué)過的定理、公理進(jìn)行說明，能較準(zhǔn)確地表達(dá)學(xué)過的定義、定理等。 3. 了解證明的必要性、公理的方法，綜合證明的格式，理解推理中要步步有據(jù)，會根據(jù)題意畫出圖形，寫出已知、求證，并完成一個(gè)簡單命題的證明。 4. 通過舉反例判定一個(gè)命題是假命題，能掌握用反證法證明的思想方法。 二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1. 教學(xué)重點(diǎn)： 理解證明的必要性；了解定義、命題的概念并會判斷真假命題，理解本節(jié)所給出的公理及相關(guān)定理。 2. 教學(xué)難點(diǎn)： 對證明的邏輯推理過程要熟練掌握，并能較嚴(yán)密地寫出證明過程。 3. 思想方法： 經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，體會證明的必要性，發(fā)展學(xué)生初步的演繹推理能力；分析、解決問題時(shí)強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化的思想、化難為易、轉(zhuǎn)化的方式有代換轉(zhuǎn)化，已知與未知的轉(zhuǎn)化、特殊與一般的轉(zhuǎn)化等。 三. 主要內(nèi)容： （一）本章知識結(jié)構(gòu)圖 （二）基本內(nèi)容 1. 理解推理證明的必要性 2. 定義： 對一個(gè)概念的特征本質(zhì)的描述，稱為它的定義。 3. 命題： （1）定義：判斷一件事情的句子，叫做命題。 （2）結(jié)構(gòu)：每個(gè)命題都由條件和結(jié)論兩部分組成。 命題一般可以寫作“如果……，那么……”或“若……，則……”的形式。 （3）分類：命題包括真命題和假命題兩類。 4. 公理、定理、證明： 人們在長期實(shí)踐中總結(jié)出來的公認(rèn)的真命題，稱為公理。 通過推理論證、判斷其為真命題，稱為定理。 推理的過程叫做證明。 5. 命題與逆命題： 兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題。 其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題。 任何一個(gè)命題都有其逆命題，但一個(gè)真命題的逆命題不一定是真命題，所以，不是所有的定理都有其逆定理。 6. 證明的一般步驟： （1）弄清題意，能正確畫出圖形。 （2）根據(jù)題意和圖形，寫出“已知”和“求證”。 （3）條理清晰地寫出證明過程。 （4）檢查表達(dá)過程是否正確、完善。 【典型例題】 例1. 請寫出下列命題的逆命題，并判斷是真命題還是假命題。 （1）直角都相等。 （2）如果兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)數(shù)是正數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)之和是正數(shù)。 （3）對角相等的平行四邊形是矩形。 分析：寫逆命題應(yīng)先弄清命題的條件和結(jié)論。 解：（1）相等的角是直角。（假命題） （2）如果兩個(gè)數(shù)之和是正數(shù)，那么兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)數(shù)是正數(shù)。（真命題） （3）矩形是對角相等的平行四邊形。（假命題） 說明：一個(gè)命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題。 例2. 有一次四人游泳比賽，比賽前，四名選手A、B、C、D進(jìn)行預(yù)測性會談，A說：“我肯定得第一名”，B說：“我絕對不會得最末名”，C說：“我不可能是第一名，也不會得最后一名”，D說：“那只有我是最末的！”。經(jīng)過比賽成績揭曉，發(fā)現(xiàn)他們之中只有一位預(yù)測錯(cuò)誤，請指出是哪一位選手？ 分析：我們先將四人談話內(nèi)容列出表格，再來討論。 解：從表中可看出D沒有估計(jì)錯(cuò)誤。 如果D預(yù)測錯(cuò)誤，那么自然另有一個(gè)選手預(yù)測錯(cuò)了，否則就不會出現(xiàn)最末名；如果C預(yù)測錯(cuò)誤，則他在這次比賽中應(yīng)得第一名或第四名，但在此情況下，第一名和第四名已分別由A和D占據(jù)；如果B預(yù)測錯(cuò)誤，則他只能是第四名，這里D也成了預(yù)測者，但按條件，預(yù)測錯(cuò)誤的只有一人。 因此預(yù)測錯(cuò)誤的只能是A，他應(yīng)是第二名或第三名。 這樣，名次可能是： （1）第一名：B，第二名：A，第三名：C，第四名：D； （2）第一名：B，第二名：C，第三名：A，第四名：D。 這類題型主要是訓(xùn)練同學(xué)們的邏輯推理能力，讓同學(xué)們看到邏輯推理在解決問題的價(jià)值，同時(shí)體驗(yàn)到用邏輯思維方法成功的快樂。 例3. 有一矩形鋼板ABNM，現(xiàn)加工成零件形狀，如圖，按規(guī)定∠ADE、∠BCE應(yīng)分別是45和55，檢驗(yàn)工人量得∠DEC＝95，就非?？隙ǖ嘏卸ㄟ@個(gè)零件不合格，你能說明這是為什么嗎？ 分析：這也是一道訓(xùn)練邏輯思維的題目，零件是否合格、取決于角度之間是否相等。 即若∠ADE＋∠BCE＝∠DEC，則零件合格，否則零件不合格。 解：過E作EF∥AD ∴∠ADE＝∠FED 又AM∥BN，∴EF∥BC ∴∠FEC＝∠ECB 現(xiàn)量得∠DEC＝95 ∴這個(gè)零件不合格 例4. 如圖，已知AB∥CD，EF交CD于H，交AB于I，EG⊥AB，垂足為G，若∠GHE＝125，求∠FEG的度數(shù)。 分析：略 解：∵AB∥CD，∠CHE＝125（已知） ∴∠AIE＝∠CHE＝120 又EG⊥AB（已知） ∴∠EGI＝90（垂直定義） 又∠AIE是△EIG的一個(gè)外角 ∴∠AIE＝∠FEG＋∠EGI 例5. 證明：順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形。 已知：如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，對角線AC⊥BD。 求證：四邊形EFGH是矩形。 分析：要證四邊形EFGH是矩形，先需證明它是平行四邊形。 由于E、F、G、H分別是各邊中點(diǎn)。 由三角形中位線定理易證EFGH是平行四邊形，再根據(jù)AC⊥BD去證明EFGH中有一個(gè)角為直角即可。 證明：∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)（已知） ∴四邊形EFGH是平行四邊形 又∵AC⊥BD，EF∥AC ∴∠1＝90 又EH∥BD（三角形中位線定理） ∴∠2＋∠1＝180 即∠2＝90 ∴四邊形EFGH是矩形 例6. 先閱讀第（1）問的題目及證明過程，然后完成（2）問的問題。 （1）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＋BC，E為CD中點(diǎn)。 求證：AE⊥BE 證明：過點(diǎn)E作EF∥BC交AB于F ∵E是CD的中點(diǎn) ∴F是AB的中點(diǎn) ∴EF是梯形ABCD的中位線 （2）在第（1）題的證明過程中，第_________步（填寫（1）題中證明步驟中的序號），我們用到了定理：“如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形?！? 現(xiàn)在請你證明這個(gè)定理（要求寫出已知、求證和證明）。 解：本題（1）中第<4>步的理由是定理“如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。”，證明如下： 求證：△ACB是直角三角形。 分析：略 證明：∵CD是AB邊上的中線 即∠ACB＝90 ∴△ACB是直角三角形 說明：這類閱讀理解題近年來越來越常見，主要考查同學(xué)們閱讀理解和自學(xué)能力，希望同學(xué)們加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練。