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2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第十二講 方程與函數(shù) 方程思想是指在解決問(wèn)題時(shí)，通過(guò)等量關(guān)系將已知與未知聯(lián)系起來(lái)，建立方程或方程組，然后運(yùn)用方程的知識(shí)使問(wèn)題得以解決的方法；函數(shù)描述了自然界中量與量之間的依存關(guān)系，函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是剔除問(wèn)題的非本質(zhì)特征，用聯(lián)系和變化的觀(guān)點(diǎn)研究問(wèn)題．轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系去解決． 方程與函數(shù)聯(lián)系密切，我們可以用方程思想解決函數(shù)問(wèn)題，也可以用函數(shù)思想討論方程問(wèn)題，在確定函數(shù)解析式中的待定系數(shù)、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、函數(shù)圖象的交點(diǎn)等問(wèn)題時(shí)，常將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程或方程組；而在討論方程、方程組的解的個(gè)數(shù)、解的分布情況等問(wèn)題時(shí)，借助函數(shù)圖象能獲得直觀(guān)簡(jiǎn)捷的解答． 【例題求解】 【例1】 若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍 ． 思路點(diǎn)撥 可以利用絕對(duì)值知識(shí)討論，也可以用函數(shù)思想探討：作函數(shù)，函數(shù)圖象，原方程有解，即兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)，依此確定m的取值范圍． 【例2】設(shè)關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ，且<1<，那么取值范圍是( ) A． B． C． D． 思路點(diǎn)撥 因根的表達(dá)式復(fù)雜，故把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題來(lái)解決，即求對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)滿(mǎn)足<1<的的值，注意判別式的隱含制約． 【例3】 已知拋物線(xiàn) ()與軸交于兩點(diǎn)A(，0)，B(，0)( ≠)． (1)求的取值范圍，并證明A、B兩點(diǎn)都在原點(diǎn)O的左側(cè)； (2)若拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)C，且OA+OB＝OC一2，求的值． 思路點(diǎn)撥 、是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，于是二次函數(shù)問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為二次方程問(wèn)題加以解決，利用判別式，根與系數(shù)的關(guān)系是解題的切入點(diǎn)． 【例4】 拋物線(xiàn)與軸的正半軸交于點(diǎn)C，與軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，并且點(diǎn)B在A(yíng)的右邊，△ABC的面積是△OAC面積的3倍． (1)求這條拋物線(xiàn)的解析式； (2)判斷△OBC與△OCA是否相似，并說(shuō)明理由． 思路點(diǎn)撥 綜合運(yùn)用判別式、根與系數(shù)關(guān)系等知識(shí)，可判定對(duì)應(yīng)方程根的符號(hào)特征、兩實(shí)根的關(guān)系，這是解本例的關(guān)鍵．對(duì)于(1)，建立關(guān)于m的等式，求出m的值；對(duì)于(2)依m(xù)的值分類(lèi)討論． 【例5】 已知拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)M(，)位于軸下方． (1)求證：此拋物線(xiàn)與軸交于兩點(diǎn)； (2)設(shè)此拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為A(，0)，B(，0)，且 <，求證： <<． 思路點(diǎn)撥 對(duì)于(1)，即要證；對(duì)于(2)，即要證． 注：(1)拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為二次方程根的個(gè)數(shù)、根的符號(hào)特征、根的關(guān)系來(lái)探討，需綜合運(yùn)用判別式、韋達(dá)定理等知識(shí)． (2)對(duì)較復(fù)雜的二次方程實(shí)根分布問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為用函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)來(lái)討論，基本步驟是：在直角坐標(biāo)系中作出對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象，由確定函數(shù)圖象大致位置的約束條件建立不等式組． (3) 一個(gè)關(guān)于二次函數(shù)圖象的命題：已知二次函數(shù)（）的圖象與軸交于A(yíng)（，0），B(，0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C． ①△ABC是直角三角形的充要條件是：△=． ②△ABC是等邊三角形的充要條件是：△= 學(xué)歷訓(xùn)練 1．已知關(guān)于的函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，則m的取值范圍是 ． 2．已知拋物線(xiàn)與軸交于A(yíng) (，0)，B(，0)兩點(diǎn)，且，則 ． 3．已知二次函數(shù)y=kx2+(2k－1)x—1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1、x2(x1x2，時(shí)，y>O；③方程kx2+l(2k－1)x—l=O有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2；④x1<－l，x2>－l；⑤x2－x1=，其中所有正確的結(jié)論是 (只需填寫(xiě)序號(hào)) ． 4．設(shè)函數(shù)的圖象如圖所示，它與軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段OA與OB的長(zhǎng)的比為1：4，則＝( )． A．8 B．一4 C．1l D．一4或11 5．已知：二次函數(shù)y＝x2+bx+c與x軸相交于A(yíng)(x1,0)、B(x2，0)兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(－，)，AB＝｜x1－x2|，若S△APB＝1，則b與c的關(guān)系式是 ( ) A．b2－4c+1= 0 B．b2－4c－1=0 C．b2－4c+4=0 D．b2－4c－4=0 6．已知方程有一個(gè)負(fù)根而且沒(méi)有正根，那么的取值范圍是( ) A．>-1 B．＝1 C．≥1 D．非上述答案 7．已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B是x軸正半軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，如圖，二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C． （1）a、c的符號(hào)之間有何關(guān)系？ （2）如果線(xiàn)段OC的長(zhǎng)度是線(xiàn)段OA、OB長(zhǎng)度的比例中項(xiàng)，試證a、c互為倒數(shù)； （3）在（2）的條件下，如果b=－4，AB=4，求a、c的值． 8．已知：拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(一1，4)，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，與軸分別交于B(x1,0)、C(x2，0)兩點(diǎn)(其中且 <)，且． (1)求此拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)E的坐標(biāo)； (2)設(shè)此拋物線(xiàn)與軸交于D點(diǎn)，點(diǎn)M是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，若△MBO的面積為△DOC面積的倍，求點(diǎn)M的坐標(biāo)． 9．已知拋物線(xiàn)交x軸于A(yíng)（，0）、B（，0），交y軸于C點(diǎn)，且＜0＜，. （1）求拋物線(xiàn)的解析式； （2）在x軸的下方是否存在著拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P，使∠APB為銳角，若存在，求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 10．設(shè)是整數(shù)，且方程的兩根都大于而小于，則= . 11．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ． 12．已知、為拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，，則的值為 ． 13．是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩根都在2與4之間?如果有，試確定的取值范圍；如果沒(méi)有，試述理由． 14．設(shè)拋物線(xiàn)的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)． (1)求的值； (2)求的值． 15．已知以為自變量的二次函數(shù)，該二次函數(shù)圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差的平方等于關(guān)于的方程的一整數(shù)根，求的值． 16．已知二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上且不過(guò)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，一2)，與軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，且滿(mǎn)足關(guān)系式． (1)求二次函數(shù)的解析式； (2)求△ABC的面積． 17．設(shè)是實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A（，0）、B（，0）． (1)求證：； (2)若A、B兩點(diǎn)之間的距離不超過(guò)，求P的最大值． 參考答案