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2019-2020年九年級數(shù)學(xué) 幾何證明的有力工具—全等三角形學(xué)案學(xué)案 北師大版 一、同步輔導(dǎo)：全等三角形 1、 概念理解： 兩個三角形的形狀、大小、都一樣時，其中一個可以經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等運動（或稱變換）使之與另一個重合，這兩個三角形稱為全等三角形，而兩個三角形全等的判定是幾何證明的有力工具。 2、 三角形全等的判定公理及推論有： （1）“邊角邊”簡稱“SAS” 　?。?）“角邊角”簡稱“ASA” 　?。?）“邊邊邊”簡稱“SSS” 　　（4）“角角邊”簡稱“AAS” 　　注意：在全等的判定中，沒有AAA和SSA，這兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀?！? 3、 全等三角形的性質(zhì)： 　　全等三角形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等。 　　注意： 　　1）性質(zhì)中三角形全等是條件，結(jié)論是對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等。 　　 　而全等的判定卻剛好相反。 　　2）利用性質(zhì)和判定，學(xué)會準確地找出兩個全等三角形中的對應(yīng)邊與對應(yīng)角是關(guān)鍵。在寫兩個三角形全等時，一定把對應(yīng)的頂點，角、邊的順序?qū)懸恢?，為找對?yīng)邊，角提供方便。 二、例題分析： 例1，如圖△ABC≌△DEF，AB和DE，AC和DF是對應(yīng)邊，說出對應(yīng)角 和另一組對應(yīng)邊。 　　解：∵AB和DE，AC和DF分別為對應(yīng)邊， 　　　　∴另一組對應(yīng)邊是BC和EF。 　　　　∴對應(yīng)角為：∠A和∠D，∠B和∠E，∠ACB和∠DFE 　　 例2，如圖，△ABE≌△ACD，AB=AC，寫出兩個全等三角形的對應(yīng)角與對應(yīng)邊，并問圖中是否存在其它的全等三角形。 　　分析：由AB=AC，則AB和AC是對應(yīng)邊，可找AB的對角∠AEB，AC的對角∠ADC，則∠AEB和∠ADC為對應(yīng)角。由∠A是這兩個三角形的公共角，它與其自身對應(yīng)，因而∠A的對邊為BE、DC為對應(yīng)邊，于是剩下的∠B、∠C是對應(yīng)角。AE和AD是對應(yīng)邊。 　　解：對應(yīng)邊：AB和AC，BE和DC，AE和AD 　　對應(yīng)角：∠A和∠A、∠B和∠C、∠AEB和∠ADC 　　∵AB=AC，AD=AE，∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE 　　又由∠B=∠C，∠DFB=∠EFC（對頂角相等）于是構(gòu)成一對全等三角形為△BFD和△CFE?！　? 1、找全等三角形的對應(yīng)邊，對應(yīng)角的方法是：　　 （1）若給出對應(yīng)頂點即可找出對應(yīng)邊和對應(yīng)角。 （2）若給出一些對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角，則按照對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，反之，對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊就可找出其他幾組對應(yīng)邊和對應(yīng)角。 （3）按照兩對對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角，兩對對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊來準確找出對應(yīng)角和對應(yīng)邊。 （4）一般情況下，在兩個全等三角形中，公共邊、公共角、對頂角等往往是對應(yīng)邊，對應(yīng)角?！? 2、利用兩個三角形的公共邊或公共角尋找對應(yīng)關(guān)系，推得新的等量元素是尋找兩個三角形全等的重要途徑之一。 如圖（一）中的AD，圖（二）中的BC 都是相應(yīng)三角形的公共元素。圖（三）中如有BF=CE，利用公有的線段FC就可推出BC=EF。圖（四）中若有∠DAB=∠EAC，就能推出∠DAC=∠BAE。 　　 3、三角形全等的判定是這個單元的重點，也是平面幾何的重點 只有掌握好全等三角形的各種判定方法，才能靈活地運用它們學(xué)好今后的知識。證明三角形全等有五種方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL為了判定兩個三角形全等，了解和熟悉下面的基本思路很有必要。 　　 ①有兩組對應(yīng)角相等時；找 　　 ②有兩組對應(yīng)邊相等時；找 　 ?、塾幸贿叄秽徑窍嗟葧r；找 　　 ④有一邊，一對角相等時；找任一組角相等（AAS） 　　 說明：由以上思路可知兩個三角形的六個元素中、若只有一對對應(yīng)元素相等，或有兩對對應(yīng)元素相等，則它們不一定全等。因此要得出兩個三角形全等必須要有三對對應(yīng)元素相等才有可能成立。若兩個三角形中三對角對應(yīng)相等，它們只是形狀相同，而大小不一定相等，所以這兩個三角形不一定全等。如下圖（一）因此要判定三角形全等的三對對應(yīng)元素中，至少有一對是邊。還要注意一個三角形中的兩邊及其中一邊所對的角對應(yīng)相等，這兩個三角形不一定全等。如圖（二）中，△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B但△ABC和△ABD明顯的不全等。 　　注：全等三角形判定沒有（AAA）和（SSA） 　 例3，如圖，AD=AE，D、E在BC上，BD=CE， 　　 ∠1=∠2，求證：△ABD≌△ACE 　　 分析：已知條件中已經(jīng)給出了AD=AE，BD=CE，要證明△ABD≌△ACE，只需證明AD與BD，AE與EC的夾角相等，根據(jù)SAS，定理就可以得出結(jié)論。 　　 證明：（1） 　　 　　 （2）在△ABD和△ACE中（注意書寫時必須把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)位置上。） 　　 　　?。?） 　　　　　 （4）∴△ABD≌△ACE（SAS） 　　說明：全等三角形的論證，是研究圖形性質(zhì)的重要工具，是進一步學(xué)習(xí)平面幾何知識的基礎(chǔ)。 　　因為研究圖形的性質(zhì)時，往往要從研究圖形中的線段相等關(guān)系或角的相等關(guān)系入手，發(fā)現(xiàn)和論證全等三角形正是研究這些關(guān)系的基本方法； 另一方面，論證全等三角形又是訓(xùn)練推理論證的起始，是培養(yǎng)邏輯推理能力的關(guān)鍵的一環(huán)。 　　 三角形全等證明的基本模式是： 　　 題設(shè)△1≌△2 　　 具體的可以分為四步基本格式。 　　 （1）證明三角形全等需要有三個條件，三個條件中如有需要預(yù)先證明的，應(yīng)預(yù)先證出。 　　 （2）寫出在哪兩個三角形中證明全等。 　　 （3）按順序列出三個條件，用大括號合在一起，并寫出推理的根據(jù)。 　　 （4）寫出結(jié)論。　 　　 例4，已知如圖，AC與BD相交于O,OA=OC， 　　 OB=OD，求證：∠OAB=∠OCD。 　　 分析：從已知條件出發(fā)，可以證出△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，由△AOD≌△COB，可得∠1=∠2，∠3=∠4，AD=BC，由△AOB≌△COD可得∠5=∠6，∠7=∠8，AB=CD，這個思路可在下圖列出： 　　 對于簡單的幾何證明題，可以采用這種推理方法，這種方法是由已知推得甲，再由甲推得乙，再由乙推得丙……直至推得結(jié)論。這種方法是“由因?qū)Ч?。如果從已知條件出發(fā)能推出的結(jié)果較多，要有目的地決定取舍，取與求證有聯(lián)系的，舍去與求證無關(guān)的。 　　 證明：在△AOB和△COD中 　　 ∵ 　　 ∴△AOB≌△COD（SAS） 　　∴∠OAB=∠OCD（全等三角形的對應(yīng)角相等） 　　 例5，已知如圖，AB=AC，∠1=∠2 　　 AD⊥CD，AE⊥BE，求證：AD=AE 　　 分析：AD、AE分別在△ADG和△AEH 　　 中，∠1=∠2，可證出∠D=∠E但少一對邊相等，因此此路不通。AD、AE又分別在△ADC和△AEB中，知道∠D=∠E，AB=AC，又已知∠1=∠2，可以證出∠DAC=∠EAB，所以通過△ADC≌△AEB，得出AD=AE這個思路可用下圖表示： 　　 這種思考過程與例4所分析的思考過程恰好相反，它是從要證明的結(jié)論入手的，利用學(xué)過的公理，定理，定義等去推想：要證這個結(jié)論需要具備什么條件？如果這個條件（記作條件甲）已具備了，那么結(jié)論就成立，然后再去推想，如果需要條件甲成立，又需具備什么條件？這樣一步步向上追溯，直到所需要的條件能由已知條件推得為止，這是“執(zhí)果索因”的過程。 　　 這是思考過程，找到思路后，在證明中仍要像以前一樣從已知開始，一步步推出結(jié)論，書寫的表達與這個思考過程正好相反。 　　 證明：∵AD⊥DC，（已知）∴∠D=900（垂直定義） 　　 ∵AE⊥BE（已知）∴∠E=900（垂直定義） 　　 又∵∠1=∠2（已知）∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC（等式性質(zhì)） 　　 即∠DAC=∠EAB 　　 在△ADC和△AEB中 　　 ∵ 　　 ∴△ADC≌△AEB（AAS） 　 　∴AD=AE（全等三角形的對應(yīng)邊相等） 　　 例6，已知如圖，AB=DC，AD=BC，O是DB的中點，過O點的直線分別與DA和BC的延長線交于E、F，求證：∠E=∠F。 　　 分析：欲證∠E=∠F有兩條思路；一是證明DE//BF，則內(nèi)錯角相等；一是證明∠E和∠F所在的兩個三角形全等。從題中給定的已知條件中∠E、∠F所在的三角形似乎不具備條件，于是考慮證明DE//BF。欲證兩直線平行，常見的方法是考慮兩直線被第三條直線所截得的同位角，內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補。此題圖中DE與BF被EF、AB、DC所截成的角只有內(nèi)錯角，故只需證出一組內(nèi)錯角相等即可，據(jù)圖給定的條件不難證明∠DAB=∠BCD，進一步可證原題。 　　 證明：在△ABD和△CDB中 　　 ∵ 　　 ∴△ABD≌△CDB（SSS） 　　 ∴∠1=∠2（全等三角形的對應(yīng)角相等） 　　 ∴DE//BF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行） 　 　∴∠E=∠F（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 　　例7．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，求∠B∶∠C的值． 分析一：題目中的條件AB+BD=AC，使用起來不直觀。若延長AB，在延長線上取BM等于BD，則可以得到AB+BD=AM=AC，易于使用，這種方法叫“補短法”，通過補長線段，得到容易使用的相等線段。 　　解：延長AB到M，使BM=BD，連結(jié)DM，則AM=AB+BM=AC，∠1=∠2，AD=AD， 　　 ∴△ADM≌△ADC，∴∠M=∠C 又∵BM=BD，則∠M=∠BDM， ∴∠ABC=2∠M=2∠C，即∠B:∠C=2:1 　　 分析二：還可以在AC上截取AN=AB，就能將條件AB+BD=AC轉(zhuǎn)化為NC=BD。這種方法叫做“截長法”，和第一種方法統(tǒng)稱“截長補短法”，常用于線段之間的關(guān)系證明或者條件的利用。 　　另一解：如圖2：在AC上截取AN=AB，由條件易知△ABD≌△AND，則DN=DB 　　 ∠AND=∠B，又AC=AB+BD=AN+NC ∴NC=BD=ND，∴∠C=∠NDC 　　 ∴∠B=∠AND=2∠C ∴∠B:∠C=2:1． 圖（2） 　　 注：此題中，使用了等腰三角形兩底角相等的知識，在小學(xué)中大家已學(xué)過，在以后還要學(xué)習(xí)． 三、同步測試 選擇題：A組：　 1． 在ΔABC和ΔDEF中，已知AB=DE，∠B=∠E，增加下面的條件后，還不 能判定ΔABC≌ΔDEF的是（ ） A、BC=EF　　　　　 B、AC=DF C、∠A=∠D　　　D、∠C=∠F 2． 下列四組線段，能組成三角形的是（ ） A、2、2、5　　　　B、3、7、10 　C、3、5、9 　　　D、4、5、7 3． 能判定兩個等腰三角形全等的是（ ） A、底角與頂角對應(yīng)相等 　　B、底角與底邊對應(yīng)相等 C、兩腰對應(yīng)相等　　　 　　D、底對應(yīng)相等 4． 如圖，O是AC、BD的中點，如果每一對全等三角形為一組，那么，圖中全 等三角形的組數(shù)為（ ） A、1 　　　B、2 　　C、3　　D、4 5． 如圖，BF⊥AC，CE⊥AB，且∠ABC=∠ACB，則可判定ΔBEC≌ΔCFB， 6． 其依據(jù)是（ ） 　A、ASA公理或AAS 　B、SSS公理 　C、SAS公理 　D、三個角相等。 選擇題：B組： 1. 在△ABC中，AB=AC，高BF、CE、AD交于一點O，如圖,全等三角形的對 數(shù)是（ ）。 A、4 　　B、5 　　C、6 　　D、7 2. 如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD證明△ABD≌△EBC 時，應(yīng)用的方法是（ ）。 A、AAS 　B、SAS 　　C、SSS 　　D、定義 3.如圖，在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：5：10,又△ABC≌△ABC，則∠BCA：∠BCB等于（ ） A、1：2　　B、1：3 　　C、2：3 　　D、1：4 參考答案 A組：　　1.B 　2.D 　3.B　 4.D 　5.A B組 ： 　1.D　 2.A 　3.D 講解： 　　1.解：根據(jù)全等三角形的判定方法，有 　　△AOE≌△AOF，△EOB≌△FOC， 　　△BOD≌△COD，△AOB≌△AOC， 　　△ABD≌△ACD，△AEC≌△AFB， 　　△ECB≌△FBC。 　　故本題應(yīng)選（D）。 　　2.排除（B）、（C）、（D）三種情況，本題應(yīng)選（A）。 　　3.解： 　　　 ∵∠A：∠B：∠C=3：5：10, 　　　　∠A+∠B+∠C=180， 　　　∴∠A=180=30，∠B=180=50，∠C=180=100， 　　　設(shè)∠BCA=x，∠BCB=y， 　　　∵△ABC≌△ABC， 　　　∴∠BCA=∠BCA 　　　∴∠BCA+∠BCB=∠BCA+∠ACA=100 　　　∴x+y=100,∠BCB=∠ACA=y, 　　　　∵A、C、B三點共線， 　　　∴∠BCB+∠BCA+∠ACA=180, 　　　∴x+2y=180 　　　∴ 解得： 　　　∴∠BCA：∠BCB=x：y=1：4。 四、中考解析：全等三角形 1．已知：如圖，OA=OB，OC=OD，AD、BC相交于E，則圖中全等三角形共有（ ） 　　A．2對 B．3對 C．4對 D．5對 　　考點：三角形全等的判定方法有：“SAS”、“ASA”、“SSS”、“AAS”. 考題評析：要特別注意：不能用邊邊角和角角角做依據(jù)判定三角形全等. 答案：C 　　2.如圖，已知AC=BD，要使得ΔABC≌ΔDCB，只需增加的一個條件是________________。 考點：全等三角形的判定 　　 評析：因圖中BC是公共邊，又知AC=DB所以根據(jù)三角形全等的判定方法可以再加AB=DC或∠ACB=∠DBC或AO=DO或BO=CO都可以判定△ABC≌△DCB。 　　答案：AB=DC或∠ACB=∠DBC或AO=DO或BO=CO 3.（ 北京市東城區(qū)）在ΔABC與ΔA′B′C′中，∠A=∠A′，CD和C′D′分別為 AB邊和A′B′邊上的中線，再從以下三個條件： 　　①AB=A′B′ ②AC=A′C′ ③CD=C′D′ 　　中任取兩個為題設(shè)，另一個為結(jié)論，則最多可以構(gòu)成________個正確的命題。 　　考點：全等三角形的判定及性質(zhì) 　　評析：因△ABC和△A＇B＇C＇中∠A=∠A＇而三個條件AB=A＇B＇，AC=A′C＇，DC=D＇C＇中的兩個作為條件，另一個結(jié)論根據(jù)全等三角形判定公理1，SAS可知AB=A＇B＇，AC=A＇C＇作為條件DC=D＇C＇作為結(jié)論，可以構(gòu)成唯一的一個正確的命題。 　　答案：1 　　4．如圖，已知AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB，求證：△EAD≌△CAB。 　　 考點：全等三角形的判定。 　　 評析：思路，因該題中給了兩條邊對應(yīng)相等，而又知，∴，根據(jù)SAS可證△EAD≌△CAB。 　　證明：∵∠EAC=∠DAB， 　　 ∴∠EAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD. 　　 ∴∠EAD=∠CAB. 　　 又∵AE=AC，AD=AB， 　　 ∴△EAD≌△CAB 五、課外拓展 中國早期的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》 　　《九章算術(shù)》是我國漢唐之間出現(xiàn)的十部古算術(shù)（《算經(jīng)十書》）中最重要的一種，現(xiàn)傳本成書約為公元1世紀下半葉?！毒耪滤阈g(shù)》繼承了先秦的數(shù)學(xué)成就，漢朝以后又經(jīng)過許多學(xué)者的增補刪改，最后才成為現(xiàn)在的版本。《九章算術(shù)》的出現(xiàn)標志著我國初等數(shù)學(xué)體系的形成。 　　《九章算術(shù)》所以叫“九章”，劉徽為《九章算術(shù)》作注時說：“周公制禮而有九數(shù)，九數(shù)之流則《九章》是矣?！比珪卜?章，即 　　第一章“方田”：田畝面積計算； 　　第二章“粟米”：谷物糧食的按比例折換； 　　第三章“衰（cuī）分”：比例分配問題； 　　第四章“少廣”：已知面積、體積，求其一邊長或直徑長。主要是解決開平方和開立方問題； 　　第五章“商功”：各種土木工程中所遇到的數(shù)學(xué)問題。包括筑城、開渠、糧堆的計算； 　　第六章“均輸”：合理的攤派賦稅； 　　第七章“盈不足”：盈虧問題的解法； 　　第八章“方程”：一次方程組問題； 　　第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各種問題。 　　《九章算術(shù)》是本問題集，全書共246個數(shù)學(xué)問題。它形成了一個以籌算為中心的獨立體系。與古希臘數(shù)學(xué)體系，截然不同。就其數(shù)學(xué)成就而言，堪稱世界數(shù)學(xué)名著。 　　《九章算術(shù)》的數(shù)學(xué)成就是多方面的： 　　在算術(shù)方面的主要成就有分數(shù)運算、比例問題和“盈不足”算法。介紹一道“盈不足”問題：“幾個人想共同買一件東西。 如果每人出8元錢， 就多出3元錢；如果每人出7元錢， 還差4元錢。 問一共幾個人？這件東西是多少錢？” 　　《九章算術(shù)》對這類問題給出了一般的解法。我們用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)符號來寫：設(shè)每人出錢a元，最后多出b元；每人出錢c元，最后少了d元。 　　又設(shè)人數(shù)為m人，東西的價錢為n元。 　　則 　　m=, n=. 　　把上面的問題用這個公式算一下： 　　m===7（人）， 　　n==53(元)。 　　一共7人，要買的東西是53元。 　　“盈不足”算法是我國古代數(shù)學(xué)家的一個創(chuàng)造。中世紀的歐洲把它叫做“雙設(shè)法”，意思是需要兩次假設(shè)。有人認為它是由中國經(jīng)阿拉伯傳到歐洲去的。 　　幾何方面主要是面積、體積的計算。 　　代數(shù)方面主要有一次方程組的解法、負數(shù)概念的引入及其加減法則、開平方、開立方、一般二次方程的解法。 　　在《九章算術(shù)》中我們才第一次見到了“方程”一詞。在這本書中“方程”是指一次方程組。由于古代是用算籌（一種用竹木和金屬制成的小棍）將方程組的系數(shù)和常數(shù)擺成方陣形式，所以把方程組叫做“方程”?！胺匠獭敝械摹俺獭笔侵赣嬎悖胺健笔侵赣盟慊I列出的籌式是方形，這才是“方程”一詞的原意。后來演化成把一元的也叫做“方程”。 　　在“方程”章中，還有世界上最早的不定方程。數(shù)學(xué)上把未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)，這樣的方程叫做“不定方程”。 　　《九章算術(shù)》中關(guān)于方程的成果，比世界其他國家和地區(qū)的同類成果要早很多年。