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2019-2020年七年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)講義 競賽輔導(dǎo) 第4講 奇數(shù)與偶數(shù) 一、定義 被2整除的整數(shù)叫做偶數(shù)，記作2n (其中n是整數(shù))有0，2，4，6，… 不能被2整除的整數(shù)叫做奇數(shù)，記作2n + 1 (其中n是整數(shù)).有1，3，5，… 二、性質(zhì) 1、 偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)偶數(shù)=奇數(shù) 可以概括為——加上偶數(shù)不改變奇偶性；加上奇數(shù)改變奇偶性 奇數(shù)奇數(shù)=奇數(shù)；偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)偶數(shù)=偶數(shù) 可以概括為——乘以偶數(shù)都得到偶數(shù)；乘以奇數(shù)不改變奇偶性。 2、反之：設(shè)a,b皆為整數(shù)，若ab為偶數(shù)，則a,b的奇偶性相同；若ab為奇數(shù)，則a,b的奇偶性相反。 3、奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)偶數(shù)之和（或差）是偶數(shù)。 4、任意n個(gè)奇數(shù)的積仍是奇數(shù)，奇數(shù)的n次冪是奇數(shù)。反之，若n個(gè)數(shù)的積為奇數(shù)，則這n個(gè)數(shù)均為奇數(shù)。 5、若任意有限個(gè)整數(shù)中至少有一個(gè)偶數(shù)，那么它們的積是偶數(shù)[比較：一組數(shù)相乘，其中有一個(gè)為0，則結(jié)果為0。]；反之，任意有限個(gè)整數(shù)之積是偶數(shù)，則這些因數(shù)中至少有一個(gè)偶數(shù)。 三、練習(xí)：你必須給與每個(gè)問題足夠的思考時(shí)間，嘗試自己解決它們] 1、 設(shè)a,b,c,d均為整數(shù)，且a+b+c+d=奇數(shù),求證：a,b,c,d至少有一個(gè)奇 2、 a,b,c,d均為整數(shù)，求證：a+b+c+d與a-b-c+d的奇偶性相同。 3、 元旦聯(lián)歡會(huì)上，同學(xué)們互贈(zèng)賀卡表示新年的良好祝愿?！盁o論人數(shù)是多少，用于交換的賀卡的張數(shù)總是偶數(shù)?！边@句話正確嗎？試說明你的理由。 4、 設(shè)a、b、c中有2個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)，試說明 (a+1)(b+2)(c+3) 一定是偶數(shù)。 5、 設(shè)a、b是自然數(shù),且滿足關(guān)系式123456789=（11111+a）(11111-b),說明a-b是4 的倍數(shù)。 6、 黑板上寫著三個(gè)整數(shù)，任意檫去其中一個(gè)，將它改寫成其他兩數(shù)的和減1，這樣繼續(xù)下去，最后得到3，1993，xx，問原來的三個(gè)數(shù)能否是2，2，2 ？ 7、 一個(gè)俱樂部里的成員只有2 種人：一種是老實(shí)人，永遠(yuǎn)說真話；一種是騙子，永遠(yuǎn)說假話。某天俱樂部里的全體成員圍坐成一圈，每個(gè)老實(shí)人兩旁都是騙子，每個(gè)騙子兩旁都是老實(shí)人。外來一未記者問俱樂部的成員張三：“俱樂部里共有多少成員？”張三回答：“共有45人。”另一個(gè)成員李四說：“張三是老實(shí)人?！闭埮袛嗬钏氖抢蠈?shí)人還是騙子？ 8、 已知n為整數(shù)，現(xiàn)有兩個(gè)代數(shù)式：（1）2n+3,（2）4n-1,其中，能表示“任意奇數(shù)”的（ ） A．只有（1） B．只有（2） C．有（1）和（2） D．一個(gè)也沒有 9、將自然數(shù)1，2，3，…，xx，xx中的任意多個(gè)數(shù)添上負(fù)號(hào)，記這時(shí)的 xx個(gè)數(shù)之和的絕對值S，那么（ ） A．S總是偶數(shù) B．S總是奇數(shù) C．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S是偶數(shù)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S是奇數(shù) D．的奇偶性不能確定，它與的值及所選取添加負(fù)號(hào)的數(shù)有關(guān) 10、如圖，為一所房子的示意圖，數(shù)字表示房間號(hào)碼。每個(gè)房間有門與隔壁相通，小明要從1 號(hào)房間開始不重復(fù)地走遍這9個(gè)房間，最后回到1 號(hào)房間，能否做到？為什么？ 11、某次數(shù)學(xué)競賽，共有40道選擇題，規(guī)定答對一題得5分，不答得1分，答錯(cuò)倒扣1分。證明：不論有多少人參賽，全體學(xué)生的得分總和一定是偶數(shù)。 12、設(shè)a,b,c都是整數(shù)，且2∣（a+b+c）,證明a+b﹣c，a+c﹣b，b+c﹣a都是偶數(shù)。 13、設(shè)為1，2，…,xx的任意一個(gè)排列，試證明： 一定是偶數(shù)。 14、你能找到三個(gè)整數(shù)a,b,c，使得關(guān)系式(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立嗎？如果能找到，請舉一例;如果找不到，請說明理由。