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2019年高考數(shù)學二輪復習 專題訓練七 第3講 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 理 考情解讀　1.該部分?？純热荩簶颖緮?shù)字特征的計算、各種統(tǒng)計圖表、線性回歸方程、獨立性檢驗等；有時也會在知識交匯點處命題，如概率與統(tǒng)計交匯等.2.從考查形式上來看，大部分為選擇題、填空題，重在考查基礎知識、基本技能，有時在知識交匯點處命題，也會出現(xiàn)解答題，都屬于中、低檔題． 1．隨機抽樣 (1)簡單隨機抽樣特點是從總體中逐個抽?。m用范圍：總體中的個體較少． (2)系統(tǒng)抽樣特點是將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分中抽?。m用范圍：總體中的個體數(shù)較多． (3)分層抽樣特點是將總體分成幾層，分層進行抽?。m用范圍：總體由差異明顯的幾部分組成． 2．常用的統(tǒng)計圖表 (1)頻率分布直方圖 ①小長方形的面積＝組距＝頻率； ②各小長方形的面積之和等于1； ③小長方形的高＝，所有小長方形的高的和為. (2)莖葉圖 在樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好． 3．用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 (1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 數(shù)字特征 樣本數(shù)據(jù) 頻率分布直方圖 眾數(shù) 出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù) 取最高的小長方形底邊中點的橫坐標 中位數(shù) 將數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)) 把頻率分布直方圖劃分左右兩個面積相等的分界線與x軸交點的橫坐標 平均數(shù) 樣本數(shù)據(jù)的算術平均數(shù) 每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和 (2)方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． 標準差： s＝ . 4．變量的相關性與最小二乘法 (1)相關關系的概念、正相關和負相關、相關系數(shù)． (2)最小二乘法：對于給定的一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，通過求Q＝(yi－a－bxi)2最小時，得到線性回歸方程＝x＋的方法叫做最小二乘法． 5．獨立性檢驗 對于取值分別是{x1，x2}和{y1，y2}的分類變量X和Y，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表是 y1 y2 總計 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計 a＋c b＋d n 則K2(χ2)＝(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)． 熱點一　抽樣方法 例1　(1)(xx陜西)某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調查，將840人按1,2，…，840隨機編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 (2)(xx石家莊高三調研)某學校共有師生3 200人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個容量為160的樣本，已知從學生中抽取的人數(shù)為150，那么該學校的教師人數(shù)是________． 思維啟迪　(1)系統(tǒng)抽樣時需要抽取幾個個體，樣本就分成幾組，且抽取號碼的間隔相同；(2)分層抽樣最重要的是各層的比例． 答案　(1)B　(2)200 解析　(1)由＝20，即每20人抽取1人，所以抽取編號落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為＝＝12. (2)本題屬于分層抽樣，設該學校的教師人數(shù)為x，所以＝，所以x＝200. 思維升華　(1)隨機抽樣各種方法中，每個個體被抽到的概率都是相等的；(2)系統(tǒng)抽樣又稱“等距”抽樣，被抽到的各個號碼間隔相同；分層抽樣滿足：各層抽取的比例都等于樣本容量在總體容量中的比例． 　(1)某校高一、高二、高三分別有學生人數(shù)為495,493,482，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法，抽取49人做問卷調查，將高一、高二、高三學生依次隨機按1,2,3，…，1 470編號，若第1組有簡單隨機抽樣方法抽取的號碼為23，則高二應抽取的學生人數(shù)為(　　) A．15 B．16 C．17 D．18 (2)(xx廣東)已知某地區(qū)中小學生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示．為了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學生進行調查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為(　　) A．200,20 B．100,20 C．200,10 D．100,10 答案　(1)C　(2)A 解析　(1)由系統(tǒng)抽樣方法，知按編號依次每30個編號作為一組，共分49組，高二學生的編號為496到988，在第17組到第33組內，第17組抽取的編號為1630＋23＝503，為高二學生，第33組抽取的編號為3230＋23＝983，為高二學生，故共抽取高二學生人數(shù)為33－16＝17，故選C. (2)該地區(qū)中、小學生總人數(shù)為3 500＋2 000＋4 500＝10 000， 則樣本容量為10 0002%＝200，其中抽取的高中生近視人數(shù)為2 0002%50%＝20，故選A. 熱點二　用樣本估計總體 例2　(1)(xx山東)為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組，如圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為(　　) A．6 B．8 C．12 D．18 (2)PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，如圖是根據(jù)某地某日早7點至晚8點甲、乙兩個PM2.5監(jiān)測點統(tǒng)計的數(shù)據(jù)(單位：毫克/每立方米)列出的莖葉圖，則甲、乙兩地濃度的方差較小的是(　　) A．甲 B．乙 C．甲乙相等 D．無法確定 甲 乙 2 0.04 1 2 3 6 9 3 0.05 9 6 2 1 0.06 2 9 3 3 1 0.07 9 6 4 0.08 7 7 0.09 2 4 6 思維啟迪　(1)根據(jù)第一組與第二組的人數(shù)和對應頻率估計樣本總數(shù)，然后利用第三組的頻率和無療效人數(shù)計算；(2)直接根據(jù)公式計算方差． 答案　(1)C　(2)A 解析　(1)志愿者的總人數(shù)為＝50， 所以第三組人數(shù)為500.36＝18， 有療效的人數(shù)為18－6＝12. (2)＝(0.042＋0.053＋0.059＋0.061＋0.062＋0.066＋0.071＋0.073＋0.073＋0.084＋0.086＋0.097)12≈0.068 9， ＝(0.041＋0.042＋0.043＋0.046＋0.059＋0.062＋0.069＋0.079＋0.087＋0.092＋0.094＋0.096)12≈0.067 5， s2＝[(0.042－0.068 9)2＋(0.053－0.068 9)2＋…＋(0.097－0.068 9)2]≈0.000 212. s2＝[(0.041－0.067 5)2＋(0.042－0.067 5)2＋…＋(0.096－0.067 5)2]≈0.000 429. 所以甲、乙兩地濃度的方差較小的是甲地． 思維升華　(1)反映樣本數(shù)據(jù)分布的主要方式：頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖．關于頻率分布直方圖要明確每個小矩形的面積即為對應的頻率，其高低能夠描述頻率的大小，高考中常?？疾轭l率分布直方圖的基本知識，同時考查借助頻率分布直方圖估計總體的概率分布和總體的特征數(shù)，具體問題中要能夠根據(jù)公式求解數(shù)據(jù)的均值、眾數(shù)和中位數(shù)、方差等． (2)由樣本數(shù)據(jù)估計總體時，樣本方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，波動越小． 　(1)某商場在慶元宵促銷活動中，對元宵節(jié)9時至14時的銷售額進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示，已知9時至10時的銷售額為2.5萬元，則11時至12時的銷售額為________萬元． (2)(xx陜西)設樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的均值和方差分別為1和4，若yi＝xi＋a(a為非零常數(shù)，i＝1,2，…，10)，則y1，y2，…，y10的均值和方差分別為(　　) A．1＋a,4 B．1＋a,4＋a C．1,4 D．1,4＋a 答案　(1)10　(2)A 解析　(1)由頻率分布直方圖可知： ＝，所以x＝10. (2)＝1，yi＝xi＋a， 所以y1，y2，…，y10的均值為1＋a，方差不變仍為4. 故選A. 熱點三　統(tǒng)計案例 例3　(1)以下是某年2月某地區(qū)搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù). 房屋面積x/m2 115 110 80 135 105 銷售價格y/萬元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 根據(jù)上表可得線性回歸方程＝x＋中的＝0.196 2，則面積為150 m2的房屋的銷售價格約為________萬元． (2)(xx江西)某人研究中學生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量的關系，隨機抽查52名中學生，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1至表4，則與性別有關聯(lián)的可能性最大的變量是(　　) 表1 成績 性別 不及格 及格 總計 男 6 14 20 女 10 22 32 總計 16 36 52 表2 視力 性別 好 差 總計 男 4 16 20 女 12 20 32 總計 16 36 52 表3 智商 性別 偏高 正常 總計 男 8 12 20 女 8 24 32 總計 16 36 52 表4 閱讀量 性別 豐富 不豐富 總計 男 14 6 20 女 2 30 32 總計 16 36 52 A.成績 B．視力 C．智商 D．閱讀量 思維啟迪　(1)回歸直線過樣本點中心(，)； (2)根據(jù)列聯(lián)表，計算K2的值 答案　(1)31.244 2　(2)D 解析　(1)由表格可知＝(115＋110＋80＋135＋105)＝109， ＝(24.8＋21.6＋18.4＋29.2＋22)＝23.2. 所以＝－＝23.2－0.196 2109＝1.814 2. 所以所求線性回歸方程為＝0.196 2x＋1.814 2. 故當x＝150時，銷售價格的估計值為＝0.196 2150＋1.814 2＝31.244 2(萬元)． (2)A中，a＝6，b＝14，c＝10，d＝22，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52， K2＝＝. B中，a＝4，b＝16，c＝12，d＝20，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52， K2＝＝. C中，a＝8，b＝12，c＝8，d＝24，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52， K2＝＝. D中，a＝14，b＝6，c＝2，d＝30，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52， K2＝＝. ∵<<<， ∴與性別有關聯(lián)的可能性最大的變量是閱讀量． 思維升華　(1)線性回歸方程求解的關鍵在于準確求出樣本點中心．回歸系數(shù)的求解可直接把相應數(shù)據(jù)代入公式中求解，回歸常數(shù)的確定則需要利用中心點在回歸直線上建立方程求解；(2)獨立性檢驗問題，要確定22列聯(lián)表中的對應數(shù)據(jù)，然后代入K2(χ2)計算公式求其值，根據(jù)K2(χ2)取值范圍求解即可． 　(1)已知x、y取值如下表： x 0 1 4 5 6 8 y 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3 從所得的散點圖分析可知：y與x線性相關，且＝0.95x＋，則等于(　　) A．1.30 B．1.45 C．1.65 D．1.80 (2)某研究機構為了研究人的腳的大小與身高之間的關系，隨機抽測了20人，若“身高大于175厘米”的為“高個”，“身高小于等于175厘米”的為“非高個”，“腳長大于42碼”的為“大腳”，“腳長小于等于42碼”的為“非大腳”．得以下22列聯(lián)表： 高個 非高個 總計 大腳 5 2 7 非大腳 1 12 13 總計 6 14 20 則在犯錯誤的概率不超過________的前提下認為人的腳的大小與身高之間有關系． (附： P(K2>k) 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 ) 答案　(1)B　(2)0.01 解析　(1)依題意得，＝(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4， ＝(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25； 又直線＝0.95x＋必過樣本點中心(，)，即點(4，5.25)，于是有5.25＝0.954＋，由此解得＝1.45. (2)由題意得 K2＝≈8.802>6.635. 而K2>6.635的概率約為0.01，所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為人的腳的大小與身高之間有關系． 1．隨機抽樣的方法有三種，其中簡單隨機抽樣適用于總體中的個體數(shù)量不多的情況，當總體中的個體數(shù)量明顯較多時要使用系統(tǒng)抽樣，當總體中的個體具有明顯的層次時使用分層抽樣．系統(tǒng)抽樣最重要的特征是“等距”，分層抽樣，最重要的是各層的“比例”． 2．用樣本估計總體 (1)在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應的頻率，各小長方形的面積的和為1. (2)眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的異同：眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，平均數(shù)是最重要的量． (3)當總體的個體數(shù)較少時，可直接分析總體取值的頻率分布規(guī)律而得到總體分布；當總體容量很大時，通常從總體中抽取一個樣本，分析它的頻率分布，以此估計總體分布． ①總體期望的估計，計算樣本平均值＝xi.②總體方差(標準差)的估計：方差＝ (xi－)2，標準差＝，方差(標準差)較小者較穩(wěn)定． 3．線性回歸方程 ＝ x＋ 過樣本點中心(，)，這為求線性回歸方程帶來很多方便． 4．獨立性檢驗 (1)作出22列聯(lián)表．(2)計算隨機變量K2(χ2)的值．(3)查臨界值，檢驗作答． 真題感悟 1．(xx江蘇)為了了解一片經(jīng)濟林的生長情況，隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80,130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有________株樹木的底部周長小于100 cm. 答案　24 解析　底部周長在[80,90)的頻率為0.01510＝0.15， 底部周長在[90,100)的頻率為0.02510＝0.25， 樣本容量為60，所以樹木的底部周長小于100 cm的株數(shù)為(0.15＋0.25)60＝24. 2．(xx重慶)已知變量x與y正相關，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)＝3，＝3.5，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是(　　) A.＝0.4x＋2.3 B.＝2x－2.4 C.＝－2x＋9.5 D.＝－0.3x＋4.4 答案　A 解析　因為變量x和y正相關，則回歸直線的斜率為正，故可以排除選項C和D. 因為樣本點的中心在回歸直線上，把點(3,3.5)的坐標分別代入選項A和B中的線性回歸方程進行檢驗，可以排除B，故選A. 押題精練 1．某地區(qū)對某路段公路上行駛的汽車速度實施監(jiān)控，從中抽取50輛汽車進行測速分析，得到如圖所示的時速的頻率分布直方圖，根據(jù)該圖，時速在70 km/h以下的汽車有________輛． 答案　20 解析　時速在70 km/h以下的汽車所占的頻率為0.0110＋0.0310＝0.4，共有0.450＝20(輛)． 2．某教育出版社在高三期末考試結束后，從某市參與考試的考生中選取600名學生對在此期間購買教輔資料的情況進行調研，得到如下數(shù)據(jù)： 購買圖書情況 只買試題類 只買講解類 試題類和講解類都買 人數(shù) 240 200 160 若該教育出版社計劃用分層抽樣的方法從這600人中隨機抽取60人進行座談，則只買試題類的學生應抽取的人數(shù)為________． 答案　24 解析　只買試題類的學生應抽取的人數(shù)為60＝24. 3．下表提供了某廠節(jié)能減排技術改造后在生產A產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸)的幾組對應數(shù)據(jù)： x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程為＝0.7x＋0.35，那么表中t的值為________． 答案　3 解析　∵樣本點中心為，∴＝0.74.5＋0.35，解得t＝3. 4．春節(jié)期間，“厲行節(jié)約，反對浪費”之風悄然吹開，某市通過隨機詢問100名性別不同的居民是否能做到“光盤”行動，得到如下的列聯(lián)表： 做不到“光盤” 能做到“光盤” 男 45 10 女 30 15 附： P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 k0 2.706 3.841 5.024 K2＝ 參照附表，得到的正確結論是(　　) A．在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“該市居民能否做到‘光盤’與性別有關” B．在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“該市居民能否做到‘光盤’與性別無關” C．有90%以上的把握認為“該市居民能否做到‘光盤’與性別有關” D．有90%以上的把握認為“該市居民能否做到‘光盤’與性別無關” 答案　C 解析　由公式可計算K2的觀測值k＝＝≈3.03>2.706，所以有90%以上的把握認為“該市民能否做到‘光盤’與性別有關”，故選C. (推薦時間：40分鐘) 一、選擇題 1．(xx湖南)對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則(　　) A．p1＝p2乙，y甲>y乙 B.甲<乙，y甲y乙 D.甲>乙，y甲0，故xx年至xx年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元． 將xx年的年份代號t＝9代入(1)中的線性回歸方程，得＝0.59＋2.3＝6.8， 故預測該地區(qū)xx年農村居民家庭人均純收入為6.8千元． 12．某城市隨機抽取一年(365天)內100天的空氣質量指數(shù)API的監(jiān)測數(shù)據(jù)，結果統(tǒng)計如下： API [0,50] (50，100] (100，150] (150，200] (200，250] (250，300] >300 空氣質量 優(yōu) 良 輕微污染 輕度污染 中度污染 中重度污染 重度污染 天數(shù) 4 13 18 30 9 11 15 (1)若某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟損失S(單位：元)與空氣質量指數(shù)API(記為w)的關系式為： S＝，試估計在本年度內隨機抽取一天，該天經(jīng)濟損失S大于200元且不超過600元的概率； (2)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有8天為重度污染．完成下面22列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認為該市本年空氣重度污染與供暖有關？ 非重度污染 重度污染 合計 供暖季 非供暖季 合計 100 附： P(K2≥k0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2＝. 解　(1)設“在本年內隨機抽取一天，該天經(jīng)濟損失S大于200元且不超過600元”為事件A， 由2003.841. 所以有95%的把握認為空氣重度污染與供暖有關．