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2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué) 第二章二次函數(shù)面積最大是多少教學(xué)設(shè)計(jì) 一、學(xué)生知識(shí)狀況分析 學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：由簡(jiǎn)單的二次函數(shù)y＝x2開始，然后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，學(xué)生已經(jīng)掌握了二次函數(shù)的三種表示方式和性質(zhì)。 學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：通過第七節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了由實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，對(duì)解決這類問題有了處理經(jīng)驗(yàn)。 二、教學(xué)任務(wù)分析 本節(jié)課將進(jìn)一步利用二次函數(shù)解決問題，是上一節(jié)內(nèi)容的進(jìn)一步升華和提高，具體的教學(xué)目標(biāo)如下： (一)知識(shí)與技能 能夠分析和表示不同背景下實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并能夠運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問題中的最大(小)值． (二)過程與方法 1．通過分析和表示不同背景下實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的分析判斷能力． 2．通過運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力． (三)情感態(tài)度與價(jià)值觀 1．經(jīng)歷探究長(zhǎng)方形和窗戶透光最大面積問題的過程，進(jìn)一步獲得利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)，并進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)模型思想和數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值． 2．能夠?qū)鉀Q問題的基本策略進(jìn)行反思，形成個(gè)人解決問題的風(fēng)格． 3．進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與人類社會(huì)的密切聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，具有初步的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力． 教學(xué)重點(diǎn)1．經(jīng)歷探究長(zhǎng)方形和窗戶透光最大面積問題的過程，進(jìn)一步獲得利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)，并進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)模型思想和數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值． 2．能夠分析和表示不同背景下實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并能夠運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問題． 教學(xué)難點(diǎn) 能夠分析和表示不同背景下實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并能運(yùn)用二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決最大面積的問題． 三、教學(xué)過程分析 本節(jié)課分為五個(gè)環(huán)節(jié)，分別是：創(chuàng)設(shè)問題情境引入新課、歸納升華、課堂練習(xí)活動(dòng)探究、課時(shí)小結(jié)、課后作業(yè) 第一環(huán)節(jié) 創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 上節(jié)課我們利用二次函數(shù)解決了最大利潤(rùn)問題，知道了求最大利潤(rùn)就是求二次函數(shù)的最大值，實(shí)際上就是利用二次函數(shù)來解決實(shí)際問題．解決這類問題的關(guān)鍵是要審清題意，明確要解決的是什么，分析問題中各個(gè)量之間的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型。在此基礎(chǔ)上，利用我們所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，逐步得到問題的解答過程．本節(jié)課我們將繼續(xù)利用二次函數(shù)解決最大面積的問題． 活動(dòng)內(nèi)容：由四個(gè)實(shí)際問題構(gòu)成 1．問題一：如下圖，在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部作一個(gè)長(zhǎng)方形ABCD，其中AB和AD分別在兩直角邊上． (1)設(shè)長(zhǎng)方形的一邊AB＝x m，那么AD邊的長(zhǎng)度如何表示？ (2)設(shè)長(zhǎng)方形的面積為y m2，當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？ 問題一的設(shè)計(jì)目的： 對(duì)于這個(gè)問題，教師將其作為例題，不論是對(duì)問題本身的分析，還是具體的解法過程，都將作出細(xì)致、規(guī)范的講解和示范。具體的過程如下： 分析：(1)要求AD邊的長(zhǎng)度，即求BC邊的長(zhǎng)度，而BC是△EBC中的一邊，因此可以用三角形相似求出BC．由△EBC∽△EAF，得即．所以AD＝BC＝(40－x)． (2)要求面積y的最大值，即求函數(shù)y＝ABAD＝x(40－x)的最大值，就轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題了． 下面請(qǐng)小組開始討論并寫出解題步驟． (1)∵BC∥AD， ∴△EBC∽△EAF．∴． 又AB＝x，BE＝40－x， ∴．∴BC＝(40－x)． ∴AD＝BC＝(40－x)＝30－x． (2)y＝ABAD＝x(30－x)＝－x2＋30x ＝－(x2－40x＋400－400) ＝－(x2－40x＋400)＋300 ＝－(x－20)2＋300． 當(dāng)x＝20時(shí)，y最大＝300． 即當(dāng)x取20m時(shí)，y的值最大，最大值是300m2． 2．問題二：將問題一變式：“設(shè)AD邊的長(zhǎng)為x m，則問題會(huì)怎樣呢？”解：∵DC∥AB， ∴△FDC∽△FAE． ∴． ∵AD＝x，F(xiàn)D＝30－x． ∴．∴DC＝(30－x)． ∴AB＝DC＝(30－x)． y＝ABAD＝x(30－x) ＝－x2＋40x ＝－(x2－30x＋225－225) ＝－(x－15)2＋300． 當(dāng)x＝15時(shí)，y最大＝300． 即當(dāng)AD的長(zhǎng)為15m時(shí)，長(zhǎng)方形的面積最大，最大面積是300m2活動(dòng)目的： 在活動(dòng)解決之初（末），揭示該問題與問題一的關(guān)系 3．問題三：對(duì)問題一再變式 如圖,在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部作一個(gè)矩形ABCD，其中點(diǎn)A和點(diǎn)D分別在兩直角邊上,BC在斜邊上. (1).設(shè)矩形的一邊BC=xm,那么AB邊的長(zhǎng)度如何表示？ (2).設(shè)矩形的面積為ym2,當(dāng)x取何值時(shí),y的最大值是多少? 活動(dòng)目的： 有了前面兩題作基礎(chǔ)，這個(gè)問題可以留給學(xué)生自己解決，作為練習(xí) 4．問題四： 某建筑物的窗戶如下圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材料總長(zhǎng)(圖中所有黑線的長(zhǎng)度和)為15m．當(dāng)x等于多少時(shí)，窗戶通過的光線最多(結(jié)果精確到0.01m)？此時(shí)，窗戶的面積是多少？ 分析：x為半圓的半徑，也是矩形的較長(zhǎng)邊，因此x與半圓面積和矩形面積都有關(guān)系．要求透過窗戶的光線最多，也就是求矩形和半圓的面積之和最大，即2xy＋x2最大，而由于4y＋4x＋3x＋πx＝7x＋4y＋πx＝15，所以y＝．面積S＝πx2＋2xy＝πx2＋2x＝πx2＋＝－3.5x2＋7.5x，這時(shí)已經(jīng)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題即二次函數(shù)了，只要化為頂點(diǎn)式或代入頂點(diǎn)坐標(biāo)公式中即可．解：∵7x＋4y＋πx＝15， ∴y＝． 設(shè)窗戶的面積是S(m2)，則S＝πx2＋2xy ＝πx2＋2x ＝πx2＋ ＝－3.5x2＋7.5x ＝－3.5(x2－x) ＝－3.5(x－)2＋． ∴當(dāng)x＝≈1.07時(shí)， S最大＝≈4.02． 即當(dāng)x≈1.07m時(shí)，S最大≈4.02m2，此時(shí)，窗戶通過的光線最多． 實(shí)際教學(xué)效果： 問題四中的數(shù)量關(guān)系，較前面3個(gè)問題，處理起來比較繁瑣，教師要給予學(xué)生及時(shí)的指導(dǎo)和幫助。 第二環(huán)節(jié) 歸納升華 活動(dòng)內(nèi)容： 同學(xué)們能否根據(jù)前面的例子作一下總結(jié)，解決此類問題的基本思路是什么呢？與同伴進(jìn)行交流． 活動(dòng)目的： 通過前面例題的學(xué)習(xí)和感受，學(xué)生討論交流，在教師的幫助下歸納出： 基本流程為：理解題目 分析已知量與未知量 轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題． 解決此類問題的基本思路是： (1)理解問題； (2)分析問題中的變量和常量以及它們之間的關(guān)系； (3)用數(shù)學(xué)的方式表示它們之間的關(guān)系； (4)做函數(shù)求解； (5)檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，拓展等． 第三環(huán)節(jié) 課堂練習(xí)，活動(dòng)探究 活動(dòng)內(nèi)容： 1. 用48米長(zhǎng)的竹籬笆圍建一矩形養(yǎng)雞場(chǎng),養(yǎng)雞場(chǎng)一面用磚砌成,另三面用竹籬笆圍成,并且在與磚墻相對(duì)的一面開2米寬的門(不用籬笆),問養(yǎng)雞場(chǎng)的邊長(zhǎng)為多少米時(shí),養(yǎng)雞場(chǎng)占地面積最大?最大面積是多少? M A B C D P Q R 2. 正方形ABCD邊長(zhǎng)5cm,等腰三角形PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,點(diǎn)B、C、Q、R在同一直線l上，當(dāng)C、Q兩點(diǎn)重合時(shí)，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直線l向左方向開始勻速運(yùn)動(dòng)，ts后正方形與等腰三角形重合部分面積為Scm2，解答下列問題： (1)當(dāng)t=3s時(shí)，求S的值； (2)當(dāng)t=3s時(shí)，求S的值； (3)當(dāng)5s≤t≤8s時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值。 第四環(huán)節(jié) 課時(shí)小結(jié) 本節(jié)課我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)了用二次函數(shù)知識(shí)解決最大面積的問題，增強(qiáng)了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)，獲得了利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)，并進(jìn)一步感受了數(shù)學(xué)建模思想和數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值． 第五環(huán)節(jié) 課后作業(yè) 習(xí)題2．8 1、2