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2019年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 32.3矩形、菱形的性質(zhì)定理和判定定理及其證明教案 冀教版 一、知識(shí)概述 1、矩形的性質(zhì)定理 定理1：矩形的四個(gè)角都是直角． 說(shuō)明：(1)矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)． 　(2)矩形的這一特性可用來(lái)證明兩條線段互相垂直． 定理2：矩形的對(duì)角線相等． 說(shuō)明：矩形的這一特性可用來(lái)證明兩條線段相等． 推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半． 說(shuō)明：與中位線定理及在直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半一樣，這一推論可用來(lái)證明線段之間的倍數(shù)關(guān)系． 2、矩形的判定定理 定理1：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形． 定理2：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形． 3、菱形的性質(zhì)定理 定理：菱形的四條邊都相等． 說(shuō)明：(1)菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)，并且具有它特殊的性質(zhì)． 　(2)利用該特性可以證明線段相等． 定理2：菱形的對(duì)角線互相垂直．并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角． 說(shuō)明：根據(jù)菱形的特性可知，其對(duì)角線將它分成四個(gè)全等的直角三角形，再由直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，證明線段或角的關(guān)系，這樣就將四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)處理． 4、菱形的判定定理 定理1：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形． 定理2：四條邊都相等的四邊形是菱形． 說(shuō)明：菱形的兩個(gè)判定定理起點(diǎn)不同，一個(gè)是平行四邊形，一個(gè)是四邊形，判定時(shí)的條件不同，一個(gè)是對(duì)角線互相垂直，一個(gè)是四條邊都相等． 5、正方形的性質(zhì) 普通性質(zhì)：正方形有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)． 特有性質(zhì)：(1)邊：四條邊都相等，鄰邊垂直，對(duì)邊平行；(2)角：四個(gè)角都是直角；(3)對(duì)角線：①相等，②互相垂直平分，③每條對(duì)角線平分一組對(duì)角． 說(shuō)明：正方形這些性質(zhì)根據(jù)定義可直接得出． 特殊性質(zhì)——正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，對(duì)角線與邊的夾角是45，正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形． 6、正方形的判定 (1)判定一個(gè)四邊形為正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：①先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等；②先證它是菱形，再證有一個(gè)角為直角． (2)判定正方形的一般順序；①先證明是平行四邊形；②再證有一組鄰邊相等(有一個(gè)角是直角)；③最后證明有一個(gè)角是直角(有一組鄰邊相等)． 說(shuō)明：證明一個(gè)四邊形是正方形的方法很多，但一定注意不要缺少條件． 二、重難點(diǎn)知識(shí)歸納 1、特殊的平行四邊形知識(shí)結(jié)構(gòu) 三、典型例題講解 例1、如圖所示，M，N分別是平行四邊形ABCD的對(duì)邊AD，BC的中點(diǎn)，且AD=2AB，求證四邊形PMQN為矩形． 錯(cuò)解： 連接MN． ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ADBC． 又∵M(jìn)，N分別為AD，BC的中點(diǎn)，∴AMBN． ∴四邊形AMNB是平行四邊形． 又∵AB=AD，∴AB=AM，∴口AMNB是菱形． ∴AN⊥BM，∴∠MPN=90． 同理∠MQN=90，∴四邊形PMQN為矩形． 分析： 錯(cuò)在由∠MPN=∠MQN=90，就證得四邊形PMQN是矩形這一步，還需證一個(gè)角是直角或證四邊形PMQN是平行四邊形，證四邊形PMQN是平行四邊形這種方法比較好． 正解： 連接MN，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ADBC． 又∵DM=AD，BN=BC(線段中點(diǎn)定義)， ∴四邊形BNDM為平行四邊形． ∴BMDN，同理ANMC． ∴四邊形PMQN是平行四邊形． ∵AMBN，∴四邊形ABNM是平行四邊形． 又∵AD=2AB，AD=2AM， ∴AB=AM，∴四邊形ABNM是菱形． ∴AN⊥BM，即∠MPN=90，∴四邊形PMQN是矩形． 例2、如圖所示，4個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q，E，F(xiàn)分別從正方形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿著AB，BC，CD，DA以同樣的速度向B，C，D，A各點(diǎn)移動(dòng)． (1)試判斷四邊形PQEF的形狀，并證明； (2)PE是否總過(guò)某一定點(diǎn)?并說(shuō)明理由； (3)四邊形PQEF的頂點(diǎn)位于何處時(shí)，其面積有最大值和最小值?最大值和最小值各是多少? 分析： (1)猜想四邊形PQEF為正方形，先證它為菱形，再證有一直角即可；(2)此問(wèn)是動(dòng)態(tài)問(wèn)題，緊緊抓住運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的不變量，即APCE，四邊形APCE為平行四邊形，易知PE與AC平分于點(diǎn)O；(3)此問(wèn)中顯然當(dāng)點(diǎn)P，Q，E，F(xiàn)分別運(yùn)動(dòng)至與正方形ABCD各頂點(diǎn)重合時(shí)面積最大，分析最小值時(shí)的情形可根據(jù)S正=PE2，而PE最小時(shí)是PE⊥AB，此時(shí)PE=BC． 解： (1)四邊形PQEF為正方形，證明如下： 在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA，AP=BQ=CE=DF， ∴BP=QC=ED=FA． 又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90， ∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF． ∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB，∴∠FPQ=90． ∴四邊形PQEF為正方形． (2)連接AC交PE于點(diǎn)O． ∵APEC，∴四邊形APCE為平行四邊形． 又∵O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，∴對(duì)角線PE總過(guò)AC的中點(diǎn)． (3)當(dāng)P運(yùn)動(dòng)至與B重合時(shí)，四邊形PQEF面積最大，等于原正方形面積， 當(dāng)PE⊥AB時(shí)，四邊形PQEF的面積最小，等于原正方形面積的一半． 小結(jié)：探索動(dòng)態(tài)問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是抓住它不動(dòng)的一瞬間和運(yùn)動(dòng)中的不變量，即動(dòng)中求靜，這類題目是中考的熱點(diǎn)考題． 例3、如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90，AC=2，BC=3，D是BC邊上一點(diǎn)，直線DE⊥BC于D，交AB于E，CF//AB，交直線DE于F，設(shè)CD=x． (1)當(dāng)x取何值時(shí)，四邊形EACF是菱形?請(qǐng)說(shuō)明理由； (2)當(dāng)x取何值時(shí)，四邊形EACD的面積等于2？ 分析： 本題考查菱形的判定、解直角三角形等知識(shí)的綜合運(yùn)用，有一定的探究性． 解： (1)∵∠ACB=90∴AC⊥BC． 又∵DE⊥BC，∴EF//AC． ∵AE//CF，∴四邊形EACF是平行四邊形． 當(dāng)CF=AC時(shí)，四邊形ACFE是菱形． 此時(shí)CF=AC=2，BD=3－x，tan B=， ∴ED=BDtan B=(3－x)． ∴DF=EF－ED=2－(3－x)=x． 在Rt△CDF中，CD2＋DF2=CF2， ∴x2＋(x)2=22， ∴(負(fù)值不合題意，舍去)． 即當(dāng)時(shí)，四邊形ACFE是菱形． (2)由已知條件可知四邊形EACD是直角梯形， 例4、如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，M、N分別是AD，BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BM，CM的中點(diǎn)． (1)求證四邊形MENF是菱形； (2)若四邊形MENF是正方形，請(qǐng)?zhí)剿鞯妊菪蜛BCD的高和底邊BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 分析： 由題中條件根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可證明四邊形MENF的四邊相等．當(dāng)四邊形MENF是正方形時(shí)，則有NE⊥MB，NF⊥MC，所以需連接MN(梯形的高)進(jìn)行探究． 證明： (1)∵四邊形ABCD是等腰梯形， ∴AB=CD，∠A=∠D． ∵M(jìn)為AD中點(diǎn)，∴AM=DM， ∴△ABM≌△DCM，∴BM=CM． ∵E，F(xiàn)，N分別為MB，MC，BC的中點(diǎn)， ∴EN=MC，F(xiàn)N=MB，ME=MB，MF=MC， ∴EN=FN=MF=ME， ∴四邊形ENFM是菱形． 解： (2)結(jié)論：等腰梯形ABCD的高等于底邊BC的一半．理由如下： 連接MN，∵BM=CM．BN=CN，∴MN⊥BC． ∵AD//BC，∴MN⊥AD，即MN為梯形ABCD的高， 又∵四邊形MENF是正方形，∴△BMC為等腰直角三角形， ∵N為BC中點(diǎn)，∴MN=BC． 小結(jié)：梯形的高是指端點(diǎn)在兩底上并且與兩底垂直的線段． 例5、如圖所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，AC平分∠DCB，AB⊥AC，P為MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若AD=3，則PD＋PC的最小值為_________． 分析： 本題綜合考查等腰梯形的性質(zhì)、軸對(duì)稱圖形和解直角三角形等知識(shí)．由M，N為AD，BC中點(diǎn)可知，直線MN為等腰梯形的對(duì)稱軸，故點(diǎn)A與點(diǎn)D，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線MN對(duì)稱．所以連接BD，交MN于點(diǎn)P′，則PC＋PD的最小值為線段BD的長(zhǎng)(由三角形三邊的關(guān)系說(shuō)明)．因?yàn)锳C平分∠DCB，且AD//BC，所以AD=DC=AB=3，易知∠ACB=∠DCB=30．又∠BAC=90，所以BC=2AB=6，因此． 答案： 例6、用反證法證明：一個(gè)梯形中不能有三個(gè)角是鈍角． 分析： 要用反證法證明文字?jǐn)⑹龅拿}，需寫出已知、求證，根據(jù)命題要求畫出圖形，再經(jīng)過(guò)推理論證，得出與所學(xué)過(guò)的知識(shí)相矛盾的結(jié)論．從而否定原來(lái)的假設(shè)． 如圖所示，已知梯形ABCD，AD//BC． 求證：∠A，∠B，∠C，∠D中不能有三個(gè)角是鈍角． 證明： 假設(shè)∠A，∠B，∠C，∠D中有三個(gè)角是鈍角，不妨設(shè)∠A>90，∠B>90，∠C>90． ∴∠A＋∠B>180，∠B＋∠C>180，∠A＋∠C>180． 又∵AD∥BC，∴∠A＋∠B=180． ∴“∠A＋∠B>180”與“∠A＋∠B=180”矛盾． ∴∠A＋∠B>180不成立，即假設(shè)∠A>90，∠B>90不成立． ∴梯形中不能有三個(gè)角是鈍角．