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2019-2020年八年級數(shù)學(xué)上冊第11章三角形等邊三角形課后作業(yè)新版新人教版 1. 關(guān)于等邊三角形的說法： （1）等邊三角形有三條對稱軸； （2）有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形； （3）有兩個(gè)角等于60的三角形是等邊三角形； （4）等邊三角形兩邊中線上的交點(diǎn)到三邊的距離相等. 其中正確的說法有（ ） A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè) 2. 如圖，D是等邊△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，CD=BE，∠1=∠2，則△ADE是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等邊三角形 D. 直角三角形 3. 如圖所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC內(nèi)兩點(diǎn)，AD平分∠BAC.∠EBC=∠E=60，若BE=6，DE=2，則BC的長度是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 4. 如圖，在△ABC中，點(diǎn)A關(guān)于BD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)B關(guān)于DE的對稱點(diǎn)為C，∠CBD=30，AC=9，則AD的長為（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90，∠ABC=60，BC=2cm，D為BC的中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)E以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿著A→B→A的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t＜6），連接DE，當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí)，t的值為（ ） A. 2 B. 2.5或3.5 C. 3.5或4.5 D. 2或3.5或4.5 6. 如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ.則四個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②∠OED=∠EAD；③∠AOB=60； ④DE=DP中錯(cuò)誤的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 7. 如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E= 度. 8. 如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=60，BE⊥AC于E，延長BC到D，使CD=CE，連接DE，若△ABC的周長是24，BE=a，則△BDE的周長是 9. 如圖，已知O是等邊三角形△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB、∠BOC、∠AOC的度數(shù)之比為6：5：4，在以O(shè)A、OB、OC為邊的三角形中，此三邊所對的角的度數(shù)是 10. 如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，且OD∥AB，OE∥AC. （1）求證：△ODE是等邊三角形. （2）線段BD、DE、EC 三者有什么數(shù)量關(guān)系？寫出你的判斷過程. 11. 如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC上. （1）如果AD=2BD，BE=2CE，CF=2AF，求證：△DEF是等邊三角形； （2）如果AD=3BD，BE=3CE，CF=3AF，△DEF仍是等邊三角形嗎？ （3）直接寫出D、E、F三點(diǎn)滿足什么條件時(shí)，△DEF是等邊三角形. 12. 如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=110，∠BOC=α.以O(shè)C為一邊作等邊三角形OCD，連接AC、AD. （1）當(dāng)α=150時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由； （2）探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？ 等邊三角形課后作業(yè) 參考答案 1. 解析：根據(jù)利用等邊三角形的性質(zhì)分析即可 解：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)：（1）等邊三角形三條邊都相等，三個(gè)內(nèi)角都相等，每一個(gè)角為60度； （2）等邊三角形每條邊上的中線、高線和所對角的平分線互相重合（三線合一）； （3）等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，對稱軸是每條邊上的中線、高線或所對角的平分線所在直線； 由此分析判定（1）（2）（3）（4）都正確， 所以正確的說法有4個(gè)， 故選D 2. 解析：證明△ADE是哪一種三角形，可以從三邊AD，AE，DE入手. 解：因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形， 所以∠ABC=60. 又因?yàn)镃D=BE，∠1=∠2，且AC=AB， 所以△ADC≌△AEB， 所以AD=AE，∠EAD=∠CAB=60， 所以△ADE為等邊三角形. 故選C. 3. 解析：根據(jù)角平分線、高、等腰直角三角形的性質(zhì)依次判斷即可得出答案. 解：①∵∠1=∠2=22.5， 又∵AD是高，∴∠2+∠C=∠3+∠C，∴∠1=∠3， ②∵∠1=∠2=22.5，∴∠ABD=∠BAD，∴AD=BD， 又∵∠2=∠3，∠ADB=∠ADC，∴△BDH≌△ADC，∴DH=CD，∵AB=BC， ∴BD+DH=AB， ③無法證明，④可以證明，故選C 4. 解析作出輔助線后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BE=6，DE=2，進(jìn)而得出△BEM為等邊三角形，△EFD為等邊三角形，從而得出BN的長，進(jìn)而求出答案. 解：延長ED交BC于M，延長AD交BC于N，作DF∥BC， ∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AN⊥BC，BN=CN， ∵∠EBC=∠E=60， ∴△BEM為等邊三角形， ∴△EFD為等邊三角形， ∵BE=6，DE=2， ∴DM=4， ∵△BEM為等邊三角形， ∴∠EMB=60， ∵AN⊥BC， ∴∠DNM=90， ∴∠NDM=30， ∴NM=2， ∴BN=4， ∴BC=2BN=8， 故選B 5. 解析：由Rt△ABC中，∠ACB=90，∠ABC=60，BC=2cm，可求得AB的長，由D為BC的中點(diǎn)，可求得BD的長，然后分別從若∠DEB=90與若∠EDB=90時(shí)，去分析求解即可求得答案. 解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，∠ABC=60，BC=2cm， ∴AB=2BC=4（cm）， ∵BC=2cm，D為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)， ∴BD=BC=1（cm），BE=AB-AE=4-t（cm）， 若∠BED=90， 當(dāng)A→B時(shí)，∵∠ABC=60， ∴∠BDE=30， ∴BE=BD=（cm）， ∴t=3.5， 當(dāng)B→A時(shí)，t=4+0.5=4.5. 若∠BDE=90時(shí)， 當(dāng)A→B時(shí)，∵∠ABC=60， ∴∠BED=30， ∴BE=2BD=2（cm）， ∴t=4-2=2， 當(dāng)B→A時(shí)，t=4+2=6（舍去）. 綜上可得：t的值為2或3.5或4.5. 故選D. 6. 解析： 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出△ACD≌△BCE，∠ACB=∠CED=60，就有BC∥DE，∠OED=∠CBE，由∠CBE=∠CAD而得出結(jié)論，∠DPC=∠PCA+∠PAC=60+∠CAP＞∠DCP=60而得出DE≠DP從而得出結(jié)論. 解：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形， ∴AC=BC，EC=DC=DE，∠ACB=∠DCE=∠DEC=60， ∴BC∥DE，∠ACB+BCD=∠DCE+∠BCD， ∴∠OED=∠CBE，∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE在AC=BC, ∠ACD=∠BCE, EC=DC ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CAD=∠CBE.AD=BE，故①正確； ∴∠OED=∠EAD.故②正確. ∵∠AOB=∠EAD+∠AEO， ∴∠AOB=∠CBE+∠AEO. ∵∠CBE+∠AEO=∠ACB=60， ∴∠AOB=60.故③正確 ∵∠ACB+∠DCE+∠BCD=180， ∴∠BCD=60. ∵∠DPC=∠PCA+∠PAC=60+∠CAP＞∠DCP=60， ∴DE≠DP.故④錯(cuò)誤. 故選D 7. 解析：根據(jù)等邊三角形三個(gè)角相等，可知∠ACB=60，根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數(shù). 解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ACB=60，∠ACD=120， ∵CG=CD， ∴∠CDG=30，∠FDE=150， ∵DF=DE， ∴∠E=15. 故答案為：15 8. 解析：根據(jù)在△ABC中，AB=AC，∠A=60，可得△ABC的形狀，再根據(jù)△ABC的周長是24，可得AB=BC=AC=8，根據(jù)BE⊥AC于E，可得CE的長，∠EBC=30，根據(jù)CD=CE，可得∠D=∠CED，根據(jù)∠ACB=60，可得∠D，根據(jù)∠D與∠EBC，可得BE與DE的關(guān)系，可得答案. 解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60， ∴△ABC是等邊三角形， ∵△ABC的周長是24， ∴AB=AC=BC=8， ∵BE⊥AC于E， ∴CE=AC=4，∠EBC=∠ABC=30， ∵CD=CE， ∴∠D=∠CED， ∵∠ACB是△CDE的一個(gè)外角， ∴∠D+∠CED=∠ACB=60 ∴∠D=30， ∴∠D=∠EBC， ∴BE=DE=a， ∴△BED周長是DE+BE+BD=a+a+（8+4）=2a+12， 故答案為：2a+12. 9. 解析：求出∠AOB、∠BOC、∠AOC的度數(shù)，將△AOC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到三角形AOB，連接OD O，證等邊三角形BOO，推出△BOO即是以O(shè)A，OB，OC為邊長構(gòu)成的三角形即可. 解：∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360且∠AOB：∠BOC：∠AOC=6：5：4， ∴∠AOB=144，∠BOC=120，∠AOC=96， 將△AOC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到三角形AO′B，連接OO′， ∵△AO′B≌△AOC， ∴∠AO′B=∠AOC=96，O′B=OC，AO′=AO， ∵∠OAO′=60（將△AOC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到三角形AO′B），AO=AO′， ∴△AOO′是等邊三角形， ∴OO′=AO， ∴△BOO′即是以O(shè)A，OB，OC為邊長構(gòu)成的三角形， ∵∠AOO′=∠AO′O=60， ∴∠BOO′=∠AOB-∠AOO′=144-60=84， ∠BO′O=∠AO′B-∠AO′O=96-60=36， ∠O′BO=180-84-36=60， 以O(shè)A，OB，OC為三邊所構(gòu)成的三角形中， 三邊所對的角度分別是60，36，84. 故答案為：36或60或84 10. 解析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得到△ODE是等邊三角形； （2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可得到∠DBO=∠DOB，根據(jù)等角對等邊可得到DB=DO，同理可證明EC=EO，因?yàn)镈E=OD=OE，所以BD=DE=EC； （3）根據(jù)直角三角形及等邊三角形的性質(zhì)解答即可. （1）證明：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60， ∵OD∥AB，OE∥AC， ∴∠ODE=∠ABC=60，∠OED=∠ACB=60， ∴△ODE是等邊三角形； （2）BD=DE=EC， 其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60， ∴∠ABO=∠OBD=30， ∵OD∥AB， ∴∠BOD=∠ABO=30， ∴∠DBO=∠DOB， ∴DB=DO， 同理，EC=EO， ∵DE=OD=OE， ∴BD=DE=EC； 11. 解析：（1）根據(jù)等邊△ABC中AD=2BD，BE=2CE，CF=2AF，可得AD=BE=CF，AF=BD=CE，證得△ADF≌△BED≌△CFE，即可得出：△DEF是等邊三角形. （2）根據(jù)等邊△ABC中AD=3BD，BE=3CE，CF=3AF，可得AD=BE=CF，AF=BD=CE，證得△ADF≌△BED≌△CFE，即可得出：△DEF是等邊三角形. （3）根據(jù)等邊△ABC中AD=nBD，BE=nCE，CF=nAF，可得AD=BE=CF，AF=BD=CE，證得△ADF≌△BED≌△CFE，即可得出：△DEF是等邊三角形. 解：（1）∵△ABC為等邊三角形，且AD=2BD，BE=2CE，CF=2AF， ∴AD=BE=CF，AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60， 根據(jù)SAS可得△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）， ∴DF=ED=EF， ∴△DEF是一個(gè)等邊三角形. （2）∵△ABC為等邊三角形，且AD=3BD，BE=3CE，CF=3AF， ∴AD=BE=CF，AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60， 根據(jù)SAS可得△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）， ∴DF=ED=EF， ∴△DEF是一個(gè)等邊三角形. （3）當(dāng)AD=nBD，BE=nCE，CF=nAF時(shí)，△DEF是等邊三角形.理由如下： ∵△ABC為等邊三角形，且AD=nBD，BE=nCE，CF=nAF， ∴AD=BE=CF，AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60， 根據(jù)SAS可得△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）， ∴DF=ED=EF， ∴△DEF是一個(gè)等邊三角形. 12. 解析：（1）首先根據(jù)已知條件可以證明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性質(zhì)可以求出∠ADO的度數(shù)，由此即可判定△AOD的形狀； （2）利用（1）和已知條件及等腰三角形的性質(zhì)即可求解. 解：（1）∵△OCD是等邊三角形， ∴OC=CD， 而△ABC是等邊三角形， ∴BC=AC， ∵∠ACB=∠OCD=60， ∴∠BCO=∠ACD， 在△BOC與△ADC中， ∵OC=CD, ∠BCO=∠ACD, BC=AC ∴△BOC≌△ADC， ∴∠BOC=∠ADC， 而∠BOC=α=150，∠ODC=60， ∴∠ADO=150-60=90， ∴△ADO是直角三角形； （2）∵設(shè)∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d， 則a+b=60，b+c=180-110=70，c+d=60，a+d=50∠DAO=50， ∴b-d=10， ∴（60-a）-d=10， ∴a+d=50， 即∠CAO=50， ①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO， ∴190-α=α-60， ∴α=125； ②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO， ∴α-60=50， ∴α=110； ③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD， ∴190-α=50， ∴α=140. 所以當(dāng)α為110、125、140時(shí)，三角形AOD是等腰三角形.