《矩陣分析第3章習(xí)題答案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《矩陣分析第3章習(xí)題答案（6頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三章 1、 已知是n階正定Hermite矩陣，在n維線性空間中向量 定義內(nèi)積為 （1） 證明在上述定義下，是酉空間； （2） 寫出中的Canchy-Schwarz不等式。 2、 已知，求的標(biāo)準(zhǔn)正交基。 提示：即求方程的基礎(chǔ)解系再正交化單位化。 3、 已知 試求酉矩陣，使得是上三角矩陣。 提示：參見教材上的例子 4、 試證：在上的任何一個(gè)正交投影矩陣是半正定的Hermite矩陣。 5、 驗(yàn)證下列矩陣是正規(guī)矩陣，并求酉矩陣，使為對角矩陣，已知 ， 6、 試求正交矩陣，使為對角矩陣，已知 ， 7、 試求矩陣，使（或），已知 ， 8、 設(shè)n階酉矩陣的特征

2、根不等于，試證：矩陣滿秩，且是Hermite矩陣。反之，若是Hermite矩陣，則滿秩，且是酉矩陣。 證明：若，觀察知為的特征值，矛盾，所以矩陣滿秩。，要，只要 故 由知為H的特征值。由Hermite矩陣只能有實(shí)數(shù)特征值可得，即滿秩。 9、 若分別是實(shí)對稱和實(shí)反對稱矩陣，且，試證： 是酉矩陣。 證明： 10、 設(shè)均是實(shí)對稱矩陣，試證：與正交相似的充要條件是與的特征值相同。 證明：相似矩陣有相同的特征值。與正交相似與的特征值相同。 若與的特征值相同，又均是實(shí)對稱矩陣。所以存在正交陣Q，P使 其中為正交陣。 11、 設(shè)均是Hermite矩陣，試證：與酉相似的充要

3、條件是與的特征值相同。 證明：同上一題。 12、 設(shè)均是正規(guī)矩陣，試證：與酉相似的充要條件是與的特征值相同。 同上 13、 設(shè)A是Hermite矩陣，且，則存在酉矩陣，使得 14、 設(shè)A是Hermite矩陣，且，則存在酉矩陣，使得。 15、 設(shè)A為正定Hermite矩陣，B為反Hermite矩陣，試證：與的特征值實(shí)部為0。 證：A為正定Hermite矩陣，為滿秩的。 ， 是反Hermite矩陣，反Hermite矩陣的特征值實(shí)部為0,所以的特征值實(shí)部為0。 16、 設(shè)均是Hermite矩陣，且A正定，試證：與的特征值都是實(shí)數(shù)。 證明：同上題。， ，是Hermite

4、矩陣，Hermite矩陣的特征值為實(shí)數(shù),所以的特征值是實(shí)數(shù)。 17、 設(shè)A為半正定Hermite矩陣，且，試證：。 證明：A的特征值為，矩陣的行列式等于特征值之積。特征值為， 18、 設(shè)A為半正定Hermite矩陣，，B是正定Hermite矩陣，試證：。 證明：，為滿秩的。 為半正定Hermite矩陣，由上題， 19、 設(shè)A為正定Hermite矩陣，且，則。 證明：存在，。又， 20、 試證：（1）兩個(gè)半正定Hermite矩陣之和是半正定的；（2）半正定Hermite矩陣與正定Hermite矩陣之和是正定的。 提示：考查 21、 設(shè)A是正定Hermite

5、矩陣，B是反Hermite矩陣，試證：A＋B是可逆矩陣。 提示：A為正定Hermite矩陣，為滿秩的。 是反Hermite矩陣，特征值實(shí)部為0,，所以 22、 設(shè)A，B是n階正規(guī)矩陣，試證：A與B相似的充要條件是A與B酉相似。 證明：充分性，酉相似相似。 必要性，A，B是n階正規(guī)矩陣，，又A與B相似, 與的特征值相同,可設(shè) ， 23、 設(shè)，試證：總存在，使得是正定Hermite矩陣，是負(fù)定Hermite矩陣。 提示：A的特征值為，則的特征值為 24、 設(shè)A是正定Hermite矩陣，且A還是酉矩陣，則。 提示： 25、 設(shè)A、B均為正規(guī)矩陣。且，則與均為正規(guī)矩陣

6、。 提示：用Ｐ１５０定理，可以同時(shí)酉對角化。 26、 設(shè)，試證：是酉矩陣。 提示： 27、 設(shè)A為n階正規(guī)矩陣，為A的特征值，試證：的特征值為。 提示：，，所以的特征值為 28、 設(shè)，試證：（1）和都是半正定的Hermite矩陣；（2）和的非零特征值相同。 提示：（1） （2），特征值的重?cái)?shù)也相同，參見P191 29、 設(shè)A是正規(guī)矩陣，試證：（1）若（為自然數(shù)），則；（2）若，則；（3）若，則。 30、 設(shè)，求證以下三條件等價(jià)： ?。?）為正規(guī)矩陣 ?。?） ?。?） 解：（1）（2）由。 （2）（3）,由 （2）（1）,由 31、設(shè)，則A可以唯一的寫為，其中為Hermite矩陣。且A可以唯一的寫為，其中B是Hermite矩陣，C是反Hermite矩陣。 解：設(shè)，其中為Hermite矩陣，則。。唯一性（略）