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2019-2020年八年級數(shù)學(xué)上冊 第十二章 軸對稱教案 人教版 教學(xué)目標(biāo) 1．在生活實例中認識軸對稱圖． 2．分析軸對稱圖形，理解軸對稱的概念． 教學(xué)重點：軸對稱圖形的概念． 教學(xué)難點：能夠識別軸對稱圖形并找出它的對稱軸． 教學(xué)過程 Ⅰ．創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 我們生活在一個充滿對稱的世界中，許多建筑物都設(shè)計成對稱形，藝術(shù)作品的創(chuàng)作往往也從對稱角度考慮，自然界的許多動植物也按對稱形生長，中國的方塊字中些也具有對稱性……對稱給我們帶來多少美的感受！初步掌握對稱的奧秒，不僅可以幫助我們發(fā)現(xiàn)一些圖形的特征，還可以使我們感受到自然界的美與和諧． 軸對稱是對稱中重要的一種，從這節(jié)課開始，我們來學(xué)習(xí)第十二章：軸對稱．今天我們來研究第一節(jié)，認識什么是軸對稱圖形，什么是對稱軸． Ⅱ．導(dǎo)入新課 出示課本的圖片，觀察它們都有些什么共同特征． 這些圖形都是對稱的．這些圖形從中間分開后，左右兩部分能夠完全重合． 小結(jié)：對稱現(xiàn)象無處不在，從自然景觀到分子結(jié)構(gòu)，從建筑物到藝術(shù)作品，甚至日常生活用品，人們都可以找到對稱的例子．現(xiàn)在同學(xué)們就從我們生活周圍的事物中來找一些具有對稱特征的例子． 我們的黑板、課桌、椅子等． 我們的身體，還有飛機、汽車、楓葉等都是對稱的． 如課本的圖12．1．2，把一張紙對折，剪出一個圖案（折痕處不要完全剪斷），再打開這張對折的紙，就剪出了美麗的窗花．觀察得到的窗花和圖12．1．1中的圖形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的特點嗎？ 窗花可以沿折痕對折，使折痕兩旁的部分完全重合．不僅窗花可以沿一條直線對折，使直線兩旁重合，上面圖12．1．1中的圖形也可以沿一條直線對折，使直線兩旁的部分重合． 結(jié)論：如果一個圖形沿一直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸．這時，我們也說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱． 了解了軸對稱圖形及其對稱軸的概念后，我們來做一做． 取一張質(zhì)地較硬的紙，將紙對折，并用小刀在紙的中央隨意刻出一個圖案，將紙打開后鋪平，你得到兩個成軸對稱的圖案了嗎？與同伴進行交流． 結(jié)論：位于折痕兩側(cè)的圖案是對稱的，它們可以互相重合． 由此可以得到軸對稱圖形的特征：一個圖形沿一條直線折疊后，折痕兩側(cè)的圖形完全重合． 接下來我們來探討一個有關(guān)對稱軸的問題．有些軸對稱圖形的對稱軸只有一條，但有的軸對稱圖形的對稱軸卻不止一條，有的軸對稱圖形的對稱軸甚至有無數(shù)條。 下列各圖，你能找出它們的對稱軸嗎？ 結(jié)果：圖（1）有四條對稱軸；圖（2）有四條對稱軸；圖（3）有無數(shù)條對稱軸；圖（4）有兩條對稱軸；圖（5）有七條對稱軸． (1) (2) (3) (4) (5) 展示掛圖，大家想一想，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 像這樣，把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點． Ⅲ．隨堂練習(xí)：課本P30練習(xí)和 P31練習(xí) Ⅳ．課時小結(jié) 這節(jié)課我們主要認識了軸對稱圖形，了解了軸對稱圖形及有關(guān)概念，進一步探討了軸對稱的特點，區(qū)分了軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱． Ⅴ．作業(yè)：課本P36習(xí)題12．1第1、2、6、7、8題． Ⅵ．活動與探究：課本P31思考． 成軸對稱的兩個圖形全等嗎？如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形全等嗎？這兩個圖形對稱嗎？ 過程：在硬紙板上畫兩個成軸對稱的圖形，再用剪刀將這兩個圖形剪下來看是否重合．再在硬紙板上畫出一個軸對稱圖形，然后將該圖形剪下來，再沿對稱軸剪開，看兩部分是否能夠完全重合． 結(jié)論：成軸對稱的兩個圖形全等．如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形全等，并且也是成軸對稱的． 軸對稱是說兩個圖形的位置關(guān)系，而軸對稱圖形是說一個具有特殊形狀的圖形． 軸對稱的兩個圖形和軸對稱圖形，都要沿某一條直線折疊后重合；如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分，那么這兩個圖形就關(guān)于這條直線成軸對稱；反過來，如果把兩個成軸對稱的圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形． 板書設(shè)計 12．1 軸對稱（一） 一、軸對稱：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠完全重合，這個圖形就叫軸對稱圖形，這條直線叫對稱軸． 二、兩個圖形成軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱． 12．1 軸對稱（二） 教學(xué)目標(biāo) 1．了解兩個圖形成軸對稱性的性質(zhì)，了解軸對稱圖形的性質(zhì)． 2．探究線段垂直平分線的性質(zhì)． 3．經(jīng)歷探索軸對稱圖形性質(zhì)的過程，進一步體驗軸對稱的特點，發(fā)展空間觀察． 教學(xué)重點; 1．軸對稱的性質(zhì)． 2．線段垂直平分線的性質(zhì)． 教學(xué)難點： 體驗軸對稱的特征． 教學(xué)過程 Ⅰ．創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 上節(jié)課我們共同探討了軸對稱圖形，知道現(xiàn)實生活中由于有軸對稱圖形，而使得世界非常美麗．那么大家想一想，什么樣的圖形是軸對稱圖形呢？ 今天繼續(xù)來研究軸對稱的性質(zhì)． Ⅱ．導(dǎo)入新課：觀看投影并思考． 如圖，△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，點A′、B′、C′分別是點A、B、C的對稱點，線段AA′、BB′、CC′與直線MN有什么關(guān)系？ 圖中A、A′是對稱點，AA′與MN垂直，BB′和CC′也與MN垂直． AA′、BB′和CC′與MN除了垂直以外還有什么關(guān)系嗎？ △ABC與△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，點A′、B′、C′分別是點A、B、C的對稱點，設(shè)AA′交對稱軸MN于點P，將△ABC和△A′B′C′沿MN對折后，點A與A′重合，于是有AP=A′P，∠MPA=∠MPA′=90．所以AA′、BB′和CC′與MN除了垂直以外，MN還經(jīng)過線段AA′、BB′和CC′的中點． 對稱軸所在直線經(jīng)過對稱點所連線段的中點，并且垂直于這條線段．我們把經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線． 自己動手畫一個軸對稱圖形，并找出兩對稱點，看一下對稱軸和兩對稱點連線的關(guān)系． 我們可以看出軸對稱圖形與兩個圖形關(guān)于直線對稱一樣，對稱軸所在直線經(jīng)過對稱點所連線段的中點，并且垂直于這條線段． 歸納圖形軸對稱的性質(zhì)： 如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對稱點所連線段的垂直平分線．類似地，軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對稱點所連線段的垂直平分線． 下面我們來探究線段垂直平分線的性質(zhì)． [探究1] 如下圖．木條L與AB釘在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L上的點，分別量一量點P1，P2，P3，…到A與B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 1．用平面圖將上述問題進行轉(zhuǎn)化，先作出線段AB，過AB中點作AB的垂直平分線L，在L上取P1、P2、P3…，連結(jié)AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2… 2．作好圖后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…討論發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律． 探究結(jié)果： 線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等．即AP1=BP1，AP2=BP2，… 證明． 證法一：利用判定兩個三角形全等． 如下圖，在△APC和△BPC中， △APC≌△BPC PA=PB. 證法二：利用軸對稱性質(zhì)． 由于點C是線段AB的中點，將線段AB沿直線L對折，線段PA與PB是重合的，因此它們也是相等的． 帶著探究1的結(jié)論我們來看下面的問題． [探究2] 如右圖．用一根木棒和一根彈性均勻的橡皮筋，做一個簡易的“弓”，“箭”通過木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向與木棒垂直呢？為什么？ 活動：1．用平面圖形將上述問題進行轉(zhuǎn)化．作線段AB，取其中點P，過P作L，在L上取點P1、P2，連結(jié)AP1、AP2、BP1、BP2．會有以下兩種可能． 2．討論：要使L與AB垂直，AP1、AP2、BP1、BP2應(yīng)滿足什么條件？ 探究過程： 1．如上圖甲，若AP1≠BP1，那么沿L將圖形折疊后，A與B不可能重合，也就是∠APP1≠∠BPP1，即L與AB不垂直． 2．如上圖乙，若AP1=BP1，那么沿L將圖形折疊后，A與B恰好重合，就有∠APP1=∠BPP1，即L與AB重合．當(dāng)AP2=BP2時，亦然． 探究結(jié)論： 與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．也就是說在[探究2]圖中，只要使箭端到弓兩端的端點的距離相等，就能保持射出箭的方向與木棒垂直． [師]上述兩個探究問題的結(jié)果就給出了線段垂直平分線的性質(zhì)，即：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；反過來，與這條線段兩個端點距離相等的點都在它的垂直平分線上．所以線段的垂直平分線可以看成是與線段兩端點距離相等的所有點的集合． Ⅲ．隨堂練習(xí)： 課本P34練習(xí) 1、2． Ⅳ．課時小結(jié) 這節(jié)課通過探索軸對稱圖形對稱性的過程，了解了線段的垂直平分線的有關(guān)性質(zhì)，同學(xué)們應(yīng)靈活運用這些性質(zhì)來解決問題． Ⅴ．課后作業(yè)： 課本P36習(xí)題12．1第3、4、9題． Ⅵ．活動與探究 如圖甲，△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線L對稱，延長對應(yīng)線段AB和A′B′，兩條延長線相交嗎？交點與對稱軸L有什么關(guān)系？延長其他對應(yīng)線段呢？在圖乙中，AC與A′C′又如何呢？再找?guī)讉€成軸對稱的圖形觀察一下，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？ 過程：在圖甲中，AB與A′B′不平行，所以它們肯定會相交．下面來研究交點與對稱軸L的關(guān)系． 問題1：點和直線有幾種位置關(guān)系？ 有兩種．一種是點不在直線上，另一種是點在直線上． 問題2：先來假設(shè)一下交點不在對稱軸L上，看是否成立． 如果交點（P）不在對稱軸L上，那么在L的另一側(cè)一定有另外一點（P′）與交點（P）關(guān)于直線L對稱，且該點（P′）也是兩延長線的交點．但是由于兩條直線相交只可能有一個交點，所以這兩點是重合的．即交點（P）只能在對稱軸L上．所以交點一定在對稱軸上．延長其他的對應(yīng)線段，結(jié)果也一樣． 再看圖乙，討論下一個問題．AC與A′C′是平行的，它們的兩條延長線也不會相交． 結(jié)論：成軸對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段的延長線如果相交，交點一定在對稱軸上；對應(yīng)線段的延長線如果不相交，也就是對應(yīng)線段所在的直線平行，那么它們也與對稱軸平行． 板書設(shè)計 12．1 軸對稱（二） 一、復(fù)習(xí)：軸對稱圖形． 二、線段垂直平分線的定義：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做線段的垂直平分線． 三、圖形軸對稱的性質(zhì)：如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對稱點所連線段的垂直平分線．類似地，軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對稱點所連線段的垂直平分線． 四、線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線的點到這條線段兩個端點的距離相等；反過來，與這條線段兩個端點距離相等的點都在它的垂直平分線上． 12．2．1 作軸對稱圖形 教學(xué)目標(biāo) 1．通過實際操作，了解什么叫做軸對稱變換． 2．如何作出一個圖形關(guān)于一條直線的軸對稱圖形． 教學(xué)重點 1．軸對稱變換的定義． 2．能夠按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱后的圖形． 教學(xué)難點 1．作出簡單平面圖形關(guān)于直線的軸對稱圖形． 2．利用軸對稱進行一些圖案設(shè)計． 教學(xué)過程 Ⅰ．設(shè)置情境，引入新課 在前一個章節(jié)，我們學(xué)習(xí)了軸對稱圖形以及軸對稱圖形的一些相關(guān)的性質(zhì)問題．在上節(jié)課的作業(yè)中，我們有個要求，讓同學(xué)們自己思考一種作軸對稱圖形的方法，現(xiàn)在來看一下同學(xué)們完成的怎么樣． 將一張紙對折后，用針尖在紙上扎出一個圖案，將紙打開后鋪平，得到的兩個圖案是關(guān)于折痕成軸對稱的圖形． 準(zhǔn)備一張質(zhì)地較軟，吸水性能好的紙或報紙，在紙的一側(cè)上滴上一滴墨水，將紙迅速對折，壓平，并且手指壓出清晰的折痕．再將紙打開后鋪平，位于折痕兩側(cè)的墨跡圖案也是對稱的． 這節(jié)課我們就是來作簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱后的圖形． Ⅱ．導(dǎo)入新課 由我們已經(jīng)學(xué)過的知識知道，連結(jié)任意一對對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直平分． 類似地，我們也可以由一個圖形得到與它成軸對稱的另一個圖形，重復(fù)這個過程，可以得到美麗的圖案． 對稱軸方向和位置發(fā)生變化時，得到的圖形的方向和位置也會發(fā)生變化．大家看大屏幕，從電腦演示的圖案變化中找出對稱軸的方向和位置，體會對稱軸方向和位置的變化在圖案設(shè)計中的奇妙用途． 下面，同學(xué)們自己動手在一張紙上畫一個圖形，將這張紙折疊描圖，再打開看看，得到了什么？改變折痕的位置并重復(fù)幾次，又得到了什么？同學(xué)們互相交流一下． 結(jié)論：由一個平面圖形呆以得到它關(guān)于一條直線L對稱的圖形，這個圖形與原圖形的形狀、大小完全相同；新圖形上的每一點，都是原圖形上的某一點關(guān)于直線L的對稱點； 連結(jié)任意一對對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直平分． 我們把上面由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換． 成軸對稱的兩個圖形中的任何一個可以看作由另一個圖形經(jīng)過軸對稱變換后得到．一個軸對稱圖形也可以看作以它的一部分為基礎(chǔ)，經(jīng)軸對稱變換擴展而成的． 取一張長30厘米，寬6厘米的紙條，將它每3厘米一段，一正一反像“手風(fēng)琴”那樣折疊起來，并在折疊好的紙上畫上字母E，用小刀把畫出的字母E挖去，拉開“手風(fēng)琴”，你就可以得到以字母E為圖案的花邊．回答下列問題． （1）在你所得的花邊中，相鄰兩個圖案有什么關(guān)系？相間的兩個圖案又有什么關(guān)系？說說你的理由． （2）如果以相鄰兩個圖案為一組，每一組圖案之間有什么關(guān)系？三個圖案為一組呢？為什么？ （3）在上面的活動中，如果先將紙條縱向?qū)φ?，再折成“手風(fēng)琴”，然后繼續(xù)上面的步驟，此時會得到怎樣的花邊？它是軸對稱圖形嗎？先猜一猜，再做一做． 注：為了保證剪開后的紙條保持連結(jié)，畫出的圖案應(yīng)與折疊線稍遠一些． Ⅲ．隨堂練習(xí)：（一）P41練習(xí)1、2。 （二）如圖（1），將一張正六邊形紙沿虛線對折折3次，得到一個多層的60角形紙，用剪刀在折疊好的紙上隨意剪出一條線，如圖（2）． （1）猜一猜，將紙打開后，你會得到怎樣的圖形？ （2）這個圖形有幾條對稱軸？ （3）如果想得到一個含有5條對稱軸的圖形，你應(yīng)取什么形狀的紙？應(yīng)如何折疊？ 答案：（1）軸對稱圖形． （2）這個圖形至少有3條對稱軸． （3）取一個正十邊形的紙，沿它通過中心的五條對角線折疊五次，得到一個多層的36角形紙，用剪刀在疊好的紙上任意剪出一條線，打開即可得到一個至少含有5條對稱軸的軸對稱圖形． （三）回顧本節(jié)課內(nèi)容，然后小結(jié)． Ⅳ．課時小結(jié) 本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了如何通過軸對稱變換來作出一個圖形的軸對稱圖形，并且利用軸對稱變換來設(shè)計一些美麗的圖案．在利用軸對稱變換設(shè)計圖案時，要注意運用對稱軸位置和方向的變化，使我們設(shè)計出更新疑獨特的美麗圖案． Ⅴ．動手并思考 （一）如下圖所示，取一張薄的正方形紙，沿對角線對折后，得到一個等腰直角三角形，再沿斜邊上的高線對折，將得到的角形沿黑色線剪開，去掉含90角的部分，拆開折疊的紙，并將其鋪平． （1）你會得怎樣的圖案？先猜一猜，再做一做． （2）你能說明為什么會得到這樣的圖案嗎？應(yīng)用學(xué)過的軸對稱的知識試一試． （3）如果將正方形紙按上面方式折3次，然后再沿圓弧剪開，去掉較小部分，展開后結(jié)果又會怎樣？為什么？ （4）當(dāng)紙對折2次后，剪出的圖案至少有幾條對稱軸？3次呢？ 答案：（1）得到一個有2條對稱軸的圖形． （2）按照上面的做法，實際上相當(dāng)于折出了正方形的2條對稱軸；因此（1）中的圖案一定有2條對稱軸． （3）按題中的方式將正方形對折3次，相當(dāng)于折出了正方形的4條對稱軸，因此得到的圖案一定有4條對稱軸． （4）當(dāng)紙對折2次，剪出的圖案至少有2條對稱軸；當(dāng)紙對折3次，剪出的圖案至少有4條對稱軸． （二）自己設(shè)計并制作一個花邊． 作業(yè)：P45習(xí)題12.2第1、5題 Ⅵ．活動與探究 如果想剪出如下圖所示的“小人”以及“十字”，你想怎樣剪？設(shè)法使剪的次數(shù)盡可能少． 過程：學(xué)生通過觀察、分析設(shè)計自己的操作方法，教師提示學(xué)生利用軸對稱變換的應(yīng)用． 結(jié)果：“小人”可以先折疊一次，剪出它的一半即可得到整個圖． “十字”可以折疊兩次，剪出它的四分之一即可． 板書設(shè)計 12．2．1．1 作軸對稱圖形 一．如何由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形．二。 利用軸對稱設(shè)計圖案 12．2 .2 用坐標(biāo)表示軸對稱 教學(xué)目標(biāo) 在平面直角坐標(biāo)系中，確定軸對稱變換前后兩個圖形中特殊點的位置關(guān)系，再利用軸對稱的性質(zhì)作出成軸對稱的圖形 教學(xué)重點：用坐標(biāo)表示軸對稱 教學(xué)難點：利用轉(zhuǎn)化的思想，確定能代表軸對稱圖形的關(guān)鍵點 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)軸對稱圖形的有關(guān)性質(zhì) 二、新授： 1．學(xué)生探索： 點(x,y)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)(x,－y)；點(x,y)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)(－x,y)；點(x,y)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)(－x,－y) 2．例3 四邊形ABCD的四個頂點的坐標(biāo)分別為A(－5,1)、B(－2,1)、C(－2,5)、D(－5,4)，分別作出與四邊形ABCD關(guān)于x軸和y軸對稱的圖形． （1）歸納：與已知點關(guān)于y 軸或x軸對稱的點的坐標(biāo)的規(guī)律； （2）學(xué)生畫圖 （3）對于這類問題，只要先求出已知圖形中的一些特殊點的對應(yīng)點的坐標(biāo)，描出并順次連接這些特殊點，就可以得到這個圖形的軸對稱圖形． 3、探究問題 分別作出△PQR關(guān)于直線x=1(記為m)和直線y=－1(記為n)對稱的圖形，你能發(fā)現(xiàn)它們的對應(yīng)點的坐標(biāo)之間分別有什么關(guān)系嗎？ （1）學(xué)生畫圖，由具體的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)它們的對應(yīng)點的坐標(biāo)之間的關(guān)系 （2）若△PQR中P(x,y)關(guān)于x=1(記為m)軸對稱的點的坐標(biāo)P (x,y) ， 則，y= y． 若△PQR中P(x,y)關(guān)于y=－1(記為n)軸對稱的點的坐標(biāo)P (x,y) ， 則x= x，=n． 三、練習(xí)：課本P44第1、2、3題 四、作業(yè)：課本P45第2、3、4、6題 12．3．1．1 等腰三角形（一） 教學(xué)目標(biāo) 1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性質(zhì)． 3．等腰三角形的概念及性質(zhì)的應(yīng)用． 教學(xué)重點： 1．等腰三角形的概念及性質(zhì)． 2．等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用． 教學(xué)難點：等腰三角形三線合一的性質(zhì)的理解及其應(yīng)用． 教學(xué)過程 Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設(shè)情境 在前面的學(xué)習(xí)中，我們認識了軸對稱圖形，探究了軸對稱的性質(zhì)，并且能夠作出一個簡單平面圖形關(guān)于某一直線的軸對稱圖形，還能夠通過軸對稱變換來設(shè)計一些美麗的圖案．這節(jié)課我們就是從軸對稱的角度來認識一些我們熟悉的幾何圖形．來研究：①三角形是軸對稱圖形嗎？②什么樣的三角形是軸對稱圖形？ 有的三角形是軸對稱圖形，有的三角形不是． 問題：那什么樣的三角形是軸對稱圖形？ 我們這節(jié)課就來認識一種成軸對稱圖形的三角形──等腰三角形． Ⅱ．導(dǎo)入新課： 同學(xué)們拿出一張紙，要求是長方形的。首先將紙對折，然后取相等的兩邊，用剪刀剪下來！得到了一個△ABC，觀察下，它有什么特點？我們可以發(fā)現(xiàn)，由于用剪刀剪過的兩條邊是相等的，即AB=AC，這種有兩條邊相等的三角形，我們給它一個名稱叫做等腰三角形 等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫底角．同學(xué)們在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底邊、頂角和底角． 思考： 1．等腰三角形是軸對稱圖形嗎？請找出它的對稱軸． 2．等腰三角形的兩底角有什么關(guān)系？ 3．頂角的平分線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎？ 4．底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎？底邊上的高所在的直線呢？ 下面我們就一一來研究這些問題。 結(jié)論：等腰三角形是軸對稱圖形．它的對稱軸是頂角的平分線所在的直線．因為等腰三角形的兩腰相等，所以把這兩條腰重合對折三角形便知：等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是頂角的平分線所在的直線． 要求學(xué)生把自己做的等腰三角形進行折疊，找出它的對稱軸，并看它的兩個底角有什么關(guān)系． 沿等腰三角形的頂角的平分線對折，發(fā)現(xiàn)它兩旁的部分互相重合，由此可知這個等腰三角形的兩個底角相等，而且還可以知道頂角的平分線既是底邊上的中線，也是底邊上的高． 由此可以得到等腰三角形的性質(zhì)： 1．等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）． 2．等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相重合（通常稱作“三線合一”）． 由上面折疊的過程獲得啟發(fā)，我們可以通過作出等腰三角形的對稱軸，得到兩個全等的三角形，從而利用三角形的全等來證明這些性質(zhì)．同學(xué)們現(xiàn)在就動手來寫出這些證明過程）． 如右圖，在△ABC中，AB=AC，作底邊BC的中線AD，因為 所以△BAD≌△CAD（SSS）． 所以∠B=∠C． ]如右圖，在△ABC中，AB=AC，作頂角∠BAC的角平分線AD，因為 所以△BAD≌△CAD． 所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90． [例1]如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD， 求：△ABC各角的度數(shù)． 分析：根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，我們可以得到 ∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC， 再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A． 再由三角形內(nèi)角和為180，就可求出△ABC的三個內(nèi)角． 把∠A設(shè)為x的話，那么∠ABC、∠C都可以用x來表示，這樣過程就更簡捷． 解：因為AB=AC，BD=BC=AD， 所以∠ABC=∠C=∠BDC． ∠A=∠ABD（等邊對等角）． 設(shè)∠A=x，則 ∠BDC=∠A+∠ABD=2x， 從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x． 于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180， 解得x=36． 在△ABC中，∠A=35，∠ABC=∠C=72． [師]下面我們通過練習(xí)來鞏固這節(jié)課所學(xué)的知識． Ⅲ．隨堂練習(xí)：1.課本P51練習(xí) 1、2、3． 2．閱讀課本P49～P51，然后小結(jié)． Ⅳ．課時小結(jié) 這節(jié)課我們主要探討了等腰三角形的性質(zhì)，并對性質(zhì)作了簡單的應(yīng)用．等腰三角形是軸對稱圖形，它的兩個底角相等（等邊對等角），等腰三角形的對稱軸是它頂角的平分線，并且它的頂角平分線既是底邊上的中線，又是底邊上的高． 我們通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，首先就是要理解并掌握這些性質(zhì)，并且能夠靈活應(yīng)用它們． Ⅴ．作業(yè)： 課本P56習(xí)題12.3第1、2、3、4題． 板書設(shè)計 12．3．1．1 等腰三角形 一、設(shè)計方案作出一個等腰三角形 二、等腰三角形性質(zhì)： 1．等邊對等角 2．三線合一 參考練習(xí) 一、選擇題 1．如果△ABC是軸對稱圖形，則它的對稱軸一定是（ ） A．某一條邊上的高; B．某一條邊上的中線 C．平分一角和這個角對邊的直線; D．某一個角的平分線 2．等腰三角形的一個外角是100，它的頂角的度數(shù)是（ ） A．80 B．20 C．80和20 D．80或50 答案：1．C 2．C 二、已知等腰三角形的腰長比底邊多2cm，并且它的周長為16cm． 求這個等腰三角形的邊長． 解：設(shè)三角形的底邊長為xcm，則其腰長為（x+2）cm，根據(jù)題意，得 2（x+2）+x=16． 解得x=4． 所以，等腰三角形的三邊長為4cm、6cm和6cm． 12．3．1．1 等腰三角形（二） 教學(xué)目標(biāo) 1、 理解并掌握等腰三角形的判定定理及推論 2、 能利用其性質(zhì)與判定證明線段或角的相等關(guān)系. 教學(xué)重點： 等腰三角形的判定定理及推論的運用 教學(xué)難點： 正確區(qū)分等腰三角形的判定與性質(zhì)，能夠利用等腰三角形的判定定理證明線段的相等關(guān)系. 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)等腰三角形的性質(zhì) 二、新授： 　I提出問題，創(chuàng)設(shè)情境 出示投影片．某地質(zhì)專家為估測一條東西流向河流的寬度，選擇河流北岸上一棵樹(B點)為B標(biāo)，然后在這棵樹的正南方(南岸A點抽一小旗作標(biāo)志)沿南偏東60方向走一段距離到C處時，測得∠ACB為30，這時，地質(zhì)專家測得AC的長度就可知河流寬度． 學(xué)生們很想知道，這樣估測河流寬度的根據(jù)是什么？帶著這個問題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“等腰三角形的判定”． II引入新課 　　1．由性質(zhì)定理的題設(shè)和結(jié)論的變化，引出研究的內(nèi)容——在△ABC中，苦∠B=∠C，則AB= AC嗎？ 　　 作一個兩個角相等的三角形，然后觀察兩等角所對的邊有什么關(guān)系？ 　　2．引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖形，寫出已知、求證． 　　2、小結(jié)，通過論證，這個命題是真命題，即“等腰三角形的判定定理”(板書定理名稱)． 　　強調(diào)此定理是在一個三角形中把角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化成邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)，類似于性質(zhì)定理可簡稱“等角對等邊”． 　　4．引導(dǎo)學(xué)生說出引例中地質(zhì)專家的測量方法的根據(jù)． 　III例題與練習(xí) 　　1．如圖2 　　其中△ABC是等腰三角形的是 [ ] 　　2．①如圖3，已知△ABC中，AB=AC．∠A=36，則∠C______(根據(jù)什么？)． 　?、谌鐖D4，已知△ABC中，∠A=36，∠C=72，△ABC是______三角形(根據(jù)什么？)． 　?、廴粢阎螦＝36，∠C＝72，BD平分∠ABC交AC于D，判斷圖5中等腰三角形有______． 　　④若已知 AD＝4cm，則BC______cm． 　　3．以問題形式引出推論l______． 　　4．以問題形式引出推論2______． 例： 如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，求證這個三角形是等腰三角形． 　　分析：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意作出圖形，寫出已知、求證，并分析證明． 練習(xí)：5．(l)如圖6，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點F，過F作DE//BC，交AB于點D，交AC于E．問圖中哪些三角形是等腰三角形？ (2)上題中，若去掉條件AB=AC，其他條件不變，圖6中還有等腰三角形嗎？ 練習(xí)：P53練習(xí)1、2、3。 　IV課堂小結(jié) 　　1．判定一個三角形是等腰三角形有幾種方法？ 　　2．判定一個三角形是等邊三角形有幾種方法？ 　　3．等腰三角形的性質(zhì)定理與判定定理有何關(guān)系？ 　　4．現(xiàn)在證明線段相等問題，一般應(yīng)從幾方面考慮？ V布置作業(yè)：P56頁習(xí)題12.3第5、6題 12．3．２ 等邊三角形(一) 教學(xué)目的 1． 使學(xué)生熟練地運用等腰三角形的性質(zhì)求等腰三角形內(nèi)角的角度。 2． 熟識等邊三角形的性質(zhì)及判定． 2．通過例題教學(xué)，幫助學(xué)生總結(jié)代數(shù)法求幾何角度，線段長度的方法。 教學(xué)重點： 等腰三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用。 教學(xué)難點： 簡潔的邏輯推理。 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)鞏固 1．?dāng)⑹龅妊切蔚男再|(zhì)，它是怎么得到的? 等腰三角形的兩個底角相等，也可以簡稱“等邊對等角”。把等腰三角形對折，折疊兩部分是互相重合的，即AB與AC重合，點B與點 C重合，線段BD與CD也重合，所以∠B＝∠C。 等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線和底邊上的高線互相重合，簡稱“三線合一”。由于AD為等腰三角形的對稱軸，所以BD＝ CD，AD為底邊上的中線；∠BAD＝∠CAD，AD為頂角平分線，∠ADB＝∠ADC＝90，AD又為底邊上的高，因此“三線合一”。 2．若等腰三角形的兩邊長為3和4，則其周長為多少? 二、新課 在等腰三角形中，有一種特殊的情況，就是底邊與腰相等，這時，三角形三邊都相等。我們把三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。 等邊三角形具有什么性質(zhì)呢? 1．請同學(xué)們畫一個等邊三角形，用量角器量出各個內(nèi)角的度數(shù)，并提出猜想。 2．你能否用已知的知識，通過推理得到你的猜想是正確的? 等邊三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)得到∠A＝∠B＝C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180，從而推出∠A＝∠B＝∠C＝60。 3．上面的條件和結(jié)論如何敘述? 等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60。 等邊三角形是軸對稱圖形嗎?如果是，有幾條對稱軸? 等邊三角形也稱為正三角形。 例1．在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點，∠B＝30，求∠1和∠ADC的度數(shù)。 分析：由AB＝AC，D為BC的中點，可知AB為 BC底邊上的中線，由“三線合一”可知AD是△ABC的頂角平分線，底邊上的高，從而∠ADC＝90，∠l＝∠BAC，由于∠C＝∠B＝30，∠BAC可求，所以∠1可求。 問題1：本題若將D是BC邊上的中點這一條件改為AD為等腰三角形頂角平分線或底邊BC上的高線，其它條件不變，計算的結(jié)果是否一樣? 問題2：求∠1是否還有其它方法? 三、練習(xí)鞏固 1．判斷下列命題，對的打“√”，錯的打“”。 a.等腰三角形的角平分線，中線和高互相重合( ) b．有一個角是60的等腰三角形，其它兩個內(nèi)角也為60( ) 2．如圖(2)，在△ABC中，已知AB＝AC，AD為∠BAC的平分線，且∠2＝25，求∠ADB和∠B的度數(shù)。 3．P54練習(xí)1、2。 四、小結(jié) 由等腰三角形的性質(zhì)可以推出等邊三角形的各角相等，且都為60?！叭€合一”性質(zhì)在實際應(yīng)用中，只要推出其中一個結(jié)論成立，其他兩個結(jié)論一樣成立，所以關(guān)鍵是尋找其中一個結(jié)論成立的條件。 五、作業(yè)： 1．課本P57第７，９題。 2、補充：如圖(3)，△ABC是等邊三角形，BD、CE是中線，求∠CBD，∠BOE，∠BOC，∠EOD的度數(shù)。 12．3．2 等邊三角形（二） 教學(xué)目標(biāo) 1．掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定方法． 2.培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力． 教學(xué)重點：等邊三角形的性質(zhì)和判定方法． 教學(xué)難點：等邊三角形性質(zhì)的應(yīng)用 教學(xué)過程 I創(chuàng)設(shè)情境，提出問題 回顧上節(jié)課講過的等邊三角形的有關(guān)知識 1．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸． 2．等邊三角形每一個角相等，都等于60 3．三個角都相等的三角形是等邊三角形． 4．有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形． 其中1、2是等邊三角形的性質(zhì)；3、4的等邊三角形的判斷方法． II例題與練習(xí) 1．△ABC是等邊三角形，以下三種方法分別得到的△ADE都是等邊三角形嗎，為什么? ①在邊AB、AC上分別截取AD=AE． ②作∠ADE＝60，D、E分別在邊AB、AC上． ③過邊AB上D點作DE∥BC，交邊AC于E點． 2． 已知：如右圖，P、Q是△ABC的邊BC上的兩點，，并且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ.求∠BAC的大?。? 分析：由已知顯然可知三角形APQ是等邊三角形，每個角都是60．又知△APB與△AQC都是等腰三角形，兩底角相等，由三角形外角性質(zhì)即可推得∠PAB＝30． 3． P56頁練習(xí)1、2 III課堂小結(jié)：1.等腰三角形和性質(zhì)；等腰三角形的條件 V布置作業(yè)： 1．P58頁習(xí)題12．3第ll題． 2.已知等邊△ABC，求平面內(nèi)一點P，滿足A，B，C，P四點中的任意三點連線都構(gòu)成等腰三角形．這樣的點有多少個? 12．3．2 等邊三角形（三） 教學(xué)過程 一、 復(fù)習(xí)等腰三角形的判定與性質(zhì) 二、 新授： 1．等邊三角形的性質(zhì)：三邊相等；三角都是60；三邊上的中線、高、角平分線相等 2．等邊三角形的判定： 三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形； 在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半 注意：推論1是判定一個三角形為等邊三角形的一個重要方法.推論2說明在等腰三角形中，只要有一個角是600，不論這個角是頂角還是底角，就可以判定這個三角形是等邊三角形。推論3反映的是直角三角形中邊與角之間的關(guān)系. 3．由學(xué)生解答課本148頁的例子； 4．補充：已知如圖所示, 在△ABC中, BD是AC邊上的中線, DB⊥BC于B, ∠ABC=120o, 求證: AB=2BC 分析 由已知條件可得∠ABD=30o, 如能構(gòu)造有一個銳角是30o的直角三角形, 斜邊是AB,30o角所對的邊是與BC相等的線段,問題就得到解決了. B 證明: 過A作AE∥BC交BD的延長線于E ∵DB⊥BC(已知) ∴∠AED=90o (兩直線平行內(nèi)錯角相等) 在△ADE和△CDB中 ∴△ADE≌△CDB(AAS) ∴AE=CB(全等三角形的對應(yīng)邊相等) ∵∠ABC=120o,DB⊥BC(已知) ∴∠ABD=30o 在Rt△ABE中,∠ABD=30o ∴AE=AB(在直角三角形中,如果一個銳角等于30o, 那么它所對的直角邊等于斜邊的一半) ∴BC=AB 即AB=2BC 點評 本題還可過C作CE∥AB 5、訓(xùn)練：如圖所示,在等邊△ABC的邊的延長線上取一點E,以CE為邊作等邊△CDE,使它與△ABC位于直線AE的同一側(cè),點M為線段AD的中點,點N為線段BE的中點,求證:△CNM是等邊三角形. 分析 由已知易證明△ADC≌△BEC,得BE=AD,∠EBC=∠DAE,而M、N分別為BE、AD的中點，于是有BN=AM，要證明△CNM是等邊三角形，只須證MC=CN，∠MCN=60o，所以要證△NBC≌△MAC，由上述已推出的結(jié)論，根據(jù)邊角邊公里，可證得△NBC≌△MAC 證明：∵等邊△ABC和等邊△DCE， ∴BC=AC，CD=CE，（等邊三角形的邊相等） ∠BCA=∠DCE=60o（等邊三角形的每個角都是60） ∴∠BCE=∠DCA ∴△BCE≌△ACD（SAS） ∴∠EBC=∠DAC（全等三角形的對應(yīng)角相等） BE=AD（全等三角形的對應(yīng)邊相等） 又∵BN=BE，AM=AD（中點定義） ∴BN=AM ∴△NBC≌△MAC（SAS） ∴CM=CN（全等三角形的對應(yīng)邊相等） ∠ACM=∠BCN（全等三角形的對應(yīng)角相等） ∴∠MCN=∠ACB=60o ∴△MCN為等邊三角形（有一個角等于60o的等腰三角形是等邊三角形） 解題小結(jié) 1.本題通過將分析法和綜合法并用進行分析,得到了本題的證題思路,較復(fù)雜的幾何問題經(jīng)常用這種方法進行分析 2.本題反復(fù)利用等邊三角形的性質(zhì),證得了兩對三角形全等,從而證得△MCN是一個含60o角的等腰三角形,在較復(fù)雜的圖形中,如何準(zhǔn)確地找到所需要的全等三角形是證題的關(guān)鍵. 三、小結(jié)本節(jié)知識 四、作業(yè)：課本P58頁第13，14題