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2019版中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第十二講 兩圓位置關(guān)系學(xué)案 新人教版 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1、學(xué)會(huì)通過(guò)圓心距d和圓半徑d、r的關(guān)系來(lái)確定兩圓的位置關(guān)系。 2、應(yīng)用與兩圓位置關(guān)系相關(guān)定理解題。 【知識(shí)框圖】 兩圓位置關(guān)系的判定和性質(zhì) 兩圓位置關(guān)系 兩圓相切相交的相關(guān)定理 公切線定義、種類及求公切線長(zhǎng) 【典型例題】 例1：（1）一個(gè)圓的半徑為9cm，另一個(gè)圓的半徑為4cm,圓心距為3cm,判別兩個(gè)圓的位置關(guān)系。 （2）有兩個(gè)圓，一個(gè)圓的半徑R=4，兩圓的圓心距是5，另一個(gè)圓的關(guān)徑r滿足什么條件時(shí)這兩個(gè)圓外離。 （3）相切兩圓的圓心距為5，其中一個(gè)圓的半徑為3，那么另一個(gè)圓的半徑是多少。 （4）兩個(gè)圓的圓心距為2cm,一個(gè)圓的半徑為10cm,要使這兩個(gè)圓內(nèi)含，另一個(gè)圓的半徑應(yīng)滿足什么條件？ （5）已知兩個(gè)圓互相內(nèi)切，圓心距是2cm，如果一個(gè)圓的半徑是3cm,那么另一個(gè)圓的半徑是多少？ 解：（1）內(nèi)含 （2）0＜r＜1 （3）2或8 （4）r＞12cm或0＜r＜8cm (5)1cm或5cm 評(píng)注：本題考查兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握好兩圓位置關(guān)系的判定性質(zhì)公式，緊緊抓住d、R、r之間關(guān)系。 例2：⊙O１和⊙O２外切于點(diǎn)A，直線BD切⊙O１于點(diǎn)B，交⊙O２于點(diǎn)C，D，直線DA交⊙O于點(diǎn)E，（1）求證：∠BAC=∠ABC+∠D （2）AB２=ACAE 證明：（1）過(guò)點(diǎn)A作⊙O和⊙O的公切線MN。 B M C D 則∠MAC=∠D O１ A O２ ∵CB是⊙O１的切線 E N ∴∠ABC=∠BAM 　　∠BAC=∠BAM+∠MAC=∠ABC+∠D （2）連結(jié)BE，則∠E=∠ABC 又∠EAB=∠ABD+∠D=∠BAC ∴ΔABE∽ΔACB ∴ = ∴AB2=ACAE 評(píng)注：兩圓相切，解兩圓公切線是常見(jiàn)輔助線?！　　　　　　　　　。? 例3：已知⊙O１和⊙O２的半徑是5和 ，　　　　　　　　O１　　?。谩２ 它們的公共弦AB=6，求O１O(jiān)２的長(zhǎng)?！　　　　　　　　　　　　　。? 解：連結(jié)O１A、O２A ∵⊙ O１和⊙O２相交于A、B ∴O１O(jiān)２⊥AB，AC=BC= AB=3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。? ∴ O１C= = =4 　　　　　　　　　　　　　O１　O２　Ｃ O２C= =　 =2　　　　　　　　　　　　　　　?。? 如圖（1）O１O(jiān)２= O１C+ O２C=4+2=6 （2）O１O(jiān)２= O１C- O２C=4-2=2 答：O１O(jiān)２的長(zhǎng)是6或2。 【選講例題】 例4：已知⊙O與⊙O′相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙O′的切線交⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn) B作兩圓的割線分別交⊙O，⊙O′于點(diǎn)E、F，EF 與AC相交于點(diǎn)P。 （1）求證：PAPE=PCPF （2）求證： = （3）當(dāng)⊙O′與⊙O為等圓，且PC∶CE∶EP=3∶4∶5時(shí)，求ΔECP與ΔFAP的面積的比值。 證明：（1）連結(jié)AB ∵AC為⊙O′的切線 ∴∠CAB=∠F　　　　　　　　　　Ａ 又∵弧BC=弧BC ∴∠E=∠CAB 　　　　　　　　?。拧　。小　。隆。? ∴∠E=∠F ∴CE∥AF　　　　　　　　　　　?。? ∴ = ∴PAPE=PCPF （2） ∵ PAPE=PCPF 　∴ = 又∵PA為⊙O′切線 PBF為⊙O′的割線 ∴PA=PBPF ∴ = = （3）連結(jié)AE 由（1）ΔPEC∽ΔPFA PC∶CE∶EP=3∶4∶5 ∴ PA∶FA∶PF=3∶4∶5 設(shè)PC=3x　　CE=4x　　EP=5x PA=3y　　FA= 4y　　PF=5y 則EP2=PC2+CE2，　　PF2=PA2+FA2 ∴∠C=900， ∠CAF=900 AE是⊙O直徑，AF是⊙O′的直徑 又⊙O與⊙O′等圓， ∴AE=AF=4y ∵AC２+CE２=AE２ ∴(3x+3y) ２+(4x) ２=(4y) ２ 即25x２+18xy-7y２=0 ∴25x=7y 　　x= -y（舍去） ∴ = ∴SΔBCP∶SΔFAP=x２∶y２=49∶625 評(píng)注：本題考查了弦切角定理，圓周角定理，平行線分線段成比例定理，切割線定理，勾股定理，及相似三角形的性質(zhì)和判定。 【課堂小結(jié)】 本節(jié)內(nèi)容主要學(xué)習(xí)了兩圓位置關(guān)系的判定，主要體現(xiàn)在圓心距d和兩圓半徑R、r關(guān)系，同時(shí)也應(yīng)用圓當(dāng)中一些定理解綜合題和公切線長(zhǎng)計(jì)算。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1、選擇題 （1）已知兩圓的半徑分別為2，5，且圓心距等于2，則兩圓位置關(guān)系是（ ） A、外離 B、外切 C、相切 D、內(nèi)含 （2）若兩圓半徑R和r恰好是方程x2-4x+2=0兩個(gè)根，圓心距d=2，則兩圓位置關(guān)系是（ ） A、外離 B、外切 C、內(nèi)切 D、相交 2、填空題 （1）已知三角形三邊長(zhǎng)為6、8、10，若以三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心作圓且使三個(gè)圓兩面三刀兩相外切，則這三個(gè)圓的半徑為_(kāi)________。 （2）如果兩圓半徑為5cm和4cm ，它們相交，且公共弦長(zhǎng)是6cm，則圓心距為_(kāi)_______. 3、已知⊙O１和⊙O２相交于A、B，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線分別交兩圓于點(diǎn)C、D，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線分別交兩圓于點(diǎn)E、F，且CD∥EF，求證：CE=DF。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｃ　?。痢　　　　。? O1 O2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。拧　。隆　　　　。? 4、如圖，兩圓相切于A點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作大圓的兩條弦AB、AC，分別交小圓于F、E，連結(jié)BE，且延長(zhǎng)BE與大圓相交于H，若BE∶AC=2∶3，求BF與CH的比值。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。谩。? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｅ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。隆　　。? 5、如圖，⊙O１，⊙O２，⊙O３兩兩外切于A、B、C，其中⊙O２，⊙O３是等圓，已知O１O(jiān)２= O１O(jiān)３=10cm，O２O３=10 　cm，求（1）⊙O１，⊙O２與⊙O３的半徑r1、r2、r3（2）求ΔO１O(jiān)２O3的面積（3）ΔABC周長(zhǎng)及三個(gè)內(nèi)角度數(shù)。 O１ A C O２ B O３ 【提高練習(xí)】 1、選擇題 （1）已知⊙O1與⊙O２兩條外公切線互相垂直，⊙O1的直徑為5cm，⊙O２的直徑為20cm,則兩圓的一條外公切線長(zhǎng)為（ ） A、5.5cm B、7.5cm C、6.5cm D、12.5cm （2）如圖矩形長(zhǎng)25cm，寬18cm，去掉一個(gè)和三角形相切的⊙A后，剩下的部分能剪出的最大圓的直徑是（ ） A.8cm B.7cm C.6cm D.4cm A 2、填空題 （1）兩圓的半徑分別為17cm,10cm,圓心距為21cm，則兩圓的公切線與連心線交點(diǎn)分別與兩圓圓心的距離是____________. （2）兩圓外切于A點(diǎn)，公切線BC，B、C為切點(diǎn)，則∠BAC=_______. 3、如圖，已知⊙O１與⊙O2 外切于點(diǎn)P，AB為外公切線，切點(diǎn)為A、B，過(guò)點(diǎn)P的內(nèi)公切線交AB于M，直線M O１交⊙O１于點(diǎn)C、D，直線M O2交⊙O2于點(diǎn)E、F，（1）求證：MD⊥MF （2）求證：ΔEMC∽ΔDMF （3）若⊙O１與⊙O2半徑比為16∶9，求 的值。 A M B 【課后反思】