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2019-2020年中考數(shù)學(xué) 課時39 壓軸題復(fù)習(xí)課教案 例1 如圖，已知直線l過點A(0，1)和B(1，0)，P是x軸正半軸上的動點，OP的垂直平分線交l于點Q，交x軸于點M. (1)直接寫出直線l的解析式； (2)設(shè)OP=t，△OPQ的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；并求出當0＜t＜2時，S的最大值； (3)直線l1過點A且與x軸平行，問在l1上是否存在點C， 使得△CPQ是以Q為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點C的坐標，并證明；若不存在，請說明理由. 解：(1)y=1-x l A O M P B x y l1 Q (2)∵ OP=t，∴ Q點的橫坐標為t ①當0＜t＜1，即0＜t＜2時，QM=1-t， ∴ S△OPQ=t(1-t) ②當t≥2時，QM=|1-t|=t-1 ∴ S△OPQ=t(t-1) ∴ 當0＜t＜1，即0＜t＜2時， ∴ 當t=1時，S最大值= l A O P B x y l1 Q C 圖-1 (3)由OA=OB=1，所以△OAB是等腰直角三角形，若在l1上存在點C，使得△CPQ是以Q為直角頂點的等腰直角三角形，則PQ=QC，所以O(shè)Q=QC，又l1∥x軸，則C，O兩點關(guān)于直線l對稱，所以AC=OA=1，得C(1，1). 以下證∠PQC=90： 證明：連CB，則四邊形OACB是正方形. ①當點P在線段OB上，Q在線段AB上 (Q與B不重合)時，如圖-1. 由對稱性，得∠BCQ=∠QOP，∠QPO=∠QOP ∴ ∠QPB+∠QCB=∠QPB+∠QPO=180 ∴ ∠PQC=360-(∠QPB+∠QCB+∠PBC)=90 ②當點P在線段OB的延長線上，如圖-2、圖-3. ∵ ∠QPB=∠QCB，∠1=∠2 ∴ ∠PQC=∠PBC=90 ③當點Q與點B重合時，顯然∠PQC=∠PBC=90 綜合所述∠PQC=90 ∴ 在l1上存在點C(1，1)，使得△CPQ是以Q為直角頂點的等腰直角三角形. y l A O P B x l1 圖-3 Q C 2 1 l A O P B x l1 圖-2 Q C 2 1 y 例2 如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為(-2，0)，線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120后得到線段OB. (1)直接寫出點B的坐標； (2)求經(jīng)過A、O、B三點的拋物線的解析式； (3)在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△BOC的周長最??？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由. (4)如果點P是(2)中的拋物線上的動點，且在x軸的下方，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標及△PAB的最大面積；若沒有，請說明理由. B A O y x 解：(1)點B的坐標(1，) (2)設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x+2) 把B(1，)代入得=a1(1+2) 解得a= ∴ C B A O y x (3)如圖，拋物線的對稱軸是直線x=-1，當點C位于對稱軸與線段AB的交點時，△BOC的周長最小. 設(shè)直線AB為y=kx+b ∴ ，解得 ∴ 直線AB為 D B A O y x P 當x=-1時，， ∴ 點C的坐標為(-1，) （4）如圖，過P作y軸的平行線交AB于D. 當x=-時，△PAB的面積的最大值為，此時P(-，). 例3 如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y=-2x-8分別與x軸，y軸相交于A，B兩點，點P(0，k)是y軸的負半軸上的一個動點，以P為圓心，3為半徑作⊙P. (1)連接PA，若PA=PB，試判斷⊙P與x軸的位置關(guān)系，并說明理由； (2)當k為何值時，以⊙P與直線l的兩個交點和圓心P為頂點的三角形是正三角形？ 解：(1)⊙P與x軸相切. ∵ 直線y=-2x-8與x軸交于A(4，0)，與y軸交于B(0，-8). ∴ OA=4，OB=8 由題意得，OP=-k ∴ PB=PA=8+k 在Rt△AOP中，OA=4，OP=-k，PA=8+k ∴ k2+42=(8+k)2 解得k=-3 ∴ OP等于⊙P的半徑 ∴ ⊙P與x軸相切 (2)設(shè)⊙P1與直線l交于C，D兩點，連接P1C，P1D， 當圓心P1在線段OB上時，作P1E⊥CD于E. ∵ △P1CD為正三角形 ∴ DE=CD=，P1D=3， ∴ P1E= ∵ ∠AOB=∠P1EB=90， ∠ABO=∠P1BE ∴ △AOB∽△P1EB， ∴ ，即 ∴ P1B= ∴ P1O=BO-P1B=8- ∴ P1(0，-8) ∴ 當圓心P2在線段OB延長線上時， 同理可得P2(0，--8) ∴ k=--8 ∴ 當k=-8或k=--8時，以⊙P與直線l的兩個交點和圓心P為頂點的三角形是正三角形. 例4 當x=2時，拋物線y＝ax2+bx+c取得最小值-1，并且拋物線與y軸交于點C(0，3)，與x軸交于點A、B. (1)求該拋物線的關(guān)系式； (2)若點M(x，y1)，N(x+1，y2)都在該拋物線上，試比較y1與y2的大??； A B C D O x y E F 3 (3)D是線段AC的中點，E為線段AC上一動點(A、C兩端點除外)，過點E作y軸的平行線EF與拋物線交于點F．問：是否存在△DEF與△AOC相似？若存在，求出點E的坐標；若不存在，則說明理由． 解：(1)由題意可設(shè)拋物線的關(guān)系式為y=a(x-2)2-1 ∵ 點C(0，3)在拋物線上 ∴ 3= a(0-2)2-1，解得a=1 ∴ 拋物線的關(guān)系式為y=(x-2)2-1=x2-4x+3 (2)∵ 點M(x，y1)，N(x+1，y2)都在該拋物線上 ∴ y1-y2=(x2-4x+3)-[(x+1)2-4(x+1)+3]=3-2 x 當3-2 x＞0，即時，y1＞y2 當3-2 x=0，即時，y1=y2 當3-2 x＜0，即時，y1＜y2 (3)令y=0，即x2-4x+3=0，解得x1=3，x2=1 ∴ A(3，0)，B(1，0) ∴ D(，) ∴ 直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+3 因為△AOC是等腰直角三角形，所以，要使△DEF與△AOC相似，△DEF也必須是等腰直角三角形．由于EF∥OC，因此∠DEF=45，所以，在△DEF中只可能以點D、F為直角頂點. ①當F為直角頂點時，DF⊥EF，此時△DEF∽△ACO，DF所在直線為y= 由x2-4x+3=，解得x1=，x2=＞3 (舍去) 將x=代入y=-x+3，解得y= ∴ E(，) ②當D為直角頂點時，DF⊥AC，此時△DEF∽△OAC，由于點D為線段AC的中點，因此，DF所在直線過原點O，其關(guān)系式為y=x. 由x2-4x+3=x，解得x1=，x2=＞3 (舍去) 將x=代入y=-x+3，解得y= ∴ E(，) A B C D O x y E F 3 圖① A B C D O x y E F 3 圖② 例5 如圖，已知拋物線與x軸交于A(-1，0)、E(3，0)兩點，與y軸交于點B(0，3). (1)求拋物線的解析式； (2)設(shè)拋物線頂點為D，求四邊形ABDE的面積； (3)△AOB與△DBE是否相似？如果相似，請給以證明；如果不相似，請說明理由。 解：(1)∵ 拋物線與y軸交于點(0，3) ∴ 設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+3(a≠0) 根據(jù)題意，得，解得 ∴ 拋物線的解析式為y=-x2+2x+3 (2)設(shè)對稱軸與x軸的交點為F 由y=-x2+2x+3得頂點D的坐標為(1，4) ∴ S四邊形ABDE=S△ABO+S梯形BOFD+SDFE =AOBO+(BO+DF)OF+EFDF =13+(3+4)1+24 =9 (3)△AOB∽△DBE 證明：連接BE，作BG⊥DF，則BG=DG=1= ∴ BD===， BE===3 DE===2 ∵ BD2+BE2=20，DE2=20 ∴ BD2+BE2=DE2 ∴ △BDE是直角三形 ∴ ∠AOB=∠DBE=90，且== ∴ △AOB∽△DBE 例6 如圖，已知拋物線經(jīng)過坐標原點O和x軸上另一點E，頂點M的坐標為(2，4)，矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3. (1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式； (2)將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖①所示的位置沿x軸的正方向勻速平行 移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發(fā)向B勻速移動，設(shè)它們運動的時間為t秒 (0≤t≤3)，直線AB與該拋物線的交點為N(如圖②所示). ①當t=時，判斷點P是否在直線ME上，并說明理由； ②設(shè)以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S，試問S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由． 解：(1)由題意，可設(shè)拋物線關(guān)系式為y=a(x-2)2+4 ∵ 拋物線經(jīng)過O(0，0) ∴ 有a(0-2)2+4=0，解得a=-1 ∴ 該拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-(x-2)2+4，即y=-x2+4x (2)① 點P不在直線ME上. 理由如下： 根據(jù)拋物線的對稱性可知E點的坐標為(4，0) 又M的坐標為(2，4)，設(shè)直線ME的關(guān)系式為y=kx+b. ∴ ，解得 ∴ 直線ME的關(guān)系式為y=-2x+8 由已知條件易得，當t=時，OA=AP= ∴ P(，) ∵ P點的坐標不滿足直線ME的關(guān)系式y(tǒng)=-2x+8 ∴ 當t=時，點P不在直線ME上. ② S存在最大值. 理由如下： ∵ 點A在x軸的非負半軸上，且N在拋物線上 ∴ OA=AP=t ∴ 點P、N的坐標分別為(t，t)、(t，-t 2+4t) ∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) ∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3t=t(3-t)≥0 ∴ PN=-t 2+3t ㈠當PN=0，即t=0或t=3時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是三角形，此三角形的高為AD. ∴ S=CDAD=32=3 ㈡當PN≠0時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是四邊形 ∵ PN∥CD，AD⊥CD ∴ S=(CD+PN)AD=[3+(-t 2+3t)]2=-t 2+3t+3=-(t-)2+ (0＜t＜3) ∵ a=-1，0＜＜3 ∴ 當t=時，S最大= 綜上所述，當t=時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形面積有最大值，這個最大值為.