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北師版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第1章《勾股定理》 考點(diǎn)一：勾股定理 1.（xx?濱州）在直角三角形中，若勾為3，股為4，則弦為（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】直接根據(jù)勾股定理求解即可． 【解答】解：∵在直角三角形中，勾為3，股為4，∴弦的平方為32+42=25，弦長(zhǎng)為5． 故選：A． 2.（xx?模擬）如圖，兩個(gè)較大正方形的面積分別為225，289，則字母A所代表的正方形的面積為（　?。? A．4 B．8 C．16 D．64 【分析】根據(jù)正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方，由正方形PQED的面積和正方形PRQF的面積分別表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR為直角三角形，根據(jù)勾股定理求出QR的平方，即為所求正方形的面積． 【解答】解：∵正方形PQED的面積等于225，∴即PQ2=225， ∵正方形PRGF的面積為289，∴PR2=289， 又△PQR為直角三角形，根據(jù)勾股定理得：PR2=PQ2+QR2， ∴QR2=PR2﹣PQ2=289﹣225=64，則正方形QMNR的面積為64． 故選：D． 3.（xx?模擬）如圖，小明將一張長(zhǎng)為20cm，寬為15cm的長(zhǎng)方形紙（AE＞DE）剪去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，則剪去的直角三角形的斜邊長(zhǎng)為（　?。? A．5cm B．12cm C．16cm D．20cm 【分析】解答此題只要把原來(lái)的圖形補(bǔ)全，構(gòu)造出直角三角形解答． 【解答】解：延長(zhǎng)AB、DC相交于F，則BFC構(gòu)成直角三角形， 運(yùn)用勾股定理得：BC2=（15﹣3）2+（20﹣4）2=122+162=400，所以BC=20． 則剪去的直角三角形的斜邊長(zhǎng)為20cm．故選：D． 4.（xx?模擬）如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分∠BAC，AB=5，BC=6，則AD=（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】先判定△ABC為等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)可求得BD，在Rt△ABD中利用勾股定理可求得AD的長(zhǎng)． 【解答】解：∵∠B=∠C，∴AB=AC， ∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD=BC=3， 在Rt△ABD中，AB=5，BD=3，∴AD=4， 故選：B． 考點(diǎn)二：勾股定理得證明 1.（xx?瀘州）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b．若ab=8，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長(zhǎng)為（　?。? A．9 B．6 C．4 D．3 【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a﹣b，根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出小正方形的邊長(zhǎng)． 【解答】解：由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a﹣b， ∵每一個(gè)直角三角形的面積為：ab=8=4，∴4ab+（a﹣b）2=25， ∴（a﹣b）2=25﹣16=9，∴a﹣b=3， 故選：D． 2.（xx?期中）如圖是著名的趙爽弦圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形拼成，每個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c，請(qǐng)你用它驗(yàn)證勾股定理． 【分析】通過(guò)圖中小正方形面積證明勾股定理． 【解答】解：S小正方形=（b﹣a）2=b2﹣2ab+a2，另一方面S小正方形=c2﹣4ab=c2﹣2ab， 即b2﹣2ab+a2=c2﹣2ab，∴a2+b2=c2． 3.（xx?期中）如圖：在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠C=90，∠D=90，AC=BD=a，BC=DE=b，AB=BE=c，試?yán)脠D形證明勾股定理． 【分析】由圖知，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積之和，用字母表示出來(lái)，化簡(jiǎn)后，即證明勾股定理． 【解答】證明：∵∠C=90，∠D=90，AC=BD=a，BC=DE=b，AB=BE=c， ∵Rt△ACB≌Rt△BDE，∴∠ABC=∠BED，∠BAC=∠EBD， ∵∠ABC+∠DBE=90，∴∠ABE=90， 三個(gè)Rt△其面積分別為ab，ab和c2． 直角梯形的面積為（a+b）（a+b）． 由圖形可知：（a+b）（a+b）=ab+ab+c2， 整理得（a+b）2=2ab+c2，a2+b2+2ab=2ab+c2， ∴a2+b2=c2． 4.（xx?模擬）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時(shí)，都可以用“面積法”來(lái)證明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過(guò)程： 將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB=90，求證：a2+b2=c2 證明：連結(jié)DB，過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DF，則DF=EC=b﹣a ∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab． 又∵S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）， ∴b2+ab=c2+a（b﹣a）， ∴a2+b2=c2． 請(qǐng)參照上述證法，利用圖2完成下面的證明． 將兩個(gè)全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB=90．求證：a2+b2=c2． 【分析】首先連結(jié)BD，過(guò)點(diǎn)B作DE邊上的高BF，則BF=b﹣a，表示出S五邊形ACBED，兩者相等，整理即可得證． 【解答】證明：連結(jié)BD，過(guò)點(diǎn)B作DE邊上的高BF，則BF=b﹣a， ∵S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab， 又∵S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a）， ∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2． 考點(diǎn)三：勾股定理的逆定理 1.（xx?南通）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成直角三角形的是（　?。? A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12 【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．最長(zhǎng)邊所對(duì)的角為直角．由此判定即可． 【解答】解：A、∵32+42=52，∴三條線段能組成直角三角形，故A選項(xiàng)正確； B、∵22+32≠42，∴三條線段不能組成直角三角形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、∵42+62≠72，∴三條線段不能組成直角三角形，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、∵52+112≠122，∴三條線段不能組成直角三角形，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選：A． 2.（xx?模擬）如圖，長(zhǎng)為8cm的橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和B，然后把中點(diǎn)C向上拉升3cm至D點(diǎn)，則橡皮筋被拉長(zhǎng)了（　?。? A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【分析】根據(jù)勾股定理，可求出AD、BD的長(zhǎng)，則AD+BD﹣AB即為橡皮筋拉長(zhǎng)的距離． 【解答】解：Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm； 根據(jù)勾股定理，得：AD2=AC2+CD2=25，CD=5cm； ∴AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=10﹣8=2cm；故橡皮筋被拉長(zhǎng)了2cm． 故選：A． 3.（xx?期中）下列各組數(shù)中，不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（　?。? A．1.5，2，3 B．6，8，10 C．5，12，13 D．15，20，25 【分析】只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可判斷三角形是不是直角三角形，據(jù)此進(jìn)行判斷． 【解答】解：A、（1.5）2+22≠32，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意； B、62+82=100=102，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意； C、52+122=169=132，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意； D、152+202=252，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意； 故選：A． 4.（xx?期末）滿足下列條件的△ABC，不是直角三角形的是（　?。? A．b2﹣c2=a2 B．a(chǎn)：b：c=3：4：5 C．∠C=∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C=9：12：15 【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、勾股定理的逆定理對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行計(jì)算即可． 【解答】解：A.b2﹣c2=a2，則b2=a2+c2，△ABC是直角三角形； B.a：b：c=3：4：5，設(shè)a=3x，b=4x，c=5x，a2+b2=c2，△ABC是直角三角形； C.∠C=∠A﹣∠B，則∠B=∠A+∠C，∠B=90，△ABC是直角三角形； D.∠A：∠B：∠C=9：12：15，設(shè)∠A、∠B、∠C分別為9x、12x、15x，則9x+12x+15x=180，解得，x=5，則∠A、∠B、∠C分別為45，60，75，△ABC不是直角三角形； 故選：D． 5.（xx?期中）已知△ABC的三邊分別是6，8，10，則△ABC的面積是（　?。? A．24 B．30 C．40 D．48 【分析】因?yàn)椤鰽BC的三邊分別是6，8，10，根據(jù)勾股定理的逆定理可求出此三角形為直角三角形，根據(jù)三角形面積公式可求出面積． 【解答】解：∵62+82=102，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面積=68=24． 故選：A． 6.（xx?期中）已知△ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，滿足a+b=10，ab=18，c=8，則此三角形為 三角形． 【分析】對(duì)原式進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)三邊的關(guān)系符合勾股定理的逆定理，從而可判定其形狀． 【解答】解：∵a+b=10，ab=18，c=8， ∴（a+b）2﹣2ab=100﹣36=64，c2=64， ∴a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形． 故答案為：直角． 7.（xx?期末）觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律： ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25； ④9，40，41；… 請(qǐng)你寫出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù)： ． 【分析】勾股定理和了解數(shù)的規(guī)律變化是解題關(guān)鍵． 【解答】解：從上邊可以發(fā)現(xiàn)第一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，且逐步遞增2， 故第5組第一個(gè)數(shù)是11，又發(fā)現(xiàn)第二、第三個(gè)數(shù)相差為一， 故設(shè)第二個(gè)數(shù)為x，則第三個(gè)數(shù)為x+1， 根據(jù)勾股定理得：112+x2=（x+1）2，解得x=60， 則得第5組數(shù)是：11、60、61． 故答案為：11、60、61． 8.（xx?期中）如圖，△ABC中，D是BC上的一點(diǎn)，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面積． 【分析】根據(jù)AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求證△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)，然后利用三角形面積公式即可得出答案． 【解答】解：∵BD2+AD2=62+82=102=AB2， ∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC， 在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=225，CD=15， ∴S△ABC=BC?AD=（BD+CD）?AD=218=84， 因此△ABC的面積為84． 答：△ABC的面積是84． 考點(diǎn)四：勾股定理的應(yīng)用 1.（xx?期末）如圖：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，則CE2+CF2等于（　?。? A．75 B．100 C．120 D．125 【分析】根據(jù)角平分線的定義推出△ECF為直角三角形，然后根據(jù)勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，進(jìn)而可求出CE2+CF2的值． 【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90， ∴△EFC為直角三角形， 又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF， ∴CM=EM=MF=5，EF=10， 由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100． 故選：B． 2.（xx?模擬）一根高9m的旗桿在離地4m高處折斷，折斷處仍相連，此時(shí)在3.9m遠(yuǎn)處耍的身高為1m的小明（　?。? A．沒(méi)有危險(xiǎn) B．有危險(xiǎn) C．可能有危險(xiǎn) D．無(wú)法判斷 【分析】由勾股定理求出BC=4＞3.9，即可得出結(jié)論． 【解答】解：如圖所示：AB=9﹣4=5，AC=4﹣1=3， 由勾股定理得：BC=4＞3.9，∴此時(shí)在3.9m遠(yuǎn)處耍的身高為1m的小明有危險(xiǎn)， 故選：B． 3.（xx?模擬）如圖所示，在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB=32cm，把長(zhǎng)方形紙片沿AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交DC于點(diǎn)F，AF=25cm，則AD的長(zhǎng)為（　　） A．16cm B．20cm C．24cm D．28cm 【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)證明∠EAC=∠DCA，根據(jù)等角對(duì)等邊證明FC=AF，則DF即可求得，然后在直角△ADF中利用勾股定理求解． 【解答】解：∵長(zhǎng)方形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA， 又∵∠BAC=∠EAC，∴∠EAC=∠DCA，∴FC=AF=25cm， 又∵長(zhǎng)方形ABCD中，DC=AB=32cm， ∴DF=DC﹣FC=32﹣25=7cm， 在直角△ADF中，AD=24（cm）． 故選：C． 4.（xx?湘潭）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題是：如圖所示，△ABC中，∠ACB=90，AC+AB=10，BC=3，求AC的長(zhǎng)，如果設(shè)AC=x，則可列方程為 ． 【分析】設(shè)AC=x，可知AB=10﹣x，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論． 【解答】解：設(shè)AC=x，∵AC+AB=10，∴AB=10﹣x． ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90， ∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2． 故答案為：x2+32=（10﹣x）2． 5.（xx?包頭）如圖，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1，則△ABC邊AC上的高BD的長(zhǎng)為　　 ． 【分析】根據(jù)網(wǎng)格，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，AB的長(zhǎng)，以及AB邊上的高，利用三角形面積公式求出三角形ABC面積，而三角形ABC面積可以由AC與BD乘積的一半來(lái)求，利用面積法即可求出BD的長(zhǎng)． 【解答】解：根據(jù)勾股定理得：AC=5， 由網(wǎng)格得：S△ABC=24=4，且S△ABC=AC?BD=5BD， ∴5BD=4，解得：BD=． 故答案為： 6.（xx?黃岡）如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長(zhǎng)為32cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為 cm（杯壁厚度不計(jì)）． 【分析】將杯子側(cè)面展開(kāi)，建立A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B的長(zhǎng)度即為所求． 【解答】解：如圖： 將杯子側(cè)面展開(kāi)，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′， 連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B2=A′D2+BD2=400，A′B=20（cm）． 故答案為20． 7.（xx?期中）在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：“今有池方兩丈，葭生其中央，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？”這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的意思是說(shuō)：“有一個(gè)水池是邊長(zhǎng)為2丈（1丈=10尺） 的正方形，在水池正中央長(zhǎng)有一根蘆葦，蘆葦露出水面2尺．如果把這根蘆葦拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面．請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？”答：這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是 ． 【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理可得x2+（）2=（x+1）2，再解答即可． 【解答】解；設(shè)水深為x尺，則蘆葦長(zhǎng)為（x+1）尺， 根據(jù)勾股定理得：x2+（）2=（x+1）2，解得：x=12， 蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度=x+1=12+1=13（尺）， 答：水池深12尺，蘆葦長(zhǎng)13尺． 故答案是：12尺；13尺． 8.（xx?期中）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90，AB=3，BC=4，將△ABC折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上，與點(diǎn)B′重合，AE為折痕，求EB′的長(zhǎng)． 【分析】根據(jù)折疊得到BE=EB′，AB′=AB=3，設(shè)BE=EB′=x，則EC=4﹣x，根據(jù)勾股定理求得AC的值，再由勾股定理可得方程x2+22=（4﹣x）2，再解方程即可算出答案． 【解答】解：根據(jù)折疊可得BE=EB′，AB′=AB=3， 設(shè)BE=EB′=x，則EC=4﹣x， ∵∠B=90，AB=3，BC=4， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=5，∴B′C=5﹣3=2， 在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22=（4﹣x）2， 解得x=1.5．