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知識點(diǎn)21 二次函數(shù)在實(shí)際生活中應(yīng)用
一、選擇題
1. （xx北京，7，2）跳臺滑雪是冬季奧運(yùn)會比賽項(xiàng)目之一．運(yùn)動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，運(yùn)動員起跳后的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．下圖記錄了某運(yùn)動員起跳后的x和y的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出該運(yùn)動員起跳后飛行到最高點(diǎn)時，水平距離為 （ ）
A．10m B．15m C．20m D．22.5m
【答案】B．
【解析】解法一：設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋c，由題意得，解得，從而對稱軸為直線x＝－＝－＝15，故選B．
解法二：將圖上三個點(diǎn)(0，54)，(20，57.9)，(40，46.2)用光滑的曲線順次連接起來，會發(fā)現(xiàn)對稱軸位于直線x＝20的左側(cè)，非?？拷本€x＝20，因此從選項(xiàng)中可知對稱軸為直線x＝15，故選B．
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)圖像的性質(zhì)；二次函數(shù)的簡單應(yīng)用；二次函數(shù)解析式的求法；數(shù)形結(jié)合思想
二、填空題
1. （xx四川綿陽，16，3分） 右圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時，水面寬4m，水面下降2m，水面寬度增加 m.
【答案】4-4
【解析】解：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸x通過AB，縱軸y通過AB中點(diǎn)O且通過C點(diǎn)，則通過畫圖可得知O為原點(diǎn)，
拋物線以y軸為對稱軸，且經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，OA和OB可求出為AB的一半2米，拋物線頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2），
通過以上條件可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax2+2，其中a可通過代入A點(diǎn)坐標(biāo)（-2，0），
到拋物線解析式得出：a=-0.5，所以拋物線解析式為y=-0.5x2+2，
當(dāng)水面下降2米，通過拋物線在圖上的觀察可轉(zhuǎn)化為：
當(dāng)y=-2時，對應(yīng)的拋物線上兩點(diǎn)之間的距離，也就是直線y=-2與拋物線相交的兩點(diǎn)之間的距離，
可以通過把y=-2代入拋物線解析式得出：-2=-0.5x2+2，
解得：x=2，故水面此時的寬度為4，比原先增加了4-4.
故答案為4-4.
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用
三、解答題
1. （xx山東濱州，23，12分） 如圖，一小球沿與地面成一定角度的方向飛出，小球的飛行路線是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度y（單位：m）與飛行時間x（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系y＝－5x＋20x，請根據(jù)要求解答下列問題：
（1）在飛行過程中，當(dāng)小球的飛行高度為15m時，飛行的時間是多少？
（2）在飛行過程中，小球從飛出到落地所用時間是多少？
（3）在飛行過程中，小球飛行高度何時最大？最大高度是多少？
第23題圖
【思路分析】本題主要考查了二次函數(shù)的函數(shù)值及最值在實(shí)際問題中的應(yīng)用，解答關(guān)鍵是將實(shí)際問題中的相關(guān)條件轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)中的相應(yīng)數(shù)值再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．
（1）小球飛行高度為15m，即y＝－5x＋20x中y的值為15，解方程求出x的值，即為飛行時間；
（2）小球飛出時和落地時的高度為0，據(jù)此可以得出0＝－5x＋20x，求出x的值，再求差即可；
（3）求小球飛行高度何時最大？最大高度是多少？即求x為何值時，二次函數(shù)有最大值，最大值是多少？
【解題過程】（1）當(dāng)y＝15時有－5x＋20x ＝15，化簡得x－4x＋3＝0因式分解得（x－1）（x－3）＝0，故x＝1或3，即飛行時間是1秒或者3秒
（2）飛出和落地的瞬間，高度都為0，故y＝0．所以有0＝－5x＋20x，解得x＝0或4，所以從飛出到落地所用時間是4－0＝4秒
（3）當(dāng)x＝＝＝2時，小球的飛行高度最大，最大高度為20米.
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)及最值
2. （xx浙江衢州，第23題，10分）某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心3米處達(dá)到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合，如圖所示，以水平方向?yàn)閤軸，噴水池中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。
（1）求水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式；
（2）王師傅在水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內(nèi)？
（3）經(jīng)檢修評估，游樂園決定對噴水設(shè)施做如下設(shè)計(jì)改進(jìn)；在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴(kuò)大到32米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物（高度不變）處匯合，請?zhí)骄繑U(kuò)建改造后水熱水柱的最大高度。
【思路分析】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，包括建立直角坐標(biāo)系待定系數(shù)法求解析式，正確把握拋物線圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。
（1）利用待定系數(shù)法，已知頂點(diǎn)、與x軸交點(diǎn)為（8,0）。根據(jù)拋物線的對稱性也得另一交點(diǎn)（-2，0），從而列方程組解得即可。
（2）根據(jù)上題中解得的解析式，令y的值為1.8，求得x的值，再根據(jù)對稱性確定范圍。（3）因形狀不變，故拋物線的a值不變，又因裝飾物高度不變，故與y軸的交點(diǎn)也不變，且與x軸的交點(diǎn)為（16,0），利用待定系數(shù)法可求得。
【解題過程】（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為（3，5），∴設(shè)y=a (x-3)2+5，
將（8，0）代入的a=，
∴y=(x-3)2+5，或者y=（0
0,BC≤18
∴9≤x<36
(2)由上問可知y=-2x2+36x（9≤x<36）
當(dāng)y=160時
-2x2+36x=160
解得x1=10,x2=8
∵9≤x<36
∴x=10
即AB=10m.
（3）解：設(shè)甲為a,乙為b,則丙為400-a-b(a、b為整數(shù))
由題意可得：14a+16b+28(400-a-b)=8600.
即7a+6b=1300
由（1）得，a的最大值為184
此時丙最多214株
用地面積（184+2.4）0.4+21=161.2
y=x(36-2x), 當(dāng)x=9時,y最大值為162
∴這批植物可以全部栽種到這塊空地上
【知識點(diǎn)】方程、不等式、
8. （xx湖北荊門，22，10分）隨著龍蝦節(jié)的火熱舉辦，某龍蝦養(yǎng)殖大戶為了發(fā)揮技術(shù)優(yōu)勢，一次性收購了小龍蝦，計(jì)劃養(yǎng)殖一段時間后再出售.已知每天養(yǎng)殖龍蝦的成本相同，放養(yǎng)天的總成本為，放養(yǎng)天的總成本為元.設(shè)這批小龍蝦放養(yǎng)天后的質(zhì)量為，銷售單價為元/，根據(jù)往年的行情預(yù)測，與的函數(shù)關(guān)系為，與的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
（1）設(shè)每天的養(yǎng)殖成本為元，收購成本為元，求與的值；
（2）求與的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如果將這批小龍蝦放養(yǎng)天后一次性出售所得利潤為元.問該龍蝦養(yǎng)殖大戶將這批小龍蝦放養(yǎng)多少天后一次性出售所得利潤最大？最大利潤是多少？
（總成本=放養(yǎng)總費(fèi)用+收購成本；利潤=銷售總額-總成本）
【思路分析】（1）根據(jù)放養(yǎng)天的總成本為，放養(yǎng)天的總成本為元可得，解出m和n的值即可；
（2）當(dāng)0≤t≤20時，設(shè)，將（0，16）和（20，28）代入即可得出解析式，當(dāng)20＜t≤50時，設(shè) ，將（20，28）和（50，22）代入即可得出解析式；
（3）根據(jù)題意可得當(dāng)0≤t≤20時，W=5400t，當(dāng)20＜t≤50時，W=-20(t-25)2+108500，進(jìn)而得出W的最大值.
【解題過程】解：（1）依題意，得，解得.
（2） 當(dāng)0≤t≤20時，設(shè)，由圖象得：，解得，
∴.
當(dāng)20＜t≤50時，設(shè) ，由圖象得：，解得，
∴
綜上，.
（3） W=ya-mt-n
當(dāng)0≤t≤20時，W=10000()-600t-160000=5400t
∵5400＞0，
∴當(dāng)t=20時，W最大=540020=10800
當(dāng)20＜t≤50時，W=（）（100t+8000）-600t-160000=-20t2+1000t+96000=-20(t-25)2+108500
∵-20＜0，拋物線開口向下，
∴當(dāng)t=25時，W最大=108500，
∵108500＞108000，
∴當(dāng)t=25時，W取最大值，該最大值為108500元.
【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值
9.（xx河南，21，10分）某公司推出一款產(chǎn)品,經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品的日銷售量（個）與銷售單價（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系．關(guān)于銷售單價, 日銷售量, 日銷售利潤的幾組對應(yīng)值如下表：
銷售單價x（元）
85
95
105
115
日銷售量（個）
175
125
75
m
日銷售利潤（元）
875
1875
1875
875
（注：日銷售利潤 = 日銷售量 （銷售單價 - 成本單價））
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式(不要求寫出x的取值范圍)及m的值；
（2）根據(jù)以上信息,填空：
該產(chǎn)品的成本單價是 元．當(dāng)日銷售單價= 元時,日銷售利潤最大,最大值是 元；
（3）公司計(jì)劃開展科技創(chuàng)新,以降低該產(chǎn)品的成本. 預(yù)計(jì)在今后的銷售中,日銷售量與銷售單價仍存在（1）中的關(guān)系.若想實(shí)現(xiàn)銷售單價為90元時,日銷售利潤不低于3750元的銷售目標(biāo),該產(chǎn)品的成本單價應(yīng)不超過多少元?
【思路分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，建立二次函數(shù)模型解決最值問題，列不等式組解決實(shí)際問題等知識。
（1）根據(jù)表格中的信息利用待定系數(shù)法，直接計(jì)算可得；
（2）根據(jù)給出的公式“日銷售利潤 = 日銷售量 （銷售單價 - 成本單價）”帶入一組數(shù)據(jù)求出成本單價，進(jìn)而列出二次函數(shù)的解析式；
（3）根據(jù)日銷售利潤不低于3750元，列出不等式，經(jīng)過計(jì)算，可求出當(dāng)日銷售利潤不低于3750元的銷售目標(biāo)時,該產(chǎn)品的成本單價的范圍。
【解題過程】（1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為,
由題意得 解得
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為 ………………………………3分
當(dāng)時, ……………………………………4分
（2） ………………………………………………………………7分
（3）設(shè)該產(chǎn)品的成本單價為a元，
由題意得
解得．
答：該產(chǎn)品的成本單價應(yīng)不超過65元．…………………………………10分
【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的最值、不等式的應(yīng)用
10. （xx湖北省襄陽市，23，10分） 襄陽市精準(zhǔn)扶貧工作已進(jìn)入攻堅(jiān)階段.貧困戶張大爺在某單位的幫扶下，把一片坡地改造后種植了優(yōu)質(zhì)水果藍(lán)莓，今年正式上市銷售.在銷售的30天中，第一天賣出20千克，為了擴(kuò)大銷量，采取了降價措施，以后每天比前一天多賣出4千克.第x天的售價為y元/千克，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為且第12天的售價為32元/千克，第26天的售價為25元/千克.已知種植銷售藍(lán)莓的成本是18元/千克，每天的利潤是W元(利潤=銷售收入一成本)
(1)m= ▲ ；n= ▲ ；
(2)求銷售藍(lán)莓第幾天時，當(dāng)天的利潤最大?最大利潤是多少?
(3)在銷售藍(lán)莓的30天中，當(dāng)天利潤不低于870元的共有多少天?
【思路分析】一次函數(shù)、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，重點(diǎn)考查學(xué)生建模能力，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題。同時考查了利用函數(shù)求最值，利用函數(shù)圖象解不等式等知識點(diǎn)，對于學(xué)生建模能力有較高要求，同時需要學(xué)生的計(jì)算非常準(zhǔn)確.
（1） 將x=12，y=32和x=26，y=25分別代入y=mx-76m即可求出m，n的值；
（2） 由（1）可知，再根據(jù)“利潤=銷售收入一成本”列出利潤W與x的函數(shù)關(guān)系式，分別利用二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算最大值，比較兩種情況下的最大值即為得出答案；
（3） 根據(jù)二次函數(shù)、一次函數(shù)圖象的增減性確定利潤不低于870元時x的取值范圍，找出取值范圍內(nèi)的正整數(shù)解的個數(shù)即為答案.
【解題過程】解：（1）m=，n=25.
理由如下：把x=12，y=32代入y=mx-76m得，12m-76m=32
解得，m=.
把x=26，y=25代入y=n得，n=25.
故答案為 25；
（2）第x天的銷售量為20+4(x-1)=4x+16.
當(dāng)1≤x＜20時，W=(4x+16)(x+38-18)
=-2x2+72x+320
=-2(x-18)2+968.
∴當(dāng)x=18時，W最大值=968.
當(dāng)20≤x≤30時，W=(4x+16)(25-18)=28x+112.
∵k=28＞0，
∴W隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=30時，W最大值=952.
∵968＞952，
∴當(dāng)x=18時，W最大值=968元.
即第18天當(dāng)天的利潤最大，最大利潤為968元.
（3）當(dāng)1≤x＜20時，令-2x2+72x+320=870，
解得，x1=25，x2=11.
∵拋物線W=-2x2+72x+320的開口向下，
∴11≤x≤25時，W≥870.
∴11≤x＜20.
∵x為正整數(shù)，
∴有9天利潤不低于870元.
當(dāng)20≤x≤30時，令28x+112≥870，
解得，x≥.
∴≤x≤30.
∵x為整數(shù)，
∴有3天利潤不低于870元.
綜上所述，當(dāng)天利潤不低于870元的共有12天.
【知識點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用
11. （xx四川涼山州，27，14分）結(jié)合西昌市創(chuàng)建文明城市要求，某小區(qū)業(yè)主委員會決定把一塊長80m，寬60m的矩形空地建成花園小廣場，設(shè)計(jì)方案如圖所示，陰影區(qū)域?yàn)榫G化區(qū)（四塊綠化區(qū)為全等的直角三角形），空白區(qū)域?yàn)榛顒訁^(qū)，且四周出口寬度一樣，其寬度不小于36m，不大于44m，預(yù)計(jì)活動區(qū)造價60元／m2，綠化區(qū)造價50元／m2，設(shè)綠化區(qū)域較長直角邊為xm.
（1）用含x的代數(shù)式表示出口的寬度；
（2）求工程總造價y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍；
（3）如果業(yè)主委員會投資28.4萬元，能否完成全部工程？若能，請寫出x為整數(shù)的所有工程方案；若不能，請說明理由.
（4）業(yè)主委員會決定在（3）設(shè)計(jì)的方案中，按最省錢的一種方案，先對四個綠化區(qū)域進(jìn)行綠化，在實(shí)際施工中，每天比原計(jì)劃多綠化11m2，結(jié)果提前4天完成四個區(qū)域的綠化任務(wù)，問原計(jì)劃每天綠化多少m2.
(第27題圖)
【思路分析】（1）出口的寬度用含x的代數(shù)式表示為（）m；
（2）由出口的寬度得，
又由題可得，小直角三角形的另一條直角邊為(x-10)m
∵
；
（2） 能否完成全部工程，關(guān)鍵看是否有滿足條件的整數(shù)x.
由題得，28.4萬元，
解出x.
（4）
該函數(shù)圖像為拋物線
∴當(dāng)x取最大時，（3）設(shè)計(jì)的方案中最省錢.
此時算出，
設(shè)原計(jì)劃每天綠化a m2.由題得
【解題過程】解：（1）出口的寬度用含x的代數(shù)式表示為（）m；
（2）由題得，
又由題可得，小直角三角形的另一條直角邊為(x-10)m
∵
；
（3）能完成全部工程.
理由：
由題得，28.4萬元，
解得
（4）
該函數(shù)圖像為拋物線
∴（3）設(shè)計(jì)的方案中,當(dāng)x取22時，該方案最省錢.
此時，
設(shè)原計(jì)劃每天綠化a m2.由題得
∴原計(jì)劃每天綠化33 m2.
【知識點(diǎn)】代數(shù)式的表示法，函數(shù)關(guān)系式，不等式組的正整數(shù)解，函數(shù)的最值，用分式方程解決問題.
12. （xx浙江省臺州市，23，12分）
某藥廠銷售部門根據(jù)市場調(diào)研結(jié)果，對該廠生產(chǎn)的一種新型原料藥未來兩年的銷售進(jìn)行預(yù)測，并建立如下模型：設(shè)第個月該原料藥的月銷售量為（單位：噸），與之間存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系，其圖象是函數(shù)的圖象與線段的組合；設(shè)第個月銷售該原料藥每噸的毛利潤為（單位：萬元），與之間滿足如下關(guān)系：
（1）當(dāng)時，求關(guān)于的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)第個月銷售該原料藥的月毛利潤為（單位：萬元）.
①求關(guān)于的函數(shù)解析式；
②該藥廠銷售部門分析認(rèn)為，是最有利于該原料藥可持續(xù)生產(chǎn)和銷售的月毛利潤范圍，求此范圍所對應(yīng)的月銷售量的最小值和最大值.
【思路分析】（1）由函數(shù)圖象可知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，通過待定系數(shù)法構(gòu)造關(guān)于k和b的二元一次方程組，求出k和b的值即可.（2）將t分為三種情況：當(dāng)0
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二次函數(shù)在實(shí)際生活中應(yīng)用
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二次
函數(shù)
實(shí)際
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