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提分專練(四)　二次函數(shù)小綜合 |類型1|　二次函數(shù)與方程(不等式)的綜合 1.已知二次函數(shù)y=x2-2mx+m2+3(m是常數(shù)). (1)求證:不論m為何值,該函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn); (2)把該函數(shù)的圖象沿y軸向下平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到的函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)? |類型2|　二次函數(shù)與直線的綜合 2.[xx北京] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,將點(diǎn)B向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度,得到點(diǎn)C. (1)求點(diǎn)C的坐標(biāo); (2)求拋物線的對(duì)稱軸; (3)若拋物線與線段BC恰有一個(gè)公共點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象,求a的取值范圍. |類型3|　二次函數(shù)與三角形的綜合 3.[xx黃岡] 已知直線l:y=kx+1與拋物線y=x2-4x. (1)求證:直線l與該拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn); (2)設(shè)直線l與該拋物線的兩交點(diǎn)為A,B,O為原點(diǎn),當(dāng)k=-2時(shí),求△OAB的面積. 4.[xx齊齊哈爾] 如圖T4-1,已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,連接BC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)E,D是拋物線的頂點(diǎn). (1)求此拋物線的解析式; (2)直接寫(xiě)出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo); (3)若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上,且S△ABP=4S△COE,求P點(diǎn)坐標(biāo). 注:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為-b2a,4ac-b24a. 圖T4-1 |類型4|　二次函數(shù)與平行四邊形的綜合 5.如圖T4-2,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),直線y=-34x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B和點(diǎn)C,連接AC,頂點(diǎn)為D的拋物線y=ax2+bx+c過(guò)A,B,C三點(diǎn). (1)請(qǐng)直接寫(xiě)出B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo),拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo); (2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸DE交線段BC于點(diǎn)E,P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,交線段BC于點(diǎn)F,若四邊形DEFP為平行四邊形,求點(diǎn)P的坐標(biāo). 圖T4-2 |類型5|　二次函數(shù)與相似三角形的綜合 6.在直角坐標(biāo)系xOy中,A(0,2),B(-1,0),將△ABO經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移等變化后得到如圖T4-3所示的△BCD. (1)求經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn)的拋物線的解析式; (2)連接AC,點(diǎn)P是位于線段BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),若直線PC將△ABC的面積分成1∶3兩部分,求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo). 圖T4-3  參考答案 1.解:(1)證明:證法一:∵(-2m)2-4(m2+3)=-12<0, ∴方程x2-2mx+m2+3=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根. ∴不論m為何值,函數(shù)y=x2-2mx+m2+3的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn). 證法二:∵a=1>0,∴該函數(shù)的圖象開(kāi)口向上. 又∵y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3≥3, ∴該函數(shù)的圖象在x軸的上方. ∴不論m為何值,該函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn). (2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3, 把函數(shù)y=(x-m)2+3的圖象沿y軸向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到函數(shù)y=(x-m)2的圖象,它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(m,0),因此這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn). ∴把該函數(shù)的圖象沿y軸向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到的函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn). 2.解:(1)∵直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B, ∴A(-1,0),B(0,4). ∵將點(diǎn)B向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度,得到點(diǎn)C, ∴C(0+5,4),即C(5,4). (2)∵拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A, ∴a-b-3a=0.∴b=-2a. ∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-b2a=--2a2a=1,即對(duì)稱軸為直線x=1. (3)易知拋物線過(guò)點(diǎn)(-1,0),(3,0). ①若a>0,如圖所示,易知拋物線過(guò)點(diǎn)(5,12a),若拋物線與線段BC恰有一個(gè)公共點(diǎn),滿足12a≥4即可,可知a的取值范圍是a≥13. ②若a<0,如圖所示,易知拋物線與y軸交于(0,-3a),要使該拋物線與線段BC只有一個(gè)公共點(diǎn),就必須-3a>4,此時(shí)a<-43. ③若拋物線的頂點(diǎn)在線段BC上,此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),從而解析式為y=a(x-1)2+4,將A(-1,0)代入,解得a=-1,如圖所示: 綜上,a的取值范圍是a≥13或a<-43或a=-1. 3.解:(1)證明:聯(lián)立兩個(gè)函數(shù),得x2-4x=kx+1,即x2-(4+k)x-1=0,其中Δ=(4+k)2+4>0,所以該一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,即直線l與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn). (2)如圖,連接AO,BO,聯(lián)立兩個(gè)函數(shù),得x2-4x=-2x+1,解得x1=1-2,x2=1+2.設(shè)直線l與y軸交于點(diǎn)C,在一次函數(shù)y=-2x+1中,令x=0,得y=1,所以C(0,1),OC=1. 所以S△ABO=S△AOC+S△BOC=12OC|xA|+12OC|xB|=12OC|xA-xB|=12122=2. 4.解:(1)∵拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(3,0), ∴-1-b+c=0,-9+3b+c=0,解得b=2,c=3, ∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3. (2)∵x=0時(shí),y=3,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3). ∵y=-x2+2x+3=-(x2-2x+1)+4=-(x-1)2+4, ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4). (3)設(shè)點(diǎn)P(x,y),其中x>0,y>0, ∵S△COE=1231=32,S△ABP=124y=2y, S△ABP=4S△COE, ∴2y=432,∴y=3. ∴-x2+2x+3=3, 解得x=2(x=0舍去). ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3). 5.解:(1)B(4,0),C(0,3). 拋物線的解析式為y=-38x2+34x+3. 頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為1,278. (2)把x=1代入y=-34x+3,得y=94, ∴DE=278-94=98. ∵點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為m,-38m2+34m+3, 則點(diǎn)F的坐標(biāo)為m,-34m+3. 若四邊形DEFP為平行四邊形,則PF=DE, ∴-38m2+34m+3--34m+3=98, 解得m1=3,m2=1(不合題意,舍去). ∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為3,158時(shí),四邊形DEFP為平行四邊形. 6.解:(1)∵A(0,2),B(-1,0), 將△ABO經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移等變化得到△BCD, ∴BD=OA=2,CD=OB=1,∠BDC=∠AOB=90. ∴C(1,1). 設(shè)經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn)的拋物線解析式為y=ax2+bx+c, 則有a-b+c=0,a+b+c=1,c=2,解得:a=-32,b=12,c=2. ∴拋物線解析式為y=-32x2+12x+2. (2)如圖所示,設(shè)直線PC與AB交于點(diǎn)E. ∵直線PC將△ABC的面積分成1∶3兩部分, ∴AEBE=13或AEBE=3, 過(guò)E作EF⊥OB于點(diǎn)F,則EF∥OA. ∴△BEF∽△BAO,∴EFAO=BEBA=BFBO. ∴當(dāng)AEBE=13時(shí),EF2=34=BF1, ∴EF=32,BF=34,∴E-14,32. 設(shè)直線PC的解析式為y=mx+n,則可求得其解析式為y=-25x+75, ∴-32x2+12x+2=-25x+75, ∴x1=-25,x2=1(舍去),∴P1-25,3925. 當(dāng)AEBE=3時(shí),同理可得P2-67,2349.