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2019-2020年八年級上學(xué)期數(shù)學(xué)活動 平面圖形的鑲嵌 教學(xué)案例 使用教材 義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)（蘇科版）八年級上冊 教學(xué)環(huán)境 多媒體教室（有視頻展示臺） 一、教學(xué)目標(biāo) 1. 知識與技能目標(biāo)： （1）通過對“拼地板”的探索，讓學(xué)生經(jīng)歷探索多邊形鑲嵌的條件的過程，知道任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌；并能運用這幾種圖形進行簡單的鑲嵌設(shè)計； （2）培養(yǎng)學(xué)生觀察、動手操作能力。 2. 過程與方法目標(biāo)： 滲透初步的數(shù)學(xué)“建?！彼枷耄龑?dǎo)學(xué)生在拼接實驗的過程中，通過觀察、判斷、歸納、總結(jié)并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律去解決一些實際問題，進一步發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。 3. 情感與態(tài)度目標(biāo)： （1）讓學(xué)生進一步體會平面圖形在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用，將書本知識與生產(chǎn)生活實踐有機地結(jié)合； （2）培養(yǎng)學(xué)生實踐意識、創(chuàng)新精神和團結(jié)協(xié)作的精神； （3）學(xué)生在活動中感受數(shù)學(xué)的樸實之美，數(shù)學(xué)的和諧之美，進一步發(fā)展學(xué)生的審美情趣。 二、教材分析 教學(xué)重點：探索多邊形鑲嵌的條件的過程以及多邊形鑲嵌的條件。 教學(xué)難點：如何運用多邊形的有關(guān)知識，解決鑲嵌中的問題，尋找多邊形鑲嵌的條件。 三、學(xué)生狀況分析 有較好的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。 四、課前準(zhǔn)備 教學(xué)設(shè)備或教輔工具： 1．將學(xué)生按四人一組進行分組。 2．多媒體、教學(xué)圖片。 3．顏色各異的各種多邊形圖紙。 學(xué)生課前準(zhǔn)備：全等的多邊形紙板、膠水、筆、紙、剪刀、圓規(guī)、水彩等。 五、教學(xué)實錄 1． 創(chuàng)設(shè)情境，提出本次學(xué)習(xí)活動的主題 師：在我們的周圍有一些美麗、神奇的圖案，請我們一起來欣賞一組圖案： （多媒體展示一組時裝秀和鑲嵌圖案） 師：這些圖案有什么共同特征呢？ （同學(xué)們分組討論、交流） 生：這些圖案是用一種或幾種形狀相同的圖形組成的。 生（補充）：這些圖形不但是形狀相同，而且大小也一樣。 師：也就是全等的圖形。 生：這些圖形與圖形之間沒有縫隙，也沒有重疊。 師：很好！這些圖案是“用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此間不留空隙、不重疊地鋪成一片”，這就是數(shù)學(xué)上“平面圖形的鑲嵌”。這節(jié)課，我們一起來研究簡單的“平面圖形的鑲嵌”。 （多媒體投影本課課題及“平面圖形的鑲嵌”的概念） （用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌） 師：在我們生活中，有許多圖案是“平面圖形的鑲嵌”。不知同學(xué)們是否曾留意過身邊的一些鑲嵌圖案？你能舉出你身邊的鑲嵌圖案嗎？ （同學(xué)們議論紛紛） 生：“麥當(dāng)勞”餐廳里的地板圖案。 生：人行道上地磚鋪成的圖案也是鑲嵌圖案。 生：一些賓館房間里墻紙上的花紋也是鑲嵌圖案。 … … 師：大家都十分注意觀察，在生活中處處都有數(shù)學(xué)。剛才大家舉的例子都是含有鑲嵌圖案，老師也收集了一些生活中的鑲嵌圖案，請同學(xué)們分享、評價。 （多媒體播放一組鑲嵌圖案，美妙的圖案、絢麗的色彩讓同學(xué)們興奮不已） 【點評：體現(xiàn)教師既是學(xué)習(xí)活動的組織者，也是學(xué)習(xí)活動的參與者和合作者。近年來，隨著社會經(jīng)濟的不斷發(fā)展，建筑市場日益擴大以及人民生活水平的不斷提高，室內(nèi)裝飾作為一個集數(shù)學(xué)、物理學(xué)、心理學(xué)、行為學(xué)、環(huán)境美術(shù)文化藝術(shù)、建筑美術(shù)、造型藝術(shù)等多學(xué)科邊緣科學(xué)的新興行業(yè)，正在高速發(fā)展。此問題讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)源于實踐，生活中處處有數(shù)學(xué)?！? 2．探索用一種大小相同的多邊形鑲嵌 師：但生活中最常見的還是用特殊的多邊形，如：三角形、四邊形和正多邊形等來拼接的。如：家庭裝修鋪地板時，選擇一種特殊的多邊形（三角形、四邊形或正多邊形）地磚，其中任意兩塊圖形不能重疊，也不能留有空隙；而且，多邊形的頂點只能與頂點重合。 師：下面請同學(xué)門試一試：選用一種大小相同的特殊的多邊形（三角形、四邊形或正多邊形）來拼接，看看拼接出的圖案效果如何？ （多媒體播放拼接要求，學(xué)生按拼接要求粘貼、拼接。各組選擇的形狀、拼裝方式可以不一樣。在教師的指導(dǎo)下，四人一組分工合作，先討論、確定多邊形的形狀，要求學(xué)生在拼接的過程中想一想根據(jù)什么來確定多邊形的形狀？） …… 【點評：學(xué)生通過動手操作，在活動的過程中去感受數(shù)學(xué)知識與實際生活的聯(lián)系，在直觀體驗中認(rèn)識多邊形的特征。這個過程借助動手操作，將難點分解，從活動過程中掌握數(shù)學(xué)知識，突出重點?！? 師：下面請各組同學(xué)選一個代表，展示各組設(shè)計的圖案。 （分組展示作品，介紹設(shè)計過程，并作設(shè)計說明：各組的代表紛紛上臺展示各自的作品并對作品進行說明，教室里時時響起掌聲，很多同學(xué)躍躍欲試，紛紛向老師和其他同學(xué)推展自己的作品。） 師：同學(xué)們的設(shè)計很有創(chuàng)意，色彩的搭配也挺漂亮?，F(xiàn)在我們不考慮這些圖案的顏色，哪些是符合拼接要求。 （同學(xué)們異口同聲的說：“都符合。”） 師：同學(xué)們用三角形、四邊形和正六邊形拼接的的圖案都是鑲嵌圖案。其他的圖形可以嗎？比如只用正五邊形可以進行鑲嵌嗎？ 生：不能。 師：請同學(xué)們想一想：為什么有的圖形符合鑲嵌要求，而有的卻不符合？ … … 師：請同學(xué)們觀察一下，在用三角形鑲嵌的圖案中，觀察每個拼接點處有幾個角，它們與這個三角形的內(nèi)角有什么關(guān)系？ 生：在三角形拼接的圖案中，每一個頂點處有6個角，分別等于兩個全等三角形的各內(nèi)角。 生（補充）：它們的和為360，是三角形的內(nèi)角和180的2倍。 師：在用四邊形鑲嵌的圖案中，觀察每個拼接點處有幾個角，它們與這種四邊形的內(nèi)角又有什么關(guān)系？ 生：在四邊形拼接的圖案中，每一個頂點處應(yīng)有4個角，分別等于一個四邊形的4個內(nèi)角，它們的和等于四邊形的內(nèi)角和是360。 師：請同學(xué)們討論、思考一下：符合拼裝要求的多邊形應(yīng)該具備什么樣的條件？ …… （同學(xué)們對著圖案思考了片刻） …… 【點評：這個問題旨在培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納能力?！? 生：只用一種多邊形進行密鋪，就必須使拼湊在每一頂點處各角之和為360。 師：同學(xué)們得到了規(guī)律，將剛才的拼接結(jié)果，用這個規(guī)律去驗證一下，看看對不對？看一看，有哪些多邊形符合這個要求？ 生：正六邊形可以鑲嵌。因為正六邊形的每一個內(nèi)角是1200，在每一個頂點處有3個正六邊形就可以。（學(xué)生出示圖片如下左） 師：正五邊形可以鑲嵌嗎？ 生：不能。因為正五邊形的每一個內(nèi)角是1080，不存在正整數(shù)，使成立，所以只用正五邊形不能進行鑲嵌。 生：只用一種圖形，三角形、四邊形和正六邊形可以鑲嵌，其他的多邊形不能鑲嵌。 【點評：學(xué)生通過實驗探索，分析、歸納得出規(guī)律，明白這個規(guī)律是怎么得來的，并且也知道了為什么有些圖形卻又不符合，將認(rèn)識由感性上升到理性。學(xué)生由實際操作中發(fā)現(xiàn)并總結(jié)了規(guī)律，形成了一定的數(shù)學(xué)知識，反過來又將這數(shù)學(xué)知識指導(dǎo)實踐，找出符合拼接要求的所有的特殊多邊形，并盡可能地將可以鑲嵌的多邊形都找出來?！? 3．思考與拓展----用兩種或兩種以上的平面圖形鑲嵌 師：歸納得很好。其實，在生活中許多鑲嵌圖案是由兩種或兩種以上形狀的圖形組成的。請同學(xué)們利用課余時間想一想：任意選擇兩種正多邊形進行鑲嵌（最好用生活中常見的形狀的多邊形），使拼出的圖案既符合要求又比較美觀，你能想出幾種？老師這有一些有關(guān)“平面圖形的鑲嵌”知識的網(wǎng)站或網(wǎng)頁，供同學(xué)們參考。 （多媒體播放下列網(wǎng)址： geocities/SoHo/Museum/3828/tessellations.html plklht.edu.hk/FunMaths/Tescher.html worldofescher/gallery） 【點評：借助于現(xiàn)代信息技術(shù)，特別是利用互聯(lián)網(wǎng)，是進行學(xué)習(xí)的一種重要途徑和手段。目的是為一些有興趣和學(xué)有余力的同學(xué)給予引導(dǎo)和提供參考，既體現(xiàn)了教學(xué)的開放性和現(xiàn)代信息技術(shù)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用，又體現(xiàn)了“不同的人在數(shù)學(xué)得到不同的發(fā)展”的新教育理念】 4．課堂小節(jié) 師：想一想，學(xué)習(xí)了這節(jié)課后，你了解了哪些知識？明白了哪些道理？有什么感受和收獲？ 生：知道了什么是鑲嵌，哪些多邊形可以鑲嵌。 生：多邊形鑲嵌的條件。 生：生活中處處都有數(shù)學(xué)，我們要多觀察、多思考，用我們學(xué)到的知識去解釋、應(yīng)用。 生：先從幾個特殊、具體的事物中尋找、歸納規(guī)律，然后再去驗證這個規(guī)律是否正確。 … … … … 5．課外作業(yè)： 師：大家說的都不錯。下面給同學(xué)們留兩道課外作業(yè)： （1）請同學(xué)們利用課余時間收集一些用平面圖形鑲嵌的圖片。 （2）用兩種正多邊形按這個要求進行拼裝，請設(shè)計出你的方案，并涂上你滿意的顏色。 六、教學(xué)反思 本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計經(jīng)過實際的教學(xué)檢驗，成功之處有：創(chuàng)設(shè)問題情景好，時裝“秀”和絢麗的圖案吸引了學(xué)生，激起了他們的求知欲望；活動充分，小組合作學(xué)習(xí)讓學(xué)生經(jīng)歷探索多邊形鑲嵌的條件的過程，效果較好；教師教學(xué)民主，使學(xué)生敢于表現(xiàn)自己，激發(fā)了學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力；在教學(xué)中運用教學(xué)媒體的效果好。 教學(xué)的不足之處：學(xué)生設(shè)計的圖案很多超出了教師的考慮范圍，學(xué)生很多新穎的設(shè)計因時間所限無法在課內(nèi)一一展示；只用正五邊形不能鑲嵌應(yīng)讓學(xué)生動手試驗一下。 教師的體會：新教材對內(nèi)容的選取更加以人為本，更貼近學(xué)生的生活現(xiàn)實，給學(xué)生和教師更大的活動空間，增進了學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用，激發(fā)了學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力。本節(jié)課的教學(xué)中，通過對“拼地板”的探索，讓學(xué)生經(jīng)歷了探索多邊形鑲嵌的條件的過程，強化了學(xué)生對多邊形內(nèi)角和及其有關(guān)幾何事實的認(rèn)識；滲透了初步的數(shù)學(xué)“建模”思想，引導(dǎo)學(xué)生在拼接實驗的過程中，通過觀察、判斷、歸納、總結(jié)并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律去解決一些實際問題，進一步發(fā)展了學(xué)生的合情推理能力；培養(yǎng)了學(xué)生實踐意識、創(chuàng)新精神和團結(jié)協(xié)作的精神，讓學(xué)生在活動中感受到數(shù)學(xué)的樸實之美，數(shù)學(xué)的和諧之美，實現(xiàn)了課前的教學(xué)目標(biāo)。在教學(xué)中，學(xué)生的設(shè)計和探究超出了我們的預(yù)料，帶給我們驚喜，讓我們感嘆學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力，這也許是新課程帶給我們的收獲。 七、學(xué)生反饋 學(xué)生1：這節(jié)課通過自己動手實驗的方法，使得課堂既輕松探索得出結(jié)論，又讓我們對本課的內(nèi)容影響非常深刻。 學(xué)生2：我認(rèn)為這節(jié)課非常輕松，在實踐的過程中學(xué)到了知識，了解了探索問題的方法，而且我認(rèn)為在這節(jié)課中發(fā)揮了我們的潛力，培養(yǎng)了我們的動手能力和表達能力，如：對設(shè)計的圖案進行說明。 學(xué)生3：這節(jié)課我們同學(xué)之間的合作很好，培養(yǎng)了我們的協(xié)作意識和合作精神。老師與同學(xué)間的互動使我們敢于表現(xiàn)自己。 八、同行點評 沈國新（高級教師、常州市初中數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人）：我認(rèn)為是一節(jié)成功的課，因為它遵循了新課標(biāo)的要求：自主、合作、探究，教師既是學(xué)習(xí)活動的組織者，也是學(xué)習(xí)活動的參與者和合作者。本節(jié)課通過對“拼地板”的探索，使學(xué)生通過動手操作，在活動的過程中去感受數(shù)學(xué)知識與實際生活的聯(lián)系，在直觀體驗中認(rèn)識多邊形的特征，從而使學(xué)生經(jīng)歷了探索多邊形鑲嵌的條件的過程，強化了學(xué)生對多邊形內(nèi)角和及其有關(guān)幾何事實的認(rèn)識，知道任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌；本節(jié)課還滲透了初步的數(shù)學(xué)“建?！彼枷耄龑?dǎo)學(xué)生在拼接實驗的過程中，通過觀察、判斷、歸納、總結(jié)并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律去解決一些實際問題，通過本節(jié)課進一步發(fā)展了學(xué)生的合情推理能力，開發(fā)、培養(yǎng)學(xué)生實踐意識、創(chuàng)新精神和團結(jié)協(xié)作的精神；使學(xué)生體會了平面圖形在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用。本節(jié)課學(xué)生的多次合作活動，不僅推動了學(xué)生間的相互交流，而且激發(fā)出智慧的火花。在課堂的拓展和課外作業(yè)的布置上，借助于現(xiàn)代信息技術(shù)，特別是利用互聯(lián)網(wǎng)，為一些有興趣和學(xué)有余力的同學(xué)給予引導(dǎo)和提供參考，既體現(xiàn)了教學(xué)的開放性和現(xiàn)代信息技術(shù)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用，又體現(xiàn)了“不同的人在數(shù)學(xué)得到不同的發(fā)展”的新教育理念。 王舒一（常州市第二十四中學(xué)數(shù)學(xué)教研組長）：這節(jié)課成功之處在于在幾個重要問題上進行了有益的探索：（1）數(shù)學(xué)來源于實踐又服務(wù)于實踐。這節(jié)課從實際問題得出結(jié)論，又用這個結(jié)論解決了實際中相應(yīng)的問題，因此，這節(jié)課對“數(shù)學(xué)來源于實踐又服務(wù)于實踐”做了有益的探索。（2）我們的課堂教學(xué)說到底是課堂的教學(xué)如何與認(rèn)知規(guī)律相融合。這節(jié)課上，教師采取一系列手段，如：由實際引入課題，由感性到理性，由特殊到一般，通過不斷的研究和探索過程，達到了數(shù)學(xué)“建摸”的目的，這樣就把學(xué)生認(rèn)識客觀世界、探索規(guī)律和他們的實際活動與認(rèn)知規(guī)律很好地結(jié)合起來了，對課堂的教學(xué)如何與認(rèn)知規(guī)律相融合進行了有益的探索。（3）課堂教學(xué)教與學(xué)的雙邊活動的根本在于教與學(xué)的雙邊思維活動有機的結(jié)合。這節(jié)課上，教師通過讓學(xué)生動手實驗，從實驗中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后展示實驗成果，讓學(xué)生獲得充分的成就感，這樣學(xué)生的思維活動就在他們的動手活動中得到很好的體現(xiàn)，在此基礎(chǔ)上，教師又一次提出一個高于學(xué)生思維水平似的問題，又一次在實驗探索中引導(dǎo)學(xué)生的思維進行了升華，達到了教與學(xué)的雙邊思維活動有機的結(jié)合。另外，這節(jié)課在課堂教學(xué)中“如何提問”還有待商榷的地方，有些問題的提出時機，有些問題的跨度不大合適。 吳敏浚（常州市數(shù)學(xué)學(xué)科中心組成員）：先進的教育思想是課堂教學(xué)的靈魂 整體上看，這節(jié)課是比較成功的。我想就感受最深的幾點談?wù)勛约旱目捶ā冗M的教育思想是課堂教學(xué)的靈魂。 這節(jié)課是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)（蘇科版）八年級上冊《數(shù)學(xué)活動平面圖形的鑲嵌》。趙老師通過創(chuàng)設(shè)情境引入鑲嵌的概念，然后通過組織學(xué)生動手操作、小組合作討論等活動探索多邊形鑲嵌的條件，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力、合作交流意識和一定的審美情趣，并能用所學(xué)知識進行簡單的應(yīng)用。這節(jié)課體現(xiàn)了時代的特色，體現(xiàn)了先進的教育思想在課堂教學(xué)中的運用，具體表現(xiàn)在以下幾個方面： 一、目標(biāo)意識——教學(xué)目標(biāo)全面、具體、明確，符合課程標(biāo)準(zhǔn)、教材和學(xué)生實際，重難點的提出與處理得當(dāng)。 這節(jié)課不是以傳授知識為中心，而是以學(xué)生的發(fā)展為中心。教學(xué)過程既是學(xué)生掌握知識的過程，又是一個身心發(fā)展、潛能開發(fā)的過程。教學(xué)中著眼于學(xué)生開發(fā)自己的身心潛能，在學(xué)生掌握知識的同時形成現(xiàn)代人的思想，掌握現(xiàn)代人的本領(lǐng)，使學(xué)生的知識、人格、智力、能力、非智力、個性等都得到和諧全面的發(fā)展。 二、主體意識——傳統(tǒng)的以教師“講”為中心的教學(xué)，使學(xué)生處于被動狀態(tài)，不利于學(xué)生的潛能開發(fā)和身心發(fā)展。用現(xiàn)代教育思想來看，不僅要看教，而且要看學(xué)，而且要從學(xué)生如何學(xué)上看教師怎樣教。趙老師給學(xué)生創(chuàng)造的機會，讓他們主動參與教學(xué)過程，通過學(xué)生的不斷探索形成知識體系，從而培養(yǎng)學(xué)生表述、分析、歸納、總結(jié)等能力。整節(jié)課我們看到的是師生互動，學(xué)生的思維和方法得到了充分的展示；這種指導(dǎo)性教學(xué)模式調(diào)動了每一位學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，使學(xué)生在自主學(xué)習(xí)中發(fā)展，在發(fā)展中成長，親身經(jīng)歷了探索多邊形鑲嵌的條件的過程，感受到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，品嘗到了成功的喜悅。 三、情感意識——教學(xué)過程中最活躍的是師生之間的關(guān)系。師生在教學(xué)中情感交融、氣氛和諧，教師充分調(diào)動學(xué)生的潛能，激發(fā)他們在最佳的心理狀態(tài)下參與學(xué)習(xí)的全過程的積極性，指導(dǎo)他們解決問題，幫助他們發(fā)展個性。課堂上鼓勵與要求同在。教學(xué)中知情結(jié)合，互為作用，相得益彰，學(xué)生在教學(xué)過程中不僅學(xué)會、會學(xué)，而且還愛學(xué)樂學(xué)。 四、反饋意識——教學(xué)信息多向交流，反饋及時，矯正有效。這節(jié)課以探究、研討為主，師生共同討論、研究做實驗。趙老師把課堂的大部分時間留給學(xué)生，讓他們相互交流、提問、消化。結(jié)論由學(xué)生自悟和發(fā)現(xiàn)。教師以導(dǎo)為主，變講師為導(dǎo)師，學(xué)生以練、思為主，在做一做、算一算、練一練、想一想、說一說中實現(xiàn)耳、眼、口、腦全頻道式接收，多功能協(xié)調(diào)，立體化滲透。作業(yè)的布置，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和認(rèn)識美、欣賞美、創(chuàng)造美的能力，滿足學(xué)生多樣化的學(xué)習(xí)需求，為學(xué)生提供個性化學(xué)習(xí)的時間和空間，體驗成功的喜悅。建議將學(xué)生的作品展覽并進行評獎，嘗試一種新的評價方式。 五、技能意識——能熟練運用現(xiàn)代化教學(xué)手段。趙老師根據(jù)教學(xué)需要，從教材實際出發(fā)，恰當(dāng)?shù)厥褂昧私虒W(xué)媒體輔助教學(xué)。如用電腦展示一組美麗的圖案，由學(xué)生歸納共同特征。用電腦展示地磚、地板。用電腦演示三角形、四邊形、五邊形的鑲嵌問題等。用不同色彩的三角形紙板在黑板上和學(xué)生一起進行鑲嵌。 六、教學(xué)效果與效率意識——教學(xué)目標(biāo)達成，教學(xué)效果好，學(xué)生會學(xué)，學(xué)習(xí)主動，課堂氣氛活躍。學(xué)生主動參與教學(xué)全過程，生動活潑，積極主動。學(xué)生的小結(jié)就非常精彩。有創(chuàng)新精神，老師為學(xué)生提供了一組有關(guān)“平面圖形的鑲嵌”知識的網(wǎng)站和網(wǎng)頁，充分利用網(wǎng)絡(luò)資源，為學(xué)生提供更廣闊的學(xué)習(xí)空間，引導(dǎo)學(xué)生改變傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式。 總的說來，這節(jié)課較好地體現(xiàn)了初中數(shù)學(xué)新課程的基本理念，改變了傳統(tǒng)的教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式，使課堂教學(xué)充滿了生命力。