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綜合能力提升練習(xí)一 一、單選題 1.如圖，⊙O上有兩點(diǎn)A與P，且OA⊥OP，若A點(diǎn)固定不動(dòng)，P點(diǎn)在圓上勻速運(yùn)動(dòng)一周，那么弦AP的長(zhǎng)度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的圖象可能是( ) ① ② ③ ④ A.①B.③C.①或③D.②或④ 2.已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為3和8，則該三角形第三邊的長(zhǎng)可能是（　?。? A.3B.5C.8D.11 3.小明在探索一元二次方程2x2﹣x﹣2=0的近似解時(shí)作了如下列表計(jì)算．觀察表中對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，可以估計(jì)方程的其中一個(gè)解的整數(shù)部分是（ ） x 1 2 3 4 2x2﹣x﹣2 ﹣1 4 13 26 A.4B.3C.2D.1 4.三棱柱的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　?。? A.3B.4C.5D.6 5.一元二次方程x2+3x+1=0的根的情況是（　?。? A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 6.有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列各式符號(hào)的判斷正確的是（ ） A.a2﹣b＞0B.a+|b|＞0C.a+b2＞0D.2a+b＞0 7.滿足x-5＞3x+1的x的最大整數(shù)是（） A.0B.-2C.-3D.-4 8.如圖，Rt△APC的頂點(diǎn)A，P在反比例函數(shù)y＝的圖象上，已知P的坐標(biāo)為（1，1），tanA=（n≥2的自然數(shù)）；當(dāng)n=2，3，4…xx時(shí)，A的橫坐標(biāo)相應(yīng)為a2 ， a3 ， a4 ， …，axx ， 則+++…+=（　) A.B.2021054C.2022060D. 二、填空題 9.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別是∠A、∠B、∠C，若∠A=30，∠C=2∠B，則∠B=________． 10.如圖，等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC=90，AB=AC，點(diǎn) M，N 在邊 BC 上，且∠MAN=45．若 BM=1， CN=3，則 MN 的長(zhǎng)為________． 11.計(jì)算：（ +1）（3﹣ ）=________． 12.一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角為108，則這個(gè)多邊形是________邊形，它的內(nèi)角和是________ 13.當(dāng)m________時(shí)，不等式mx＜7的解集為x＞ 14.冷庫(kù)甲的溫度是-5℃,冷庫(kù)乙的溫度是-15℃,則溫度高的是冷庫(kù)________. 三、計(jì)算題 15.計(jì)算: 16.計(jì)算：（ ）2+（π﹣xx）0﹣4cos60+（ ）﹣3 ． 17.先化簡(jiǎn)，再求值： （a﹣ ），其中a=2+ ，b=2﹣ ． 18.計(jì)算 （1）計(jì)算： +（ ）﹣1﹣2cos60+（2﹣π）0； （2）化簡(jiǎn)： ． 19.已知x﹣y=5，xy=4，求x2+y2的值． 20.解方程： ﹣ = ． 四、解答題 21.如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AC于E，AE=2，求CE的長(zhǎng)． 22.如圖，在四邊形ABCD中，AD、BD相交于點(diǎn)F，點(diǎn)E在BD上，且． （1）∠1與∠2相等嗎？為什么？ （2）判斷△ABE與△ACD是否相似？并說(shuō)明理由． 23.計(jì)算：|﹣3|﹣2． 24.解方程組：． 五、綜合題 25.甲、乙兩人周末從同一地點(diǎn)出發(fā)去某景點(diǎn)，因乙臨時(shí)有事，甲坐地鐵先出發(fā)，甲出發(fā)0.2小時(shí)后乙開汽車前往．設(shè)甲行駛的時(shí)間為x（h），甲、乙兩人行駛的路程分別為y1（km）與y2（km）．如圖①是y1與y2關(guān)于x的函數(shù)圖象． （1）分別求線段OA與線段BC所表示的y1與y2關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式； （2）當(dāng)x為多少時(shí)，兩人相距6km？ （3）設(shè)兩人相距S千米，在圖②所給的直角坐標(biāo)系中畫出S關(guān)于x的函數(shù)圖象．  答案解析部分 一、單選題 1.如圖，⊙O上有兩點(diǎn)A與P，且OA⊥OP，若A點(diǎn)固定不動(dòng)，P點(diǎn)在圓上勻速運(yùn)動(dòng)一周，那么弦AP的長(zhǎng)度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的圖象可能是( ) ① ② ③ ④ A.①B.③C.①或③D.②或④ 【答案】C 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象 【解析】【分析】由圖中可知：長(zhǎng)度d是一開始就存在的，如果點(diǎn)P向上運(yùn)動(dòng)，那么d的距離將逐漸變大；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到和0，A在同一直線上時(shí)，d最大，隨后開始變??；當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，距離d為0，然后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，d開始變大；到點(diǎn)P時(shí)，回到原來(lái)高度相同的位置．①對(duì)， ②沒(méi)有回到原來(lái)的位置，應(yīng)排除． ④回到原來(lái)的位置后又繼續(xù)運(yùn)動(dòng)了，應(yīng)排除． 如果點(diǎn)P向下運(yùn)動(dòng)，那么d的距離將逐漸變小，到點(diǎn)A的位置時(shí)，距離d為0；繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，d的距離將逐漸變大；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到和0，A在同一直線上時(shí)，d最大，隨后開始變小，到點(diǎn)P時(shí)，回到原來(lái)高度相同的位置．③對(duì)． 故選C. 2.已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為3和8，則該三角形第三邊的長(zhǎng)可能是（　?。? A.3B.5C.8D.11 【答案】C 【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系 【解析】【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得 第三邊大于：8﹣3=5，小于：3+8=11． 則此三角形的第三邊可能是：8． 故選：C． 【分析】根據(jù)三角形的第三邊大于兩邊之差，而小于兩邊之和求得第三邊的取值范圍，再進(jìn)一步選擇． 3.小明在探索一元二次方程2x2﹣x﹣2=0的近似解時(shí)作了如下列表計(jì)算．觀察表中對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，可以估計(jì)方程的其中一個(gè)解的整數(shù)部分是（ ） x 1 2 3 4 2x2﹣x﹣2 ﹣1 4 13 26 A.4B.3C.2D.1 【答案】D 【考點(diǎn)】估算一元二次方程的近似解 【解析】【解答】解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，知： 方程的一個(gè)解x的范圍是：1＜x＜2， 所以方程的其中一個(gè)解的整數(shù)部分是1． 故選D． 【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)：x=1時(shí)，2x2﹣x﹣2=﹣1；x=2時(shí)，2x2﹣x﹣2=4，故一元二次方程2x2﹣x﹣2=0的其中一個(gè)解x的范圍是1＜x＜2，進(jìn)而求解． 4.三棱柱的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　?。? A.3B.4C.5D.6 【答案】D 【考點(diǎn)】認(rèn)識(shí)立體圖形 【解析】【解答】解：一個(gè)直三棱柱由兩個(gè)三邊形的底面和3個(gè)長(zhǎng)方形的側(cè)面組成，根據(jù)其特征及歐拉公式V+F﹣E=2可知， 它有6個(gè)頂點(diǎn)， 故選：D． 【分析】一個(gè)直三棱柱是由兩個(gè)三邊形的底面和3個(gè)長(zhǎng)方形的側(cè)面組成，根據(jù)其特征及歐拉公式V+F﹣E=2進(jìn)行填空即可． 5.一元二次方程x2+3x+1=0的根的情況是（　?。? A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 【答案】A 【考點(diǎn)】根的判別式 【解析】【解答】解：∵a=1，b=3，c=1， ∴△=b2﹣4ac=32﹣411=5＞0， ∴有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 故選A． 【分析】首先求得△=b2﹣4ac的值，然后即可判定一元二次方程x2+3x+1=0的根的情況． 6.有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列各式符號(hào)的判斷正確的是（ ） A.a2﹣b＞0B.a+|b|＞0C.a+b2＞0D.2a+b＞0 【答案】A 【考點(diǎn)】數(shù)軸 【解析】【解答】解：根據(jù)數(shù)軸得a＜﹣1，0＜b＜1，∴a2＞1，b2＜1， ∴a2﹣b＞0，故A正確； ∴a+|b|＜0，故B錯(cuò)誤； ∴a+b2＜0，故C錯(cuò)誤； ∴2a+b＜0，故D錯(cuò)誤， 故選A． 【分析】根據(jù)數(shù)軸可得出a＜﹣1，0＜b＜1，再判斷a2 ， b2的范圍，進(jìn)行選擇即可． 7.滿足x-5＞3x+1的x的最大整數(shù)是（） A.0B.-2C.-3D.-4 【答案】D 【考點(diǎn)】解一元一次不等式，一元一次不等式的整數(shù)解 【解析】【分析】先移項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)，最后化系數(shù)為1，即可求得結(jié)果. x-5>3x+1 -2x>6 x<-3 所以滿足條件的x的最大整數(shù)是-4 故選D. 【點(diǎn)評(píng)】計(jì)算題是中考必考題，一般難度不大，學(xué)生要特別慎重，盡量不在計(jì)算上失分. 8.如圖，Rt△APC的頂點(diǎn)A，P在反比例函數(shù)y＝的圖象上，已知P的坐標(biāo)為（1，1），tanA=（n≥2的自然數(shù)）；當(dāng)n=2，3，4…xx時(shí)，A的橫坐標(biāo)相應(yīng)為a2 ， a3 ， a4 ， …，axx ， 則+++…+=（　) A.B.2021054C.2022060D. 【答案】B 【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的性質(zhì)，探索數(shù)與式的規(guī)律 【解析】【分析】設(shè)CP=m，由tanA==得AC=mn，則A（1-m，1+mn)，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝中，得出an=1-m的表達(dá)式，尋找運(yùn)算規(guī)律． 【解答】依題意設(shè)CP=m， ∵P點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，則C點(diǎn)橫坐標(biāo)為1-m， 即an=1-m， 又∵tanA==， ∴AC=mn，則A（1-m，1+mn)， 將A點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝中，得（1-m)（1+mn)=1， 1-m+mn-m2n=1， m（n-1-mn)=0， 則n-1-mn=0， 1-m=， 則an=1-m=，即=n， ∴+++…+=2+3+4+…+xx ==2021054． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)值設(shè)直角三角形的邊長(zhǎng)，表示A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)A點(diǎn)在雙曲線上，滿足反比例函數(shù)解析式，從而得出一般規(guī)律． 二、填空題 9.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別是∠A、∠B、∠C，若∠A=30，∠C=2∠B，則∠B=________． 【答案】50 【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理 【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=30，∠C=2∠B，∠A+∠B+∠C=180， ∴30+3∠B=180， ∴∠B=50． 故答案是：50． 【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和是180列出等式∠A+∠B+∠C=180，據(jù)此易求∠B的度數(shù)． 10.如圖，等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC=90，AB=AC，點(diǎn) M，N 在邊 BC 上，且∠MAN=45．若 BM=1， CN=3，則 MN 的長(zhǎng)為________． 【答案】 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用 【解析】【解答】將 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到 ，連接 ， 是等腰直角三角形， 在 和 中， 由勾股定理得， 【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等；由△ABC是等腰直角三角形，得到△MAN≌△FAN，得到對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等，再根據(jù)勾股定理求出MN 的長(zhǎng). 11.計(jì)算：（ +1）（3﹣ ）=________． 【答案】2 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算 【解析】【解答】解：原式= （ +1）（ ﹣1） = （3﹣1） =2 ． 故答案為2 ． 【分析】先把后面括號(hào)內(nèi)提 ，然后利用平方差公式計(jì)算． 12.一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角為108，則這個(gè)多邊形是________邊形，它的內(nèi)角和是________ 【答案】五；540 【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角 【解析】【解答】解：∵多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于108， ∴多邊形的每一個(gè)外角都等于180﹣108=72， ∴邊數(shù)n=36072=5， 內(nèi)角和為（5﹣2）180=540． 故答案為：五；540． 【分析】先求出這個(gè)多邊形的每一個(gè)外角的度數(shù)，再用360除以一個(gè)外角的度數(shù)即可得到邊數(shù)． 13.當(dāng)m________時(shí)，不等式mx＜7的解集為x＞ 【答案】＜0 【考點(diǎn)】不等式的性質(zhì) 【解析】【解答】根據(jù)不等式mx＜7的解集為x＞ ，可以發(fā)現(xiàn)不等號(hào)的方向發(fā)生了改變，根據(jù)不等式的性質(zhì)，所以m＜0．【分析】可根據(jù)不等式的性質(zhì)，兩邊同時(shí)除以負(fù)數(shù)，不等號(hào)發(fā)生改變. 14.冷庫(kù)甲的溫度是-5℃,冷庫(kù)乙的溫度是-15℃,則溫度高的是冷庫(kù)________. 【答案】甲 【考點(diǎn)】有理數(shù)大小比較 【解析】【解答】解：∵-5＞-15 ∴溫度高的是冷庫(kù)甲 故答案為：甲【分析】比較-5和-15的大小，可解答。 三、計(jì)算題 15.計(jì)算: 【答案】解： 原式= = 【考點(diǎn)】整式的加減 【解析】【分析】首先去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可。 16.計(jì)算：（ ）2+（π﹣xx）0﹣4cos60+（ ）﹣3 ． 【答案】解：原式=2+1﹣2+8=9 【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值 【解析】【分析】原式利用平方根定義，零指數(shù)冪法則，特殊角的三角函數(shù)值，以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則計(jì)算即可得到結(jié)果． 17.先化簡(jiǎn)，再求值： （a﹣ ），其中a=2+ ，b=2﹣ ． 【答案】解： （a﹣ ） = = = ， 當(dāng)a=2+ ，b=2﹣ 時(shí)，原式= ． 【考點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)求值 【解析】【分析】先將括號(hào)里的分式通分計(jì)算，分子分母能分解因式的要先分解因式，再將分式的除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分化成最簡(jiǎn)分式，然后代入求值計(jì)算即可。 18.計(jì)算 （1）計(jì)算： +（ ）﹣1﹣2cos60+（2﹣π）0； （2）化簡(jiǎn)： ． 【答案】（1）解：原式=2+2﹣2 +1=4 （2）解：原式= ? =x+1 【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算，分式的混合運(yùn)算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值 【解析】【分析】（1）首先計(jì)算乘方、開方，代入特殊角的三角函數(shù)值，然后進(jìn)行加減運(yùn)算即可求解；（2）首先對(duì)括號(hào)內(nèi)的分式進(jìn)行通分相減，然后把除法轉(zhuǎn)化為乘法，計(jì)算分式的乘法即可． 19.已知x﹣y=5，xy=4，求x2+y2的值． 【答案】解：將x﹣y=5兩邊平方得：（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=25， 把xy=4代入得：x2+y2﹣8=25， 則x2+y2=33 【考點(diǎn)】完全平方公式 【解析】【分析】將x﹣y=5兩邊平方，利用完全平方公式展開，將xy的值代入計(jì)算即可求出值． 20.解方程： ﹣ = ． 【答案】解：去分母得：2x+2﹣x+1=3， 解得：x=0， 經(jīng)檢驗(yàn)x=0是分式方程的解 【考點(diǎn)】解分式方程 【解析】【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解． 四、解答題 21.如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AC于E，AE=2，求CE的長(zhǎng)． 【答案】解：連接AD， ∵AB=AC，∠BAC=120，D為BC的中點(diǎn)， ∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B=∠C=30 ∴∠DAC= ∠BAC=60， ∵DE⊥AC于E， ∴∠AED=90， ∴∠ADE=30， 在Rt△ADE中，AE=2，∠ADE=30， ∴AD=2AE=4， 在Rt△ADC中，AD=4，∠C=30， ∴AC=2AD=8， 則CE=AC﹣AE=8﹣2=6． 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形 【解析】【分析】連接AD，根據(jù)三線合一得到AD垂直于BC，AD為角平分線，以及底角的度數(shù)，在直角三角形ADE中，利用30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到AD的長(zhǎng)，在直角三角形ADE中，再利用30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AC的長(zhǎng)，由AC﹣AE即可求出CE的長(zhǎng)． 22.如圖，在四邊形ABCD中，AD、BD相交于點(diǎn)F，點(diǎn)E在BD上，且． （1）∠1與∠2相等嗎？為什么？ （2）判斷△ABE與△ACD是否相似？并說(shuō)明理由． 【答案】解：（1）∠1與∠2相等． 在△ABC和△AED中， ∵， ∴△ABC∽△AED， ∴∠BAC=∠EAD， ∴∠1=∠2． （2）△ABE與△ACD相似． 由得， 在△ABE和△ACD中， ∵，∠1=∠2， ∴△ABE∽△ACD． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì) 【解析】【分析】（1）由， 得到△ABC∽△AED，推出∠BAC=∠EAD，即可得到∠1=∠2； （2）由得， 根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等得到△ABE∽△ACD． 23.計(jì)算：|﹣3|﹣2． 【答案】解：原式=3﹣2 =1． 【考點(diǎn)】有理數(shù)的減法 【解析】先計(jì)算﹣3的絕對(duì)值，然后再相減即可． 24.解方程組：． 【答案】解： ①+②，得 3x=3，解得：x=1， 將x=1代入①，得1+y=﹣3，解得：y=﹣4， 則原方程組的解為?． 【考點(diǎn)】解二元一次方程組 【解析】【解答】由①+②可消去y，得到x=1，將x=1代入任意一個(gè)方程即可求出y值. 【分析】方程組利用加減消元法求出解即可． 五、綜合題 25.甲、乙兩人周末從同一地點(diǎn)出發(fā)去某景點(diǎn)，因乙臨時(shí)有事，甲坐地鐵先出發(fā)，甲出發(fā)0.2小時(shí)后乙開汽車前往．設(shè)甲行駛的時(shí)間為x（h），甲、乙兩人行駛的路程分別為y1（km）與y2（km）．如圖①是y1與y2關(guān)于x的函數(shù)圖象． （1）分別求線段OA與線段BC所表示的y1與y2關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式； （2）當(dāng)x為多少時(shí)，兩人相距6km？ （3）設(shè)兩人相距S千米，在圖②所給的直角坐標(biāo)系中畫出S關(guān)于x的函數(shù)圖象． 【答案】（1）解：設(shè)OA：y1=k1x，BC：y2=k2x+b， 則y1=k1x過(guò)點(diǎn)（1.2，72）， 所以y1=60x， ∵y2=k2x+b過(guò)點(diǎn)（0.2，0）、（1.1，72）， ∴ ， 解得 ． ∴y2=80x﹣16． （2）解：①60x=6， 解得x=0.1； ②60x﹣（80x﹣16）=6， 解得x=0.5； ③80x﹣16﹣60x=6， 解得x=1.1． 故當(dāng)x為0.1或0.5或1.1小時(shí)，兩人相距6千米． （3）解：如圖所示： 【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用 【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法可求線段OA與線段BC所表示的y1與y2關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）分3種情況：①0＜x＜0.2；②甲、乙兩人相遇前；③甲、乙兩人相遇后；進(jìn)行討論可求x的值；（3）分4種情況：①0＜x＜0.2；②甲、乙兩人相遇前；③甲、乙兩人相遇后乙到達(dá)景點(diǎn)前；④甲、乙兩人相遇后乙到達(dá)景點(diǎn)后；進(jìn)行討論可畫出S關(guān)于x的函數(shù)圖象．