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解直角三角形 1． 如圖，以圓O為圓心，半徑為1的弧交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，P是上一點(diǎn)（不與A，B重合），連接OP，設(shè)∠POB=α，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（　?。? A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα） C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα） 2．一座樓梯的示意圖如圖所示，BC是鉛垂線，CA是水平線，BA與CA的夾角為θ．現(xiàn)要在樓梯上鋪一條地毯，已知CA=4米，樓梯寬度1米，則地毯的面積至少需要（　　） A．米2 B．米2 C．（4+）米2 D．（4+4tanθ）米2 3． 一個(gè)公共房門前的臺(tái)階高出地面1.2米，臺(tái)階拆除后，換成供輪椅行走的斜坡，數(shù)據(jù)如圖所示，則下列關(guān)系或說法正確的是（　　） A．斜坡AB的坡度是10 B．斜坡AB的坡度是tan10 C．AC=1.2tan10米 D．AB=米 4． 聊城“水城之眼”摩天輪是亞洲三大摩天輪之一，也是全球首座建筑與摩天輪相結(jié)合的城市地標(biāo)，如圖，點(diǎn)O是摩天輪的圓心，長為110米的AB是其垂直地面的直徑，小瑩在地面C點(diǎn)處利用測角儀測得摩天輪的最高點(diǎn)A的仰角為33，測得圓心O的仰角為21，則小瑩所在C點(diǎn)到直徑AB所在直線的距離約為（tan33≈0.65，tan21≈0.38）（　　） A．169米 B．204米 C．240米 D．407米 5． 如圖，輪船沿正南方向以30海里/時(shí)的速度勻速航行，在M處觀測到燈塔P在西偏南68方向上，航行2小時(shí)后到達(dá)N處，觀測燈塔P在西偏南46方向上，若該船繼續(xù)向南航行至離燈塔最近位置，則此時(shí)輪船離燈塔的距離約為（由科學(xué)計(jì)算器得到sin68=0.9272，sin46=0.7193，sin22=0.3746，sin44=0.6947）（　　） A．22.48 B．41.68 C．43.16 D．55.63 6． 如圖，長4m的樓梯AB的傾斜角∠ABD為60，為了改善樓梯的安全性能，準(zhǔn)備重新建造樓梯，使其傾斜角∠ACD為45，則調(diào)整后的樓梯AC的長為（　?。? A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m 7． 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，∠B=30，AB=8，則BC的長是（　　） A． B．4 C．8D．4 8． 一艘輪船在小島A的北偏東60方向距小島80海里的B處，沿正西方向航行3小時(shí)后到達(dá)小島的北偏西45的C處，則該船行駛的速度為　　海里/小時(shí)． 9． 在綜合實(shí)踐課上，小聰所在小組要測量一條河的寬度，如圖，河岸EF∥MN，小聰在河岸MN上點(diǎn)A處用測角儀測得河對(duì)岸小樹C位于東北方向，然后沿河岸走了30米，到達(dá)B處，測得河對(duì)岸電線桿D位于北偏東30方向，此時(shí)，其他同學(xué)測得CD=10米．請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù)求出河的寬度為?。?0+10）　米．（結(jié)果保留根號(hào)） 10. 如圖，在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，小聰在距離旗桿10m的A處測得旗桿頂端B的仰角為60，測角儀高AD為1m，則旗桿高BC為　 m（結(jié)果保留根號(hào)）． 參考答案 1.【考點(diǎn)】解直角三角形；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【專題】計(jì)算題；三角形． 【分析】過P作PQ⊥OB，交OB于點(diǎn)Q，在直角三角形OPQ中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出OQ與PQ，即可確定出P的坐標(biāo)． 【解答】解：過P作PQ⊥OB，交OB于點(diǎn)Q， 在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α， ∴sinα=，cosα=，即PQ=sinα，OQ=cosα， 則P的坐標(biāo)為（cosα，sinα）， 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵． 2.【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用． 【分析】由三角函數(shù)表示出BC，得出AC+BC的長度，由矩形的面積即可得出結(jié)果． 【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AC?tanθ=4tanθ（米）， ∴AC+BC=4+4tanθ（米）， ∴地毯的面積至少需要1（4+4tanθ）=4+tanθ（米2）； 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、矩形面積的計(jì)算；由三角函數(shù)表示出BC是解決問題的關(guān)鍵． 3.【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題． 【分析】根據(jù)坡度是坡角的正切值，可得答案． 【解答】解：斜坡AB的坡度是tan10=，故B正確； 故選：B． 4.【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題． 【分析】過C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，求得AD=CD?tan∠ACD=CD?tan33，在Rt△BCO中，求得OD=CD?tan∠BCO=CD?tan21，列方程即可得到結(jié)論． 【解答】解：過C作CD⊥AB于D， 在Rt△ACD中，AD=CD?tan∠ACD=CD?tan33， 在Rt△BCO中，OD=CD?tan∠BCO=CD?tan21， ∵AB=110m， ∴AO=55m， ∴A0=AD﹣OD=CD?tan33﹣CD?tan21=55m， ∴CD==≈204m， 答：小瑩所在C點(diǎn)到直徑AB所在直線的距離約為204m． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了仰角與俯角的問題，利用兩個(gè)直角三角形擁有公共直角邊，能夠合理的運(yùn)用這條公共邊是解答此題的關(guān)鍵． 5.【分析】過點(diǎn)P作PA⊥MN于點(diǎn)A，則若該船繼續(xù)向南航行至離燈塔距離最近的位置為PA的長度，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可 【解答】解：如圖，過點(diǎn)P作PA⊥MN于點(diǎn)A， MN=302=60（海里）， ∵∠MNC=90，∠CPN=46， ∴∠MNP=∠MNC+∠CPN=136， ∵∠BMP=68， ∴∠PMN=90﹣∠BMP=22， ∴∠MPN=180﹣∠PMN﹣∠PNM=22， ∴∠PMN=∠MPN， ∴MN=PN=60（海里）， ∵∠CNP=46， ∴∠PNA=44， ∴PA=PNsin∠PNA=600.6947≈41.68（海里） 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了方向角問題，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵． 6.【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題． 【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定義計(jì)算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定義計(jì)算AC即可． 【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=， ∴AD=4sin60=2（m）， 在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=， ∴AC==2（m）． 故選B． 7.【考點(diǎn)】解直角三角形． 【分析】根據(jù)cosB=及特殊角的三角函數(shù)值解題即可． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90，∠B=30，AB=8， cosB=， 即cos30=， ∴BC=8=4； 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值，是基礎(chǔ)知識(shí)，需要熟練掌握． 8.【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題． 【分析】設(shè)該船行駛的速度為x海里/時(shí)，由已知可得BC=3x，AQ⊥BC，∠BAQ=60，∠CAQ=45，AB=80海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，得出BC=40+40=3x，解方程即可． 【解答】解：如圖所示： 設(shè)該船行駛的速度為x海里/時(shí)， 3小時(shí)后到達(dá)小島的北偏西45的C處， 由題意得：AB=80海里，BC=3x海里， 在直角三角形ABQ中，∠BAQ=60， ∴∠B=90﹣60=30， ∴AQ=AB=40，BQ=AQ=40， 在直角三角形AQC中，∠CAQ=45， ∴CQ=AQ=40， ∴BC=40+40=3x， 解得：x=． 即該船行駛的速度為海里/時(shí)； 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中的方向角問題、等腰直角三角形的性質(zhì)、含30角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；通過解直角三角形得出方程是解決問題的關(guān)鍵． 9.【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題． 【分析】如圖作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分別為H、K，則四邊形BHCK是矩形，設(shè)CK=HB=x，根據(jù)tan30=列出方程即可解決問題． 【解答】解：如圖作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分別為H、K，則四邊形BHCK是矩形， 設(shè)CK=HB=x， ∵∠CKA=90，∠CAK=45， ∴∠CAK=∠ACK=45， ∴AK=CK=x，BK=HC=AK﹣AB=x﹣30， ∴HD=x﹣30+10=x﹣20， 在RT△BHD中，∵∠BHD=30，∠HBD=30， ∴tan30=， ∴=， 解得x=30+10． ∴河的寬度為（30+10）米． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用、方向角、三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形，學(xué)會(huì)利用三角函數(shù)的定義，列出方程解決問題，屬于中考常考題型． 10.【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題． 【分析】首先過點(diǎn)A作AE∥DC，交BC于點(diǎn)E，則AE=CD=10m，CE=AD=1m，然后在Rt△BAE中，∠BAE=60，然后由三角形函數(shù)的知識(shí)求得BE的長，繼而求得答案． 【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AE∥DC，交BC于點(diǎn)E，則AE=CD=10m，CE=AD=1m， ∵在Rt△BAE中，∠BAE=60， ∴BE=AE?tan60=10（m）， ∴BC=CE+BE=10+1（m）． ∴旗桿高BC為10+1m． 故答案為：10+1． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查仰角的定義．注意能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵．