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二次函數(shù)
章末小結(jié)與提升
二次函數(shù)描述的關(guān)系實際問題二次函數(shù)概念二次函數(shù)y=ax2的平移上、下平移|k|個單位長度: y=ax2+k 左、右平移|h|個單位長度:y=a(x-h)2上、下平移|k|個單位長度,左、右平移|h|個單位長度:y=a(x-h)2+k二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象及性質(zhì)開口方向:a>0,開口向上;a<0,開口向下對稱軸: 直線x=-b2a 頂點坐標:-b2a,4ac-b24a增減性a>0x>-b2a時,y隨x的增大而增大x<-b2a時,y隨x的增大而 減小 a<0x>-b2a時,y隨x的增大而減小x<-b2a時,y隨x的增大而增大二次函數(shù)的表達式:待定系數(shù)法二次函數(shù)與一元二次方程二者關(guān)系利用圖象解方程二次函數(shù)與實際問題最大面積問題最大利潤問題其他問題
類型1 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
典例1 (齊齊哈爾中考)如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=1,與x軸的一個交點坐標為(-1,0),其部分圖象如圖所示,下列結(jié)論:
①4ac
0;
④當y>0時,x的取值范圍是-1≤x<3;
⑤當x<0時,y隨x的增大而增大.
其中結(jié)論正確的個數(shù)是 ()
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】由題意知a<0,-b2a=1,c=3.∵拋物線與x軸有兩個交點,∴b2-4ac>0,即4ac0時,x的取值范圍是-10,二次函數(shù)y=ax2+bx+a2-1的圖象為下列圖象之一,則a的值是 (B)
A.1 B.-1 C.-1-52 D.-1+52
2.在-3≤x≤0范圍內(nèi),二次函數(shù)y1=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示.在這個范圍內(nèi),有結(jié)論:
①y1有最大值1、沒有最小值;
②y1有最大值1、最小值-3;
③函數(shù)值y1隨x的增大而增大;
④方程ax2+bx+c=2無解;
⑤若y2=2x+4,則y1≤y2.
其中正確的個數(shù)是 (B)
A.2 B.3 C.4 D.5
3.某籃球運動員身高1.91 m,在某次投籃中,球的運動路線是拋物線y=-15x2+72的一部分(如圖),若命中籃圈中心,則他與籃底的距離約為 (B)
A.3.2 m B.4 m C.4.5 m D.4.6 m
4.我們知道,經(jīng)過原點的拋物線的表達式可以是y=ax2+bx(a≠0).
(1)對于這樣的拋物線:
當頂點坐標為(1,1)時,a= -1 ;
當頂點坐標為(m,m),m≠0時,a與m之間的關(guān)系式是 a=-1m .
(2)繼續(xù)探究,如果b≠0,且過原點的拋物線頂點在直線y=kx(k≠0)上,請用含k的代數(shù)式表示b.
解:(2)∵a≠0,
∴y=ax2+bx=ax+b2a2-b24a,
∴頂點坐標是-b2a,-b24a.
又∵該頂點在直線y=kx(k≠0)上,
∴k-b2a=-b24a.
∵b≠0,∴b=2k.
類型2 求二次函數(shù)的表達式
典例2 已知二次函數(shù)的頂點坐標為(2,-2),且其圖象經(jīng)過點(3,1),求此二次函數(shù)的表達式,并求出該函數(shù)圖象與y軸的交點坐標.
【解析】設(shè)二次函數(shù)的表達式為y=a(x-2)2-2,
把(3,1)代入y=a(x-2)2-2,
得a(3-2)2-2=1,解得a=3,
所以二次函數(shù)的表達式為y=3(x-2)2-2,
當x=0時,y=34-2=10,
所以函數(shù)圖象與y軸的交點坐標為(0,10).
【針對訓練】
1.某二次函數(shù)的最大值為2,圖象的頂點在直線y=x+1上,并且圖象經(jīng)過點(2,1),則這個二次函數(shù)的表達式為 y=-x2+2x+1 .
2.(黃石中考)已知拋物線y=a(x-1)2過點(3,1),D為拋物線的頂點.
(1)求拋物線的表達式;
(2)若點B0,14,C均在拋物線上,且∠BDC=90,求點C的坐標.
解:(1)將點(3,1)代入表達式,得4a=1,解得a=14,
所以拋物線的表達式為y=14(x-1)2.
(2)由(1)知點D的坐標為(1,0),
設(shè)點C的坐標為(x0,y0)(x0>1,y0>0),則y0=14(x0-1)2,
過點C作CF⊥x軸于點F,
∴∠BOD=∠DFC=90,∠DCF+∠CDF=90,
∵∠BDC=90,∴∠BDO+∠CDF=90,
∴∠BDO=∠DCF,
∴△BDO∽△DCF,
∴BODO=DFCF,
∴14=x0-114(x0-1)2,化簡得14=4x0-1,
解得x0=17,檢驗知x0=17是分式方程的解,此時y0=64,
∴點C的坐標為(17,64).
類型3 二次函數(shù)與一元二次方程
典例3 已知二次函數(shù)y=2x2-mx-m2.
(1)求證:對于任意實數(shù)m,這個二次函數(shù)的圖象與x軸總有公共點;
(2)若這個二次函數(shù)圖象與x軸有兩個公共點A,B,且B點坐標為(1,0),求點A的坐標.
【解析】(1)Δ=(-m)2-42(-m2)=m2+8m2=9m2≥0,
則對于任意實數(shù)m,這個二次函數(shù)的圖象與x軸總有公共點.
(2)由題意得212-m-m2=0,解得m1=1,m2=-2,
當m=1時,二次函數(shù)為y=2x2-x-1,
令y=0,即2x2-x-1=0,解得x1=1,x2=-12,則點A的坐標為-12,0;
當m=-2時,二次函數(shù)為y=2x2+2x-4,
令y=0,即2x2+2x-4=0,解得x1=1,x2=-2,則點A的坐標為(-2,0),
綜上所述,點A的坐標為-12,0或(-2,0).
【針對訓練】
1.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列說法錯誤的是 (D)
A.圖象關(guān)于直線x=1對稱
B.函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值是-4
C.-1和3是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根
D.當x<1時,y隨x的增大而增大
2.(恩施州中考)拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=-1,部分圖象如圖所示,下列判斷中:
①abc>0;
②b2-4ac>0;
③9a-3b+c=0;
④若點(-0.5,y1),(-2,y2)均在拋物線上,則y1>y2;
⑤5a-2b+c<0.
其中正確的個數(shù)有 (B)
A.2 B.3 C.4 D.5
3.如圖,拋物線y=ax2+bx(a>0)經(jīng)過原點O和點A(2,0).
(1)寫出拋物線的對稱軸與x軸的交點坐標;
(2)點(x1,y1),(x2,y2)在拋物線上,若x1y2.
(3)點C的坐標為(3,2),
設(shè)直線AC的關(guān)系式為y=kx+m(k≠0),
則2k+m=0,3k+m=2,
解得k=2,m=-4,所以直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=2x-4.
類型4 利用二次函數(shù)解決實際問題
典例4 (青島中考)如圖,隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成,長方形的長是12 m,寬是4 m.按照圖中所示的直角坐標系,拋物線可以用y=-16x2+bx+c表示,且拋物線的點C到墻面OB的水平距離為3 m時,到地面OA的距離為172 m.
(1)求該拋物線的函數(shù)表達式,并計算出拱頂D到地面OA的距離.
(2)一輛貨運汽車載一個長方體集裝箱后高為6 m,寬為4 m,如果隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道,那么這輛貨車能否安全通過?
(3)在拋物線形拱壁上需要安裝兩排燈,使它們離地面的高度相等,如果燈離地面的高度不超過8 m,那么兩排燈的水平距離最小是多少米?
【解析】(1)根據(jù)題意得B(0,4),C3,172,代入y=-16x2+bx+c,得c=4,-1632+3b+c=172,解得b=2,c=4,所以拋物線的表達式為y=-16x2+2x+4,
即y=-16(x-6)2+10,所以D點的坐標為(6,10),
所以拱頂D到地面OA的距離為10m.
(2)由題意得貨運汽車最外側(cè)與地面OA的交點為(2,0)或(10,0),
當x=2或x=10時,y=223>6,所以這輛貨車能安全通過.
(3)令y=8,則-16(x-6)2+10=8,解得x1=6+23,x2=6-23,則x1-x2=43,
所以兩排燈的水平距離最小是43m.
【針對訓練】
1.豎直上拋的小球離地高度是它運動時間的二次函數(shù),小軍相隔1秒依次豎直向上拋出兩個小球,假設(shè)兩個小球離手時離地高度相同,在各自拋出后1.1秒時到達相同的最大離地高度,第一個小球拋出后t秒時在空中與第二個小球的離地高度相同,則t= 1.6 .
2.如圖有一座拋物線形拱橋,橋下面在正常水位時AB寬20 m,水位上升3 m就達到警戒線CD,這時水面寬度為10 m.
(1)在如圖的坐標系中求拋物線的表達式.
(2)若洪水到來時,水位以每小時0.2 m的速度上升,從警戒線開始,再持續(xù)多少小時才能到拱橋頂?
解:(1)設(shè)拋物線的表達式為y=ax2.
由題意設(shè)D(5,h),則B(10,h-3),
把B,D的坐標代入y=ax2,得h=25a,h-3=100a,解得a=-125,h=-1,
∴拋物線的表達式為y=-125x2.
(2)∵D(5,-1),
∴此時水面離拱橋頂距離為1米.
∴從警戒線開始,再持續(xù)t=10.2=5小時,才能到拱橋頂.
3.(衢州中考)某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池,噴水池的周邊有一圈噴水頭,噴出的水柱為拋物線,在距水池中心3米處達到最高,高度為5米,且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合.如圖所示,以水平方向為x軸,噴水池中心為原點建立平面直角坐標系.
(1)求水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式;
(2)王師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間,噴水管意外噴水,為了不被淋濕,身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內(nèi)?
(3)經(jīng)檢修評估,游樂園決定對噴水設(shè)施做如下設(shè)計改進:在噴出水柱的形狀不變的前提下,把水池的直徑擴大到32米,各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物(高度不變)處匯合,請?zhí)骄繑U建改造后噴水池水柱的最大高度.
解:(1)設(shè)水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式為y=a(x-3)2+5(a≠0),將(8,0)代入y=a(x-3)2+5,得25a+5=0,解得a=-15,
∴水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式為y=-15(x-3)2+5(0
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第二章
二次函數(shù)章末小結(jié)與提升課時作業(yè)
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