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2019版九年級數(shù)學(xué)上冊 24.4 弧長和扇形面積教案 （新版）新人教版 教學(xué)目標(biāo) 1. 理解弧長和扇形面積公式，并會計算弧長和扇形的面積． 2. 經(jīng)歷探索弧長及扇形面積計算公式的過程，感受轉(zhuǎn)化、類比的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力． 3. 了解母線的概念，掌握圓錐的側(cè)面積計算公式，并會應(yīng)用公式解決問題． 4. 經(jīng)歷探索圓錐側(cè)面積計算公式的過程，發(fā)展學(xué)生的實(shí)踐探索能力． 5. 通過用弧長及扇形面積公式解決實(shí)際問題，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系． 教學(xué)重點(diǎn) 1. 經(jīng)歷探索弧長及扇形面積、圓錐側(cè)面積計算公式的過程． 2. 掌握弧長及扇形面積計算公式，會用公式解決問題． 教學(xué)難點(diǎn) 弧長及扇形面積、圓錐側(cè)面積計算公式的推導(dǎo)過程． 課時安排 2課時  教案A 第1課時 教學(xué)內(nèi)容 24．4弧長和扇形面積（1）． 教學(xué)目標(biāo) 1．理解弧長和扇形面積公式，并會計算弧長和扇形的面積． 2．經(jīng)歷探索弧長及扇形面積計算公式的過程，感受轉(zhuǎn)化、類比的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力． 3．通過用弧長及扇形面積公式解決實(shí)際問題，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系． 教學(xué)重點(diǎn) 1．推導(dǎo)弧長及扇形面積計算公式的過程． 2．掌握弧長及扇形面積計算公式，會用公式解決問題． 教學(xué)難點(diǎn) 推導(dǎo)弧長及扇形面積計算公式的過程． 教學(xué)過程 一、導(dǎo)入新課 在小學(xué)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過有關(guān)圓的周長和面積公式，弧是圓周的一部分，扇形是圓的一部分，那么弧長與扇形面積應(yīng)怎樣計算？它們與圓的周長、圓的面積之間有怎樣的關(guān)系呢？本節(jié)課我們將進(jìn)行探索． 二、新課教學(xué) 1．弧長的計算公式． 思考：（1）如何計算圓周長？ （2）圓的周長可以看作是多少度的圓心角所對的弧長？ （3）1的圓心角所對的弧長是多少？n的圓心角呢？ 教師引導(dǎo)學(xué)生思考、分析、討論，從而得出弧長的計算公式． 在半徑為R的圓中，因?yàn)?60的圓心角所對的弧長就是圓周長C＝2πR，所以1的圓心角所對的弧長是，即．于是n的圓心角所對的弧長為． 2．實(shí)例探究． 例1 制造彎形管道時，經(jīng)常要先按中心線計算“展直長度”，再下料，試計算下圖所示的管道的展直長度L（結(jié)果取整數(shù)）． 解：由弧長公式，得的長 ＝500π≈1 570（mm）． 因此所要求的展直長度 L＝2700＋1 570＝2 970（mm）． 3．扇形的概念和扇形面積的計算公式． 如圖，由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形．可以發(fā)現(xiàn)，扇形的面積除了與圓的半徑有關(guān)外還與組成扇形的圓心角的大小有關(guān)，圓心角越大，扇形面積也就越大．怎樣計算圓半徑為R，圓心角為n的扇形面積呢？ 思考：由扇形的定義可知，扇形面積就是圓面積的一部分．想一想，如何計算圓的面積？圓面積可以看作是多少度的圓心角所對的扇形的面積？1的圓心角所對的扇形面積是多少？n的圓心角呢？ 在半徑為R的圓中，因?yàn)?60的圓心角所對的扇形的面積就是圓面積S＝πR2，所以1的扇形面積是，于是圓心角為n的扇形面積是S扇形＝． 4．弧長與扇形面積的關(guān)系． 我們探討了弧長和扇形面積的公式，在半徑為R的圓中，n的圓心角所對的弧長的計算公式為l＝πR，n的圓心角的扇形面積公式為S扇形＝πR2，在這兩個公式中，弧長和扇形面積都和圓心角n．半徑R有關(guān)系，因此l和S之間也有一定的關(guān)系，你能猜得出嗎？ ∵l＝πR，S扇形＝πR2， ∴πR2＝RπR．∴S扇形＝lR． 5．扇形面積的應(yīng)用． 例2 扇形AOB的半徑為12cm，∠AOB＝120，求的長(結(jié)果精確到0.1cm)和扇形AOB的面積(結(jié)果精確到0.1cm2) 分析：要求弧長和扇形面積，根據(jù)公式需要知道半徑R和圓心角n即可，本題中這些條件已經(jīng)告訴了，因此這個問題就解決了． 解：的長＝π12≈25.1cm． S扇形＝π122≈150.7cm2． 因此，的長約為25.1cm，扇形AOB的面積約為150.7cm2． 三、鞏固練習(xí) 教材第113頁練習(xí)． 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)該掌握： 1．弧長的計算公式． 2．扇形的面積公式． 3．弧長l及扇形的面積S之間的關(guān)系，并能已知一方求另一方． 五、布置作業(yè) 習(xí)題24.4 第1、2題． 第2課時 教學(xué)內(nèi)容 24．4弧長和扇形面積（2）． 教學(xué)目標(biāo) 1．了解母線的概念． 2．掌握圓錐的側(cè)面積計算公式，并會應(yīng)用公式解決問題． 3．經(jīng)歷探索圓錐側(cè)面積計算公式的過程，發(fā)展學(xué)生的實(shí)踐探索能力． 教學(xué)重點(diǎn) 1．經(jīng)歷探索圓錐側(cè)面積計算公式的過程． 2．了解圓錐的側(cè)面積計算公式，并會應(yīng)用公式解決問題． 教學(xué)難點(diǎn) 圓錐側(cè)面積計算公式的推導(dǎo)過程． 教學(xué)過程 一、導(dǎo)入新課 師：大家見過圓錐嗎？你能舉出實(shí)例嗎？ 生：見過，如漏斗、蒙古包． 師：你們知道圓錐的表面是由哪些面構(gòu)成的嗎？請大家互相交流． 生：圓錐的表面是由一個圓面和一個曲面圍成的． 師：圓錐的曲面展開圖是什么形狀呢？應(yīng)怎樣計算它的面積呢？本節(jié)課我們將解決這些問題． 二、新課教學(xué) 1．圓錐的母線． 圓錐是由一個底面和一個側(cè)面圍成的幾何體，如圖，我們把連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線． 2．探索圓錐的側(cè)面公式． 思考：圓錐的側(cè)面展開圖是什么圖形？如何計算圓錐的側(cè)面積？如何計算圓錐的全面積？ （1）如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，容易得到，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形． （2）設(shè)圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，因此圓錐的側(cè)面積為πrl，圓錐的全面積為πr(r+l)． 3．利用圓錐的側(cè)面積公式進(jìn)行計算． 例 蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．如果想用毛氈搭建20個底面積為12 m2，高為3.2 m，外圍高1．8 m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛氈（n取3．142，結(jié)果取整數(shù)）？ 解：右圖是一個蒙古包的示意圖． 根據(jù)題意，下部圓柱的底面積為12 m2．高h(yuǎn)2＝1.8 m；上部圓錐的高h(yuǎn)1＝3.2－1.8＝1.4(m)． 圓柱的底面圓的半徑r＝≈1.945(m)，側(cè)面積為2π1.9451.8≈22.10(m2)． 圓錐的母線長l＝≈2.404(m)，側(cè)面展開扇形的弧長為2π1.945≈12.28(m)，圓錐的側(cè)面積為2.40412.28≈14.76(m2)． 因此，搭建20個這樣的的蒙古包至少需要毛氈20(22.10＋14.76)≈738(m2)． 三、鞏固練習(xí) 教材第114頁練習(xí)． 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)該掌握： 探索圓錐的側(cè)面展開圖的形狀，以及面積公式，并能用公式進(jìn)行計算． 五、布置作業(yè) 習(xí)題24.4 第4、5、7題． 教案B 第1課時 教學(xué)內(nèi)容 24．4弧長和扇形面積（1）． 教學(xué)目標(biāo) 1．理解弧長和扇形面積公式，并會計算弧長和扇形的面積． 2．經(jīng)歷探索弧長及扇形面積計算公式的過程，感受轉(zhuǎn)化、類比的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力． 3．通過用弧長及扇形面積公式解決實(shí)際問題，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系． 教學(xué)重點(diǎn) 1．推導(dǎo)弧長及扇形面積計算公式的過程． 2．掌握弧長及扇形面積計算公式，會用公式解決問題． 教學(xué)難點(diǎn) 推導(dǎo)弧長及扇形面積計算公式的過程． 教學(xué)過程 一、導(dǎo)入新課 復(fù)習(xí)圓的周長和面積公式，導(dǎo)入新課的教學(xué)． 二、新課教學(xué) 1．弧長的計算公式． 思考：我們知道，弧是圓的一部分，弧長就是圓周長的一部分．想一想，如何計算圓周長？圓的周長可以看作是多少度的圓心角所對的弧長？由此出發(fā)，1的圓心角所對的弧長是多少？n的圓心角呢？ 在半徑為R的圓中，因?yàn)?60的圓心角所對的弧長就是圓周長C＝2πR，所以1的圓心角所對的弧長是，即．于是n的圓心角所對的弧長為． 2．扇形面積的計算公式． 如圖，由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形．可以發(fā)現(xiàn)，扇形的面積除了與圓的半徑有關(guān)外還與組成扇形的圓心角的大小有關(guān)，圓心角越大，扇形面積也就越大．怎樣計算圓半徑為R，圓心角為n的扇形面積呢？ 思考：由扇形的定義可知，扇形面積就是圓面積的一部分．想一想，如何計算圓的面積？圓面積可以看作是多少度的圓心角所對的扇形的面積？1的圓心角所對的扇形面積是多少？n的圓心角呢？ 在半徑為R的圓中，因?yàn)?60的圓心角所對的扇形的面積就是圓面積S＝πR2，所以1的扇形面積是，于是圓心角為n的扇形面積是S扇形＝． 3．實(shí)例探究． 例1 制造彎形管道時，經(jīng)常要先按中心線計算“展直長度”，再下料，試計算下圖所示的管道的展直長度L（結(jié)果取整數(shù)）． 解：由弧長公式，得的長 ＝500π≈1 570（mm）． 因此所要求的展直長度 L＝2700＋1 570＝2 970（mm）． 例2 如下左圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高0.3 m．求截面上有水部分的面積（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）． 解：如上右圖，連接OA，OB，作弦AB的垂直平分線，垂足為D，交于點(diǎn)C，連接AC． ∵ OC＝0.6 m，DC＝0.3 m， ∴ OD＝OC－DC＝0.3（m）． ∴ OD＝DC． 又 AD⊥DC， ∴ AD是線段OC的垂直平分線． ∴ AC＝AO＝OC． 從而 ∠AOD＝60，∠AOB＝120． 有水部分的面積 S＝S扇形OAB－S△OAB ＝0.62－ABOD ＝0.12π－0.60.3 ≈0.22（m2）． 三、鞏固練習(xí) 教材第113頁練習(xí)． 四、課堂小結(jié) 今天學(xué)習(xí)了什么？有什么收獲？ 五、布置作業(yè) 習(xí)題24.4 第1、2題． 第2課時 教學(xué)內(nèi)容 24．4弧長和扇形面積（2）． 教學(xué)目標(biāo) 1．了解母線的概念． 2．掌握圓錐的側(cè)面積計算公式，并會應(yīng)用公式解決問題． 3．經(jīng)歷探索圓錐側(cè)面積計算公式的過程，發(fā)展學(xué)生的實(shí)踐探索能力． 教學(xué)重點(diǎn) 1．經(jīng)歷探索圓錐側(cè)面積計算公式的過程． 2．了解圓錐的側(cè)面積計算公式，并會應(yīng)用公式解決問題． 教學(xué)難點(diǎn) 圓錐側(cè)面積計算公式的推導(dǎo)過程． 教學(xué)過程 一、導(dǎo)入新課 出示漏斗、蒙古包的圖片，讓學(xué)生初步認(rèn)識圓錐形圖形，導(dǎo)入新課的教學(xué)． 二、新課教學(xué) 1．探索圓錐的側(cè)面公式． 圓錐是由一個底面和一個側(cè)面圍成的幾何體，我們把連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線． 思考：圓錐的側(cè)面展開圖是什么圖形？如何計算圓錐的側(cè)面積？如何計算圓錐的全面積？ （1）如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，容易得到，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形． （2）設(shè)圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，因此圓錐的側(cè)面積為πrl，圓錐的全面積為πr(r+l)． 2．實(shí)例探究． 例1 制作彎形管道時，需要先按中心線計算“展直長度”再下料，試計算下圖中管道的展直長度，即的長(結(jié)果精確到0.1 mm)． 分析：要求管道的展直長度，即求的長，根根弧長公式l＝可求得的長，其中n為圓心角，R為半徑． 解：R＝40mm，n＝110． ∴的長＝πR＝40π≈76.8mm． 因此，管道的展直長度約為76.8mm． 例2 圣誕節(jié)將近，某家商店正在制作圣誕節(jié)的圓錐形紙帽．已知紙帽的底面周長為58cm，高為20cm，要制作20頂這樣的紙帽至少要用多少平方厘米的紙？(結(jié)果精確到0.1cm2 ) 分析：根據(jù)題意，要求紙帽的面積，即求圓錐的側(cè)面積．現(xiàn)在已知底面圓的周長，從中可求出底面圓的半徑，從而可求出扇形的弧長．在高h(yuǎn)、底面圓的半徑r、母線l組成的直角三角形中，根據(jù)勾股定理求出母線l，代入S側(cè)＝πrl中即可． 解：設(shè)紙帽的底面半徑為r cm，母線長為l cm，則r＝ l＝≈22.03cm， S圓錐側(cè)＝πrl≈5822.03＝638.87cm2． 638.8720＝12 777.4cm2． 所以，至少需要12 777.4cm2的紙． 三、鞏固練習(xí) 教材第114頁練習(xí)． 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)該掌握：探索圓錐的側(cè)面展開圖的形狀，以及面積公式，并能用公式進(jìn)行計算．