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2019版中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第七講 二次函數(shù)學(xué)案 新人教版 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1、經(jīng)歷二次函數(shù)圖象、性質(zhì)、解析式三者有機轉(zhuǎn)換過程，加深到二次函數(shù)性質(zhì)的理解。 2、體驗二次函數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用。 3、探索用數(shù)形結(jié)合的思想解決函數(shù)，幾何綜合型問題。 【知識框圖】 圖案 判別函數(shù)增減性 y=ax+bx+c(a≠0) 應(yīng)用 求最值 性質(zhì) 【典型例題】 例1：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸是直線x=2，圖象與x軸的兩個交點間的距離等于2，且圖象經(jīng)過點（4，3）。 （1）求這個函數(shù)的解析式； （2）說出該函數(shù)圖象的開口方向，頂點坐標(biāo)及和坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)； （3）畫出二次函數(shù)的草圖，說出x為何值時，y＞0 ? y≤0?； （4）求繞頂點旋轉(zhuǎn)1800后新拋物線解析式； （5）設(shè)有直線y1=x-1,當(dāng)x為何值時y1＞y？ 解：（1）解法一：由條件得： 解得 ∴ y= x２-4x+3 解法二：設(shè)y=a(x-2)２+k=ax２-4ax+4a+4 由條件得 　　　　 解得 ∴y=(x-2) ２-1=x２-4x+3 解法三：∵拋物線對稱軸是直線x=2，與x軸兩交點的距離等于2 ∴拋物線與x軸的兩交點坐標(biāo)為：（1，0），（3，0） 設(shè)y=a(x-1)(x-3)把(4,3)代入得a=1 ∴y=(x-1)(x-3)=x２-4x+3 y 評注：求二次函數(shù)解析式可考慮三種方案：設(shè)一般式，頂點 式與交線，但應(yīng)選擇最簡單的方案，如上解法三更為簡捷。 （2）開口方向向上，頂點坐標(biāo)是（2，-1） (0,3) 　　　　　　　 (4.3) 令y=0，則x1=3,x2=1所以與x軸交點坐標(biāo) 為（1，0），（3，0）， 令x=0,則y=3,　 所以與y軸交點坐標(biāo)為 （0，3） (1,0) (3,0) （3）草圖如圖1　　　　　　 O x 當(dāng)x＜1或x＞3時，y＞0　　　　　　　　　　　　　　　-1 圖1 (2,-1) 當(dāng)1≤x≤3時，y≤0 （4）新拋物線的解析式為：y= - (x-2)２-1 評注：在拋物線的平移、對稱變換中，由于開口大小不變，所以|a|保持不變；解這類題關(guān)鍵是抓住頂點如何變化及拋物線開口方向。 （5）如圖，直線y1=x-1圖象，與拋物線交于（1，0），（4，3），當(dāng)1＜x＜4時，y1＞y 例2：例1中，拋物線與x軸的兩個交點為A、B（A在B的左邊），與y軸的交點為C，O為原點。 （1）在拋物線上是否存在一點M，使3SΔMAB=3ΔABC？若存在，求M坐標(biāo)，若不存在，說明理由； （2）在y軸上是否存在點P，使ΔMAB與ΔAOC相似？若存在，求出過P，B兩點的直線解析式，若不存在，說明理由。 解（1）設(shè)M點的縱坐標(biāo)為h, 由3ＳΔMAB=3ＳΔABC 得：3 AB|h|= AB3 ∴h=+1 當(dāng)h=1時，x２-4x+3=1, 解得x=2+ 當(dāng)h= -1時，x２-4x+3= -1，解得x=2 ∴存在M點，M的坐標(biāo)為（2+ ，1），（2- ，1），（2，-1） （2）RtΔOAC中，OA：OC=1：3　　　　　　　　　　　 y 假設(shè)P點存在，則考慮兩種情況：　　　　　　　　　　C 　= 或 =　　　　　　　　　　　　　?。? ∴OP= OB 或OP=3OB　　　　　　　　　　　　O　　１　　?。? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A　　　B　　　　x ∴OP=1 或OP=9　　　　　　　　　　　　　　　　　　　圖2 ∴P的坐標(biāo)有P１（0，1），P２（0，-1），P３（0，9），P４（0，-9） 評注：存在性問題一般是先假設(shè)結(jié)論成立，然后求解；同時應(yīng)用分類思想考慮各種情況，做到不遺漏。 例3：某商場以每件45元的價錢購進(jìn)一種服裝，根據(jù)試銷情況得知，這種服裝每天的銷售量T（件）與每件的銷售價x（元/件）可看成是一次函數(shù)關(guān)系T=　-3x+207(45≤x≤69) （1）寫出商場賣這種服裝每天的利潤y與每件的銷售價x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）問商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件的銷售價定為多少最合適，最大的利潤是多少？ 解：（1）y=(-3x+207)x- 45(-3x+207)= -3(x２-114+3105) (45≤x≤69) （2）y=-3(x-57) ２+432 (45≤x≤69) 當(dāng)x=57時，y最大=432 ∴每件的銷售價定為57元最合適，此時，每天的最大利潤是432元。 評注：用二次函數(shù)的性質(zhì)求實際問題的最值時，首先應(yīng)選取適當(dāng)?shù)淖兞?，建立目?biāo)函數(shù)，然后在變量的取值范圍內(nèi)求出目標(biāo)函數(shù)的最值。 【選講例題】 例4：已知拋物線y=x２- ax-2(a-3),求證：當(dāng)拋物線的頂點位置最高時，它與x軸兩個交點間的距離最小。 證明：拋物線頂點坐標(biāo)為（ , 　　　　 　　 ） 當(dāng)頂點位置最高時，即頂點縱坐標(biāo)最大 而 = 　,當(dāng)a=4時，縱坐標(biāo)最大 拋物線與x軸兩面?zhèn)€交點間距離　　為 　　= ,同時a=4時，取得最小值。 【課堂小結(jié)】 本節(jié)內(nèi)容主要復(fù)習(xí)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)及其應(yīng)用。求拋物線解析式的關(guān)鍵是：靈活運用題目所給條件，合理“設(shè)”，正確“列”；理解二次函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵是：充分利用圖象的直觀性，并注意方程思想、數(shù)形結(jié)合思想以及待定系數(shù)法、配方法在本節(jié)中的應(yīng)用。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1、已知二次函數(shù)y=2x２-4x-1圖象上兩點A(x１,y１),B(x２,y２),若x１＜x２＜1,則y１, y２中較大的是_________. 2、拋物線y=x２-2x-4關(guān)于y軸對稱拋物線的解析式是__________；關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式為__. 3、已知拋物線y=x２-(m+2)x+1,根據(jù)下列條件求m的值。 （1） 對稱軸是直線x=4；（2）有最小值-3；（3）頂點在x軸上；（4）頂點在直線y=x-1上。 4、把拋物線y=2x２平移，使它通過一次函數(shù)y= x-2的圖象與坐標(biāo)軸的兩個交點，求這個二次函數(shù)的解析式及其最大值或最小值。 5、設(shè)x１，x２是拋物線y=k２x２-2(k-1)x+1與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)，且 　+ =14.求 k的值。 【鞏固練習(xí)】 1、選擇題 （1）拋物線y=(a-1)x ２+a２+2a-3經(jīng)過原點，則a的值為（ ） A、1 　 　 B、-3 C、1或3 D、無法確定 （2）若拋物線y=ax２+bx+c(a≠0)的頂點在第一象限，且經(jīng)過（0，1），（-1，0），則S=a+b+c的變化范圍是（ ） A、0＜S＜2 　 B、S＞1 C、1＜S＜2 D、-1＜S＜1 2、填空題 （1）若拋物線 y=ax２+bx+c如圖所示， y 則直線y=abx+c不經(jīng)過第____象限。 0 x （2）直線y=ax-9通過拋物線y=- (x-a) ２的頂點， 則a=________. 3、已知a、b、c是一個三角形三邊長，求證 二次函數(shù)y=a２x２+(a２+b２-c２)x+b２的圖象與x 軸沒有交點。 4、如圖，已知拋物線y=x２+px+q與x軸交于A、B兩點，交y軸負(fù)半軸于C，∠ACB=Rt∠, 且 - = ,求ΔABC 外接圓的面積。　　　y A O B x C 5、已知矩形的長大于寬的2倍，周長為12，從它的一個頂點作一條射線，將矩形分成一個三角形和一個梯形，且這條射線與矩形一邊所成的角的正切值等于 ，設(shè)梯形的面積為S， 梯形中較短的底的長為x，試寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍。 【課后反思】