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知識(shí)點(diǎn)31 平行四邊形 一、選擇題 1. （xx四川瀘州，7題，3分） 如圖2，ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AB中點(diǎn)，且AE+EO=4，則ABCD的周長(zhǎng)為（ ） A.20 B. 16 C. 12 　 D.8 第7題圖 【答案】B 【解析】ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，又因?yàn)镋是AB中點(diǎn)，所以EO是△ABC的中位線，AE=AB，EO=BC，因?yàn)锳E+EO=4，所以AB+BC=2(AE+EO)=8，ABCD中AD=BC，AB=CD，所以周長(zhǎng)為2(AB+BC)=16 【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線 2. （xx安徽省，9，4分） □ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上不同的兩點(diǎn)，下列條件中，不能得出四邊形AECF一定為平行四邊形的是（ ） A.BE=DF B.AE=CF C.AF//CE D.∠BAE=∠DCF 【答案】B 【思路分析】連接AC與BD相交于O，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，只要證明得到OE=OF即可，然后根據(jù)各選項(xiàng)的條件分析判斷即可得解． 【解題過(guò)程】解：如圖，連接AC與BD相交于O， 在?ABCD中，OA=OC，OB=OD， 要使四邊形AECF為平行四邊形，只需證明得到OE=OF即可； A、若BE=DF，則OB-BE=OD-DF，即OE=OF，故本選項(xiàng)不符合題意； B、若AE=CF，則無(wú)法判斷OE=OE，故本選項(xiàng)符合題意； C、AF∥CE能夠利用“角角邊”證明△AOF和△COE全等，從而得到OE=OF，故本選項(xiàng)不符合題意； D、∠BAE=∠DCF能夠利用“角角邊”證明△ABE和△CDF全等，從而得到DF=BE，然后同A，故本選項(xiàng)不符合題意； 故選：B． 【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 3. （xx四川省達(dá)州市，8，3分） △ABC的周長(zhǎng)為19，點(diǎn)D、E在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為N，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為M．若BC＝7，則MN的長(zhǎng)為（ ） ． A． B．2 C． D．3 第8題圖 【答案】C， 【解析】∵△ABC的周長(zhǎng)為19，BC＝7， ∴AB＋AC＝12． ∵∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為N，∴BA＝BE，N是AE的中點(diǎn)． ∵∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為M，∴AC＝DC，M是AD的中點(diǎn)． ∴DE＝AB＋AC－BC＝5． ∵M(jìn)N是△ADE的中位線， ∴MN＝DE＝． 故選C. 【知識(shí)點(diǎn)】三角形的中位線 4. （xx四川省南充市，第8題，3分）如圖，在中，，，，，分別為，，的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)度為（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【思路分析】1.由∠ACB=90，∠A=30，BC的長(zhǎng)度，可求得AB的長(zhǎng)度，2.利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊第一半，求得CD的長(zhǎng)度；3.利用中位線定理，即可求得EF的長(zhǎng). 【解題過(guò)程】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠A=30，BC=2，，∴AB=4，CD=AB，∴CD=4=2，∵E，F(xiàn)分別為AC，AD的中點(diǎn)，∴EF=CD=2=1，故選B. 【知識(shí)點(diǎn)】30所對(duì)直角邊是斜邊的一半；直角三角形斜邊的中線等于斜邊第一半；中位線定理 5. （xx四川省宜賓市，5，3分）在ABCD中，若∠BAD與∠CDA的角平分線交于點(diǎn)E，則△AED的形狀是（ ） A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不能確定 【答案】B 【解析】如圖， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180， ∵AE和DE是角平分線， ∴∠EAD=∠BAD，∠ADE=∠ADC， ∴∠EAD+∠ADE=（∠BAD+∠ADC）=90， ∴∠E=90， ∴△ADE是直角三角形，故選擇B． 【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì) 6.（xx寧波市，7題，4分） 如圖，在 ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,E是邊CD的中點(diǎn),連結(jié)OE若∠ABC =60∠BAC=80，則∠1的度數(shù)為 A．50 B．40 C．30 D．20 【答案】B 【解析】解：∵∠ABC =60∠BAC=80 ∴∠ACB =40 又∵平行四邊形ABCD ∴AD∥BC；AO=CO ∴∠ACB =∠CAD=40 又∵E是邊CD的中點(diǎn) ∴OE∥AD ∴∠CAD=∠1=40 【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、中位線 1. （xx內(nèi)蒙古呼和浩特，8，3分）順次連接平面上A、B、C、D四點(diǎn)得到一個(gè)四邊形，從①AB//CD,②BC=AD,③∠A =∠C,④∠B =∠D四個(gè)條件中任取其中兩個(gè)，可以得出“四邊形ABCD是平行四邊形”這一結(jié)論的情況共有（ ） A.5種 B.四種C.3種 D.1種 【答案】C 【解析】共有6種組合：①②，①③，①④，②③，②④，③④。選①②時(shí)一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等不能證明四邊形的平行四邊形；選①③一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的可以證明兩組對(duì)邊分別平行；①④同①③一樣可以判定；②③連接四邊形的一條對(duì)角線，得到兩個(gè)三角形滿足兩邊分別相等，且其中一邊的對(duì)角相等，不能判定兩個(gè)三角形全等，從而不能得到四邊形是平行四邊形；②④與②③道理相同；③④兩組對(duì)角分別相等可以判定四邊形是平行四邊形。 【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定方法 2. （xx河南，9，3分）如圖,已知AOBC的頂點(diǎn)O（0，0）,A（1，2）,點(diǎn)B在x軸正半軸上,按以下步驟作圖：①以點(diǎn)O為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑作弧,分別交邊OA,OB于點(diǎn)D,E；②分別以點(diǎn)D,E為圓心,大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)F；③作射線OF,交邊AC于點(diǎn)G．則點(diǎn)G的坐標(biāo)為 （A）(,2)　 （B）(,2)　 （C）(,2) （D）(,2) 【答案】A 【思路分析】本題求點(diǎn)G的坐標(biāo)，關(guān)鍵是求AG的長(zhǎng)度.“尺規(guī)作圖”作出了∠AOB的角平分線，即∠AOF=∠BOF,再由平行四邊形的性質(zhì)“平行四邊形對(duì)邊平行”即OB//AC和平行線的性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”即∠AGO=∠GOE，可得到∠AGO=∠AOG,故ΔAOG是等腰三角形，則AO=AG，從而求得AG的長(zhǎng)度。 【解題過(guò)程】解：如圖，作AM⊥x軸于點(diǎn)M，GN⊥x軸于點(diǎn)N. 由題意知OF平分∠AOB,即∠AOF=∠BOF ∵四邊形AOBC是平行四邊形 ∴AC//OB ∴AM=GN，∠AGO=∠GOE ∴∠AGO=∠AOG ∴AO=AG ∵A（1，2） ∴AM=2，AH=MO=1，AO= ∴AG=AO=,GN=AM=2, HF=AF-AH=-1 ∴G（1，2） 故答案為A. 【知識(shí)點(diǎn)】尺規(guī)作圖，角平分線，平行四邊形，內(nèi)錯(cuò)角，等腰三角形，勾股定理 3. （xx廣西玉林，8題，3分）在四邊形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC從以上選擇兩個(gè)條件使四邊形ABCD為平行四邊形的選法共有 A.3種 B.4種 C.5種 D.6種 【答案】B 【解析】平行四邊形判定一：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形：①②；平行四邊形判定二：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形：③④；平行四邊形判定三：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形：①③或②④；共有4種選法，故選B 【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定 二、填空題 1. （xx湖南衡陽(yáng)，17，3分）如圖，?ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且AD≠CD，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC，交AD于點(diǎn)M.如果△CDM的周長(zhǎng)為8，那么的周長(zhǎng)是 ． 【答案】16 【解析】解：在?ABCD中，AD=BC，AB=CD， ∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，OM⊥AC， ∴MO為AC的垂直平分線， ∴MC=MA， ∴△CDM的周長(zhǎng)=MC+MD+CD=MA+MD+CD=AD+CD=8， ∴平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)=2（AD+CD）=16． 【知識(shí)點(diǎn)】 2. （xx江蘇泰州，13，3分）如圖，□ABCD中，、相交于點(diǎn)，若，，則 的周長(zhǎng)為 . 【答案】14 【解析】在□ABCD中，，，，∴，∴△BOC的周長(zhǎng)為14. 【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì) 3. （xx江蘇泰州，14，3分）如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90，E、F分別為AC、BD的中點(diǎn)，∠D=α，則∠BEF的度數(shù)為 .（用含α的式子表示） 【答案】 【解析】∵∠ACD=90，∴∠CAD=90－∠D=90－α，∵E、F分別為AC、BD的中點(diǎn)，∴EF∥AD，∴∠CEF=∠CAD=90－α，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD=90－α，∵∠ABC=90，E為AC的中點(diǎn)，∴AE=BE，∴∠EBA=∠BAC=90－α，∴∠BEC=180－2α，∴∠BEF=270－3α. 【知識(shí)點(diǎn)】三角形中位線，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì) 4. （xx山東臨沂，17，3分）如圖，在□ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC.則BD＝ ． 第17題圖 【答案】4 【解析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，∵□ABCD，∴AD=BC=6，∵AC⊥BC，∴AC==8=DE，∵BE=BC＋CE=6＋6=12，∴BD=. 【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形 勾股定理 輔助線 5. （xx山東省淄博市，15，4分）在如圖所示的ABCD中，AB=2，AD=3，將△ACD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)D落在△ABC所在平面內(nèi)的點(diǎn)E處，且AE過(guò)BC的中點(diǎn)O，則△ADE的周長(zhǎng)等于_______________. 【答案】10 【解析】由AD∥CB、AC平分∠DAE可得OA=OC，∵O為BC中點(diǎn)，∴OB=OC=OA，∴∠B=∠BAO，∵∠B=∠D，∠D=∠E，∴∠BAO=∠E，∴EC∥AB，∴D、C、E在同一條直線上，從而可得AD=AE=3，ED=4，∴△ADE的周長(zhǎng)為10. 【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定；平行四邊形的性質(zhì) 6.（xx天津市，17，3）如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，EF⊥AC于點(diǎn)F，G為EF的中點(diǎn)，連接DG，則DG的長(zhǎng)為 ． 【答案】 【解析】分析：連接DE，構(gòu)造直角三角形，可得DG的長(zhǎng). 解：連接DE， ∵D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)， ∴DE∥AC，2DE=AC=4,EC=2, ∵EF⊥AC ∴DE⊥EF ∴△DEG為直角三角形， 在Rt△EFC中,EC=2, ∠C=60, ∴ ∵G為EF的中點(diǎn) ∴ 在Rt△DEG中,DE=2, 由勾股定理得， 故答案為. 【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；三角形中位線的性質(zhì)；勾股定理1. （xx甘肅天水，T17，F(xiàn)4）將平行四邊形OABC 放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為____. 【答案】2. 【解析】因?yàn)樗倪呅蜲ABC是平行四邊形， 所以BC=OA=3. 得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3+1=4，縱坐標(biāo)為2，所以點(diǎn)B（4，2）. 【知識(shí)點(diǎn)】平面直角坐標(biāo)系，平行四邊形的性質(zhì) 2. （xx陜西，14，3分）如圖，點(diǎn)O是□ABCD的對(duì)稱中心，AD＞AB，E、F是AB邊上的點(diǎn)，且EF=AB；G、H是BC邊上的點(diǎn)，且GH＝BC．若S1，S2分別表示△EOF和△GOH的面積，則S1與S2之間的等量關(guān)系是 ． 【答案】2S1=3S2(，均正確) 【思路分析】連接AC、BD．根據(jù)等底等高的三角形面積相等，得到S△AOB=S△BOC．再利用△OEF與△AOB同高，從而得出S1與△AOB面積的關(guān)系，同理可得S2與△BOC面積的關(guān)系，即可得出S1與S2之間的等量關(guān)系． 【解題過(guò)程】連接AC、BD． ∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴AO=OC． ∴S△AOB=S△BOC． ∵EF=AB， ∴S1=S△AOB． ∴S△AOB=2S1 ∵GH＝BC， ∴S2=S△BOC． ∴S△BOC=3S2． ∴2S1=3S2． 【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形 三、解答題 1. （xx浙江金華麗水，20，8分）如圖，在66的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上．試在各網(wǎng)格中畫出頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，面積為6，且符合相應(yīng)條件的圖形． 【思路分析】根據(jù)題意畫出符合相應(yīng)條件的圖形． 【解題過(guò)程】解：如圖， 【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的面積；三角形的面積 2. （xx浙江衢州，第18題，6分）如圖，在?ABCD中，AC是對(duì)角線，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)。 第18題圖 求證：AE＝CF。 【思路分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判斷與性質(zhì)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明三角形全等．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到∠BAE=∠DCF，從而容易證明△ABE與△CDF全等，從而得到答案。 【解題過(guò)程】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB//CD，AB=CD，∴∠BAE=∠DCF， ∵BE垂直AC，DF垂直AC，∴∠AEB=∠CFD=90∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF。 【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判斷與性質(zhì)； 3. （xx湖南岳陽(yáng)，18，6分）如圖，在平行四邊形中，，求證：四邊形是平行四邊形. 【思路分析】首先根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD=BC，∠A=∠C，AB=CD，然后根據(jù)AE=CF可得△ADE≌△CBF，進(jìn)而得出DE=BF，進(jìn)而證明出結(jié)論. 【解題過(guò)程】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD=BC，∠A=∠C，AB=CD. ∵AE=CF， ∴BE=DF. ∵在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS） ∴DE=BF， ∴四邊形BFDE是平行四邊形. 【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì) 4. （xx江蘇無(wú)錫，18，3分） 如圖，已知∠XOY=60，點(diǎn)A在邊OX上，OA=2.過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OY于點(diǎn)C，以AC為一邊在∠XOY內(nèi)作等邊△ABC.點(diǎn)P是△ABC圍成的區(qū)域（包括各邊）內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD∥OY交OX于點(diǎn)D，作PE∥OX交OY于點(diǎn)E.設(shè)OD=a，OE=b，則a+2b的取值范圍是 . 【答案】2≤a+2b≤4 【思路分析】利用連接AP，利用已知條件可以證明△ADP是等邊三角形，進(jìn)而得到AD=PD=b，由OD=PE=a，OA=2可知a+b=2，∴a+2b=b+2，然后根據(jù)點(diǎn)P是△ABC圍成的區(qū)域（包括各邊）內(nèi)的一點(diǎn)，確定b的取值范圍即可得到結(jié)論. 【解題過(guò)程】∵PD∥OY，PE∥OX， ∴四邊形PEOD是平行四邊形，PD⊥AC，∠PDA=∠XOY=60， ∴OD=PE=a. 連接AP，則△ADP是等邊三角形， ∴AD=PD=a. ∴OA=AD+OD=PD+PE=a+b=2， ∴a+2b=b+2. ∵點(diǎn)P是△ABC圍成的區(qū)域（包括各邊）內(nèi)的一點(diǎn)， ∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，b取得最小值0； 當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，b取得最大值，作BM⊥AC于M，延長(zhǎng)線交OA于N， 此時(shí)，MN=OC=OA=， BM======， ∴b=BN=BM+MN=. ∴0≤b≤2， ∴2≤b+2≤4， 即2≤a+2b≤4. 【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、三線合一、勾股定理、三角形中位線的判定和性質(zhì)、不等式的基本性質(zhì) 5. （xx江蘇無(wú)錫，21，8分）如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊BC、AD的中點(diǎn)，求證：∠ABF=∠CDE. 【思路分析】利用平行四邊形的性質(zhì)證明△ABF≌△CDE，進(jìn)而得到結(jié)論 【解題過(guò)程】∵四邊形ABCD是平行四邊形中， ∴∠A=∠C，AB=CD，AD=BC， ∵E、F分別是邊BC、AD的中點(diǎn)， ∴AF=CE. 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）， ∴∠ABF=∠CDE. 【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的定義、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì) 6.（xx重慶B卷，24，10）如圖，在□ABCD中，∠ACB＝45，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，BE＝BA，BF⊥AC于點(diǎn)F，BF的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)G．點(diǎn)H在BC的延長(zhǎng)線上，且CH＝AG，連接EH． （1）若BC＝12，AB＝13，求AF的長(zhǎng)； （2）求證：EB＝EH． 【思路分析】（1）在Rt△FBC中，由sin∠FCB＝，求出BF＝12sin45＝12＝12；在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF＝＝5． （2）本題有兩種證法，一是在BF上取點(diǎn)M，使AM＝AG，連接ME、GE．通過(guò)證明四邊形AMEG是正方形，進(jìn)而得到∠AMB＝∠HCE＝45，BM＝CE，AM＝CH，于是△AMB≌△CHE，從而EH＝AB，進(jìn)而EB＝EH．第二種方法是連接EG，GH．通過(guò)證明△GBE≌△GHE（SAS）鎖定答案． 【解題過(guò)程】 24．解：（1）∵BF⊥AC， ∴∠BFC＝∠AFB＝90． 在Rt△FBC中，sin∠FCB＝，而∠ACB＝45，BC＝12， ∴sin45＝． ∴BF＝12sin45＝12＝12． 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF＝＝5． （2）方法一：如下圖，在BF上取點(diǎn)M，使AM＝AG，連接ME、GE． ∵∠BFC＝90，∠ACB＝45， ∴△FBC是等腰直角三角形． ∴FB＝FC． ∵在□ABCD中，AD∥BC， ∴∠GAC＝∠ACB＝45． ∴∠AGB＝45． ∵AM＝AG，AF⊥MG， ∴∠AMG＝∠AGM＝45，MF＝GF． ∴∠AMB＝∠ECG＝135． ∵BA＝BE，BF⊥AE， ∴AF＝EF． ∴四邊形AMEG是正方形． ∴FM＝FE． ∴BM＝CE． 又∵CH＝AG， ∴CH＝AM． ∴△AMB≌△CHE． ∴EH＝AB． ∴EH＝EB． 方法二：如下圖，連接EG，GH． ∵BF⊥AC于點(diǎn)F，BA＝BE， ∴∠ABF＝∠EBF． ∵GB＝GB， ∴△GBA≌△GBE（SAS）． ∴∠AGB＝∠EGB． 在△FBC中，∵∠BFC＝90，∠ACB＝45， ∴∠FBC＝45． ∵在□ABCD中，AD∥BC， ∴∠GAC＝∠ACB＝45，∠AGB＝∠FBC＝45． ∴∠EGB＝45． ∵CH＝AG， ∴四邊形AGHC是平行四邊形． ∴∠BHG＝∠GAC＝45． ∴∠BHG＝∠GBH＝45． ∴GB＝GH，∠BGH＝90． ∴∠HGE＝∠BGE＝45． ∵GE＝GE， ∴△GBE≌△GHE（SAS）． ∴EH＝EB． 【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理 等腰三角形的性質(zhì) 全等三角形 平行四邊形 7. （xx山東省淄博市，23，9分） （1）操作發(fā)現(xiàn)： 如圖①，小明畫了一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外側(cè)分別以AB、AC為腰作了兩個(gè)等腰直角三角形ABD、ACE.分別取BD、CE的中點(diǎn)M，N，G.連接GM，GN，小明發(fā)現(xiàn)了：線段GM與GN的數(shù)量關(guān)系是_________；位置關(guān)系是__________. （2）類比思考： 如圖②，小明在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入思考，把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形，其中AB＞AC，其它條件不變，小明發(fā)現(xiàn)上述的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由. （3）深入探究： 如圖③，小明在（2）的基礎(chǔ)上，又作了進(jìn)一步的探究，向△ABC的內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形ABD，ACE.其它條件不變，試判斷△GMN的形狀，并給予證明. 【思路分析】（1）通過(guò)觀察可得兩條線段的關(guān)系是垂直且相等；（2）連接BE、CD，可得△ACD≌△AEB，從而得DC⊥BE，DC=BE，利用中位線得GM∥CD且等于CD的一半、GN∥BE且等于BE的一半，從而得到MG和GN的關(guān)系；（3）連接BE、CD，仿照（2）依然可得相同的結(jié)論. 【解題過(guò)程】（1）操作發(fā)現(xiàn)：線段GM與GN的數(shù)量關(guān)系GM=GN；位置關(guān)系GMGN （2）類比思考：上述結(jié)論仍然成立 理由如下：如圖②所示，連接CD、BE相交于點(diǎn)O，BE交AC于點(diǎn)F ∵M(jìn)、G是BD、BC的中點(diǎn)，∴MG∥CD，MG=CD； 同理可得NG∥BE，NG=BE， ∵∠DAB=∠EAC，∴∠DAC=∠BAE， 又∵AD=AB，AC=AE， ∴△ADC≌△ABE，∴∠AEB=∠ACD，DC=BE. ∴GM=GN. ∵∠AEB+∠AFE=90， ∴∠OFC+∠ACD=90 ∴∠FOC=90， 易得∠MGN=90，∴GM⊥GN. （3）深入探究：△GMN是等腰直角三角形 證明如下：連接BE、CD，CE與GM相交于點(diǎn)H ∵M(jìn)、G是BD、BC的中點(diǎn)，∴MG∥CD，MG=CD；同理NG∥BE，NG=BE. ∵∠DAB=∠EAC，∴∠DAC=∠BAE，又∵AD=AB，AC=AE，∴△ADC≌△ABE，∴∠AEB=∠ACD，DC=BE. ∴GM=GN，∵GM∥CD，∴∠MHC+∠HCD=180.∴∠MHC+（45+∠ACD）=180. ∴∠MHC+45+∠AEB=180，∴∠MHC+45+（45+∠CEB）=180.∴∠MHC+∠CEB=90， ∴∠GNH+∠GHN=90.∴∠NGM=90，即GM⊥GN.∴△GNM是等腰直角三角形. 【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)；三角形中位線；等腰三角形性質(zhì)；平行線的性質(zhì) 8. （xx浙江溫州，18，8）如圖，在四邊形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，AD//EC， ∠AED=∠B. （1）求證：△AED≌△EBC. （2）當(dāng)AB=6時(shí)，求CD的長(zhǎng). 【思路分析】（1）利用平行線的性質(zhì)得∠A=∠BEC再用ASA證明△AED≌△EBC （2）利用一組對(duì)邊AD,EC平行且相等得四邊形AECD是平行四邊形得CD=AE=3 【解題過(guò)程】解(1)∵AD∥EC,∠A=∠BEC E是AB中點(diǎn),∴AE=BE ∵∠AED=∠B,∴△AED≌△EBC (2)∵△AED≌△EBC,∴AD=EC ∵AD∥EC,∴四邊形AECD是平行四邊形, ∴CD=AE.∵AB=6, ∴CD=AB=3 【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形，中點(diǎn)定義，平行四邊形的判定和性質(zhì) 1. （xx湖北黃岡，20題，8分）如圖，在ABCD中，分別以邊BC，CD作腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF=∠CDE，連接AF，AE. （1）求證：△ABF≌△EDA； （2）延長(zhǎng)AB與CF相交于G，若AF⊥AE，求證BF⊥BC. 第20題圖 【思路分析】（1）由平行四邊形得到對(duì)邊相等，對(duì)角相等，再由題上已知條件得到兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊相等，通過(guò)等量代換，得到∠ABF=∠EDA，故全等可證；（2）證垂直即證90的角，將∠FBC分為兩個(gè)角∠FBG和∠CBG，通過(guò)等量代換，得到∠FBC=∠EAF，即證得垂直 【解析】 （1）在ABCD中，AB=DC，BC=AD，∠ABC=∠ADC，AD∥BC，因?yàn)锽C=BF，CD=DE，所以AB=DE，BF=AD，又因?yàn)椤螩BF=∠CDE，所以∠ABF=360-∠ABC-∠CBF，∠EDA=360-∠ADC-∠CDE，所以∠ABF=∠EDA，又因?yàn)锳B=DE，BF=AD，所以△ABF≌△EDA； （2）由（1）知∠EAD=∠AFB，∠GBF=∠AFB+∠BAF，因?yàn)锳D∥BC，所以∠DAG=∠CBG，所以∠FBC=∠FBG+∠CBG=∠EAD+∠FAB+∠DAG=∠EAF=90，所以BF⊥BC 【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定，三角形外角 2. （xx江蘇淮安，19，8）如圖，如圖，在□ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O 的直線分別交AD、BC于點(diǎn)E、F.求證：AE=CF 【思路分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)先證△AOE≌△COF，即可證出AE＝CF． 【解析】證明：∵AC 、BD為□ABCD的對(duì)角線 ∴AO=CO,AD∥BC ∵AD∥BC ∴∠EAO=∠COF ∵∠AOE=∠COF ∴△AOE≌△COF ∴AE=CF 【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；對(duì)頂角相等 3. （xx福建A卷，18，9）如圖，□ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，EF過(guò)點(diǎn)O，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．求證：OE=OF. 【思路分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和利用全等三角形來(lái)證明兩條線段相等，解題的關(guān)鍵是從平行四邊形的性質(zhì)中得到三角形全等的條件. 利用平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥CB且OB=OD，再利用平行線的性質(zhì)得到∠ODE=∠OBF，即可證得△AOE≌△COF. 【解析】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AD∥CB，OB=OD， ∴∠ODE=∠OBF. 又∵∠DOE=∠BOF， ∴△DOE≌△BOF， ∴OE=OF. 【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)與判定；三角形全等的判定與性質(zhì) 4. （xx福建B卷，18，9）如圖，□ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，EF過(guò)點(diǎn)O，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．求證：OE=OF. 【思路分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和利用全等三角形來(lái)證明兩條線段相等，解題的關(guān)鍵是從平行四邊形的性質(zhì)中得到三角形全等的條件. 利用平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥CB且OB=OD，再利用平行線的性質(zhì)得到∠ODE=∠OBF，即可證得△AOE≌△COF. 【解題過(guò)程】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AD∥CB，OB=OD， ∴∠ODE=∠OBF. 又∵∠DOE=∠BOF， ∴△DOE≌△BOF， ∴OE=OF. 【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)與判定；三角形全等的判定與性質(zhì) 5. （xx湖北省孝感市，18，8分）如圖，，，，在一條直線上，已知，，，連接.求證：四邊形是平行四邊形. 【思路分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出和，由和等式的性質(zhì)得出BC=EF，進(jìn)而根據(jù)“AAS”得出，可知.最后結(jié)合 并根據(jù)平行四邊形的判定定理“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得出四邊形是平行四邊形. 【解題過(guò)程】證明：∵，∴. ∵，∴. ∵，∴，∴. 在和中，，∴(ASA). ∴.∵，∴四邊形是平行四邊形. 【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；全等三角形的判定；平行四邊形的判定. 6.（xx江蘇省宿遷市，22，8）如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CB，AD的延長(zhǎng)線上，且BE＝DF，EF分別與AB，CD交于點(diǎn)G，H．求證：AG＝CH． 【思路分析】所證兩條線段位于兩個(gè)三角形中，∴考慮利用三角形全等證明． 【解題過(guò)程】∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴∠A＝∠C，AD＝BC，AD∥BC． ∴∠E＝∠F． 2分 又∵BE＝DF， ∴AD＋DF＝BC＋BE． 即AF＝CE． ∴△AGF≌△CHE． 4分 ∴AG＝CH． 2分 【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等，平行四邊形的性質(zhì)