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2019年九年級數學上冊 22.3 實際問題與一元二次方程教案 新人教版 一、教學目標 1.會利用一元二次方程解決簡單的圖形問題. 2.培養(yǎng)分析問題解決問題的能力，發(fā)展應用意識. 二、教學重點和難點 1.重點：利用一元二次方程解決簡單的圖形問題. 2.難點：根據圖形問題列方程. 三、教學過程 （一）創(chuàng)設情境，導入新課 師：前面我們學習了有關一元二次方程的知識，我們學習了什么是一元二次方程，學習了什么是一元二次方程的根，學習了如何解一元二次方程.現在，老師要同學們想這樣一個問題：為什么要學習這些知識？學習這些知識的目的是什么？（稍停后再叫學生） 生：……（多讓幾名同學發(fā)表看法） 師：和一元一次方程一樣，一元二次方程也是解決實際問題的工具.學習一元二次方程不是為了什么，而是為了解決實際問題.從這節(jié)課開始，我們來學習如何利用一元二次方程解決實際問題（板書課題：22.3實際問題與一元二次方程）. 師：下面我們來看一個例子. （二）嘗試指導，講授新課 （師出示下面的例題） 例 扎西家有一個長方形院子，它的長比寬多3米，面積為54平方米，院子的長和寬各是多少米？ 師：大家把這個題目默讀幾遍.（生默讀） 師：題目要求院子的長和寬，我們設院子的長為x米，則院子的寬為多少米？ 生：(x-3)米（師板書：解：設院子的長為x米，則院子的寬為(x-3)米）. 師：讀了題目，又設好了未知數，你能按題目的意思畫一個圖嗎？大家試一試. （生畫圖，師巡視） 師：我們一起來畫圖.扎西家有一個長方形的院子（邊講邊畫一個長方形），現在設這個院子的長為x米（邊講邊標：x米），則寬為(x-3)米（邊講邊標：(x-3)米），院子的面積為54平方米（邊講邊標：面積54平方米，畫好的圖如下所示）. 師：根據這個圖，大家列一列方程. （生列方程，師巡視） 師：（板書：根據題意列方程，得）列出的方程是什么？ 生：x(x-3)=54.（多讓幾名同學回答，然后師板書：x(x-3)=54） 師：（指方程）列出的方程是一個一元二次方程，大家把它整理成一般形式.（生整理方程） 師：整理后的方程是什么？ 生：x2-3x-54=0（師板書：整理，得x2-3x-54=0）. 師：（指x2-3x-54=0）大家用公式法解這個方程. （生解方程，師巡視） 師：方程的兩個根x1等于什么？x2等于什么？ 生：x1=9，x2=-6（師板書：解方程，得x1=9，x2=-6，如有必要師可在黑板的其它地方板演解方程過程） 師：（指準x(x-3)=54）這里的x表示什么？（稍停）表示院子的長，院子的長不能是負數，（指準x1=9，x2=-6）所以x2=-6不符合題目的意思，要舍去（板書：（不合題意，舍去））.所以院子的長為9米（板書：答：院子的長為9米）. 師：院子的寬為多少米？ 生：寬為6米.（師板書：寬為6米） 師：這道題目做完了，做了這道題目，誰來歸納一下怎么利用一元二次方程解決實際問題？（讓生思考一會兒后再叫學生） 生：……（讓幾名同學回答） 師：（指準例題）利用一元二次方程解決實際問題，第一步要讀題，反復地讀題，有的時候還可以畫一畫圖，通過讀題畫圖弄清題目的意思；第二步設未知數；第三步根據題目的意思列出一元二次方程；第四步解一元二次方程，一元二次方程的根有兩個，要根據題意來取舍解出的根，-6這個根不符合題目意思，要舍去；第五步答. 師：利用一元二次方程解決實際問題就這么五步，實際上與利用一元一次方程解決實際問題的步驟是一樣的. 師：下面就請同學們自己來做兩個練習. （三）試探練習，回授調節(jié) 1.完成下面的解題過程： 一個直角三角形的兩條直角邊相差5cm，面積是7cm2,求兩條直角邊的長. 解：設一條直角邊的長為 cm，則另一條直角邊的長為 cm. 根據題意列方程，得 . 整理，得 . 解方程，得 x1= ，x2= （不合題意，舍去）. 答：一條直角邊的長為 cm，則另一條直角邊的長為 cm. 2.一個菱形兩條對角線長的和是10cm，面積是12cm2， (1)求菱形的兩條對角線長； (2)求菱形的周長. （提示：菱形的面積=兩條對角線積的一半） （四）歸納小結，布置作業(yè) 師：（指例題）本節(jié)課我們學習了一個例題，大家再看一看這個例題，回顧一下利用一元二次方程解決問題有哪幾個步驟. （作業(yè)：P48習題1(1)(2)2.3.） 四、板書設計（略） 課題：22.3實際問題與一元二次方程（第2課時） 一、教學目標 1.會利用一元二次方程解決傳播問題. 2.培養(yǎng)分析問題解決問題的能力，發(fā)展應用意識. 二、教學重點和難點 1.重點：利用一元二次方程解決傳播問題. 2.難點：根據傳播問題列方程. 三、教學過程 （一）基本訓練，鞏固舊知 1.填空： (1)有一人得了流感，他把流感傳染給了10個人，共有 人得流感；第一輪傳染后，所有得流感的人每人又把流感傳染給了10個人，經過兩輪傳染后，共有 人得流感. (2)有一人得了流感，他把流感傳染給了x個人，共有 人得流感；第一輪傳染后，所有得流感的人每人又把流感傳染給了x個人，經過兩輪傳染后，共有 人得流感. （(1)題答案為11，121，(2)題答案為1+x，1+x+x(x+1)，先讓生自己做，然后師進行講解） （二）創(chuàng)設情境，導入新課 師：和一元一次方程一樣，利用一元二次方程可以解決實際問題，上節(jié)課我們做了一個例題，本節(jié)課我們再來看一個例題. （三）嘗試指導，講授新課 （師出示下面的例題） 例 有一人得了流感，經過兩輪傳染后，共有121人得了流感，每輪傳染中平均每一個人傳染了幾個人？ 師：大家把這個題目好好默讀幾遍.（生默讀） 師：誰能不看黑板說出題目的意思？ 生：……（讓幾名同學說） 師：這個題目怎么設？ 生：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.（師板書：解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人） 師：（在黑板的其它地方板書：第一輪后）設平均一個人傳染了x個人，那么第一輪后，共有多少人得了流感？ 生：1+x.（多讓幾名同學回答，然后師板書：1+x） 師：（在黑板的其它地方板書：第二輪后）那么第二輪后，共有多少人得了流感？（讓生思考一會兒再叫學生） 生：1+x+x(1+x).（多讓幾名同學回答，然后師板書：1+x+x(1+x)） 師：下面大家根據題目的意思列一列方程. （生列方程，師巡視） 師：（板書：根據題意列方程，得）列出的方程是什么？ 生：1+x+x(1+x)=121（生答師板書：1+x+x(1+x)=121）. 師：（指方程）這是一個一元二次方程，怎么解這個方程？大家試著解一解.（生解方程） 師：解出來的結果是什么？ 生：x1=10，x2=-12（生答師板書：x1=10，x2=-12）. 師：（指方程）解這個方程是有講究的，很多同學用公式法解，發(fā)現數字比較大，解起來比較麻煩.實際上我們可以用直接開平方法來解.怎么用直接平方法來解？（稍停） 師：（指準1+x+x(1+x)=121）1+x+x(1+x)有公因式1+x，我們把1+x提取出來，得到(1+x)(1+x)（邊講邊在其它地方板書：(1+x)(1+x)），可見方程可以化成(1+x)2=121（邊講邊在其它地方板書：(1+x)2=121），用直接開平方法解這個方程，容易求出x1=10，x2=-12. 師：方程中的x表示每個人傳染的人數，所以x2=-12不符合題目的意思，要舍去（板書：（不合題意，舍去））. 師：最后還要答.（板書：答：每輪傳染中平均每個人傳染了10個人） 師：下面請大家自己來做一個練習. （三）試探練習，回授調節(jié) 2.完成下面的解題過程： 有一個人知道某個消息，經過兩輪傳播后共有49人知道這個消息，每輪傳播中平均一個人傳播了幾個人？ 解：設每輪傳播中平均一個人傳播了x個人. 根據題意列方程，得 . 提公因式，得( )2= . 解方程，得 x1= ，x2= （不合題意，舍去）. 答：每輪傳播中平均一個人傳播了 個人. 3.一個人知道某個消息，設每輪傳播中一個人傳播了x個人，填空： (1)經過一輪傳播后，共有 人知道這個消息； (2)經過兩輪傳播后，共有 人知道這個消息； (3)經過三輪傳播后，共有 人知道這個消息； (4)請猜想，經過十輪傳播后，共有 人知道這個消息. （五）歸納小結，布置作業(yè) 師：本節(jié)課我們學習了利用一元二次方程解決傳播問題.俗話說：一傳十，十傳百.這一傳十，十傳百是怎么么傳的？（指準方程）用方程來表示就是(1+x)2=121.如果傳了三輪，就成了(1+x)3；如果傳了十輪，就成了(1+x)10. （作業(yè)：P48習題1(3)(4)4，4題中91改為81） 四、板書設計（略） 課題：22.3實際問題與一元二次方程（第3課時） 一、教學目標 1.會利用一元二次方程解決增長問題. 2.培養(yǎng)分析問題解決問題的能力，發(fā)展應用意識. 二、教學重點和難點 1.重點：利用一元二次方程解決增長問題. 2.難點：根據增長問題列方程. 三、教學過程 （一）基本訓練，鞏固舊知 1.填空： (1)扎西家xx年收入是2萬元，以后每年增長10％，則扎西家xx年的收入是 萬元，xx年的收入是 萬元； (2)扎西家xx年收入是2萬元，以后每年的增長率為x，則扎西家xx年的收入是 萬元，xx年的收入是 萬元. （(1)題答案為2.2，2.42，(2)題答案為2(1+x)，2(x+1)2，先讓生自己做，然后師進行講解，并寫出過程） （二）創(chuàng)設情境，導入新課 師：上節(jié)課我們學習了利用一元二次方程解決傳播問題.什么是傳播問題？就是像“一傳十，十傳百”這樣的問題.與傳播問題類似的還有一種問題，叫什么問題？叫增長問題. 師：下面我們就來看一個增長問題. （三）嘗試指導，講授新課 （師出示下面的例題） 例 扎西家xx年收入是2萬元，xx年的收入是2.6萬元，求扎西家收入的年平均增長率. 師：大家把這個題目好好看幾遍.（生默讀） 師：誰能不看黑板說出題目的意思？ 生：……（讓幾名同學說） 師：這個題目怎么設？ 生：設扎西家收入的年平均增長率為x.（師板書：解：設扎西家收入的年平均增長率為x） 師：（指準板書）扎西家xx年收入是2萬元（板書：xx年 2萬元），年平均增長率為x，那么，xx年扎西家的收入是多少萬元？（板書：xx年） 生：2(1+x).（生答師板書：2(1+x)萬元） 師：（指準板書）xx年收入是2(1+x)萬元，年平均增長率x，那么，xx年扎西家的收入是多少萬元？（板書：xx年） 生：2(1+x)2.（生答師板書：2(1+x)2萬元） 師：知道了扎西家xx年的收入可以表示成2(1+x)2，下面大家根據題目的意思列一列方程. （生列方程，師巡視） 師：（板書：根據題意列方程，得）列出的方程是什么？ 生：2(1+x)2＝2.6（生答師書：2(1+x)2＝2.6）. 師：接下來解方程（板書：解方程，得）用什么方法解這個方程比較簡單？（稍停）用直接開平方法. （以下師在其它地方板書解方程過程） 師：得到x1≈0.14，x2≈-2.14（生答師板書：x1≈0.14，x2≈-2.14）. 師：扎西家的收入是增加的，所以增長率應該是正數，x2≈-2.14不符合題目的意思，要舍去（板書：（不合題意，舍去））. 師：扎西家收入的年平均增長率約為0.14，也就是14％（板書：答：扎西家收入的年平均增長率約為14％）. 師：下面請大家自己來做一個練習. （三）試探練習，回授調節(jié) 2.完成下面的解題過程： 某公司今年利潤預計是300萬元，后年利潤要達到450萬元，該公司利潤的年平均增長率是多少？ 解：設該公司利潤的年平均增長率是x. 根據題意列方程，得 . 解方程，得 x1≈ ，x2≈ （不合題意，舍去）. 答：該公司利潤的年平均增長率是 %. 3.某公司今年利潤預計是300萬元，設該公司利潤的年平均增長率是x，填空： (1)明年該公司年利潤要達到 萬元； (2)后年該公司年利潤要達到 萬元； (3)第三年該公司年利潤要達到 萬元； (4)第十年該公司年利潤要達到 萬元. （五）歸納小結，布置作業(yè) 師：本節(jié)課我們學習了利用一元二次方程解決增長問題，增長問題在現在生活中很常見，它與傳播問題類似，希望大家掌握解決這兩個問題的方法. （作業(yè)：P48習題1(5)(6)7）