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2019-2020年八年級數(shù)學(xué)上冊《平方差公式》教學(xué)設(shè)計(jì) 人教新課標(biāo)版 一、教學(xué)內(nèi)容解釋 人教社《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)》八年級上冊“15﹒2﹒1平方差公式” 平方差公式是整式的乘除運(yùn)算的延續(xù)，是后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，同時也是從一般到特殊的認(rèn)識過程的范例.對它的學(xué)習(xí)和研究豐富了教學(xué)內(nèi)容，也拓展了學(xué)生的視野. 平方差公式著重于研究平方差公式的發(fā)生過程.其發(fā)生過程便于學(xué)生掌握這一公式的結(jié)構(gòu)特征，更能理解公式中字母的廣泛含義.在教學(xué)過程中，特別是探討知識發(fā)生的過程，并和學(xué)生一起研究知識如何從一般到特殊概括得到公式，這將有助于訓(xùn)練學(xué)生的思維，使學(xué)生領(lǐng)會到數(shù)學(xué)的思想和方法. 在教學(xué)過程中，平方差公式的幾何意義的形成，學(xué)生通過對面積的思考，可以發(fā)現(xiàn)平方差公式與面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，拓展了學(xué)生的數(shù)形思維空間，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思考，進(jìn)而感受到幾何與代數(shù)內(nèi)在統(tǒng)一，同時強(qiáng)有力地培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神. 基于上述分析：本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是通過平方差公式的發(fā)生過程，理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而有意識的用平方差公式解決問題. 二、教學(xué)目標(biāo)解析 1、經(jīng)歷探究平方差公式的過程來推導(dǎo)平方差公式，理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，并能有意識地用平方差公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算；了解平方差公式的幾何背景. 2、在探究平方差公式的過程中，發(fā)展學(xué)生的符號感和推理、概括能力；通過平方差公式的幾何背景的了解，體會代數(shù)與幾何的內(nèi)在統(tǒng)一. 3、通過平方差公式的發(fā)生過程的探究，體會從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法；通過平方差公式的應(yīng)用，體會到數(shù)學(xué)符號表示運(yùn)算規(guī)律的簡捷.在學(xué)習(xí)過程中，體會到數(shù)學(xué)精神的嚴(yán)謹(jǐn)和思維的深刻性. 三、數(shù)學(xué)問題診斷分析 1、教師教學(xué)過程中可能存在的問題 （1）為了迎合新課標(biāo)，創(chuàng)設(shè)不切實(shí)際的情景； （2）不能有效地突破難點(diǎn)——平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，造成學(xué)生不能準(zhǔn)確地應(yīng)用公式； （3）過分地強(qiáng)調(diào)公式的形成，而造成教學(xué)過程的前重后輕，使學(xué)生在應(yīng)用處練習(xí)不夠； （4）過分的強(qiáng)調(diào)平方差公式的幾何意義，造成學(xué)生學(xué)習(xí)上的困難而影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極，同時也造成教學(xué)重點(diǎn)的混亂. 2、學(xué)生學(xué)習(xí)可能出現(xiàn)的問題 （1）不能掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，機(jī)械地套用公式； （2）在平方差公式的形成過程中，學(xué)有困難的學(xué)生跟不上優(yōu)生的節(jié)奏而產(chǎn)生畏難的情緒，少有學(xué)習(xí)的激情; （3）過分地去鉆平方差公式的幾何意義，造成在應(yīng)用處練習(xí)不夠. 3、教學(xué)難點(diǎn) （1）平方差公式的結(jié)構(gòu)特征及其有效地應(yīng)用； （2）平方差公式的幾何意義. 四、教學(xué)支持條件分析 在教學(xué)過程中運(yùn)用有效的教學(xué)手段：電子幻燈用于競賽；通過fiash的運(yùn)用，直觀、形象地展現(xiàn)幾何意義的推導(dǎo)，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；通過電子幻燈展現(xiàn)練習(xí)，提高效率. 五、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 活動一 競賽激智，建立模型，揭示公式 問題1 看誰能又快又準(zhǔn)地回答下面4個小題的計(jì)算結(jié)果.（教師用ppt逐個給出） (1) (5＋3)(5－3)﹦ (2) (0.5＋0.3)(0.5－0.3)﹦ (3) (5＋0.3)(5－0.3)﹦ (4) (0.5＋3)(0.5－3)﹦ （全部結(jié)果出來后）追問：你是如何計(jì)算的？ 設(shè)計(jì)意圖：以通過競賽為載體，以自主參與為教學(xué)形式，使學(xué)生從計(jì)算的快慢中產(chǎn)生疑惑：總是那幾個算得快，我怎么也能象他們那樣？進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的求知的熱情. 問題2：請計(jì)算下列多項(xiàng)式的積： (1) (x＋1)(x－1)﹦ (2) (m＋2)(m－2)﹦ (3) (2x＋1)(2x－1)﹦ (4) (x＋1)(x－1)﹦ （全部結(jié)果正確后）追問1：你們的計(jì)算結(jié)果有什么規(guī)律嗎？ 追問2：你發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的積的表達(dá)形式有什么規(guī)律嗎？ 學(xué)生總結(jié)：（1）計(jì)算的結(jié)果都是兩項(xiàng)的平方差，與以往兩項(xiàng)乘以兩項(xiàng)的結(jié)果大多是三項(xiàng)或四項(xiàng)不同；（2）這些兩項(xiàng)乘以兩項(xiàng)中，有一項(xiàng)是完全相同，另一項(xiàng)又是互為相反的；（3）結(jié)果是兩項(xiàng)的平方差，并且是完全相同項(xiàng)的平方減區(qū)互為相反項(xiàng)的平方. 師生互動：（a＋b）（a－b）﹦a2－b2 兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的記，等于這兩個數(shù)的平方差. 教師：（1）這個公式叫做（乘法的）平方差公式. （2）公式中的字母可以表示具體的數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式； （3）只要是符合公式的結(jié)構(gòu)特征，都可以用公式進(jìn)行計(jì)算. 學(xué)生練習(xí)：（教師用ppt展示） 1、下列多項(xiàng)式乘法中，能用平方差公式計(jì)算的有 A (x＋1)(1－x) B (a＋b)(b－a) C (－a＋b)(a－b) D (x2－y)( x ＋y2) E (－a－b)(a－b) F (c2－d2)(d2＋c2) 2、下面各式的計(jì)算對不對？如果不對，應(yīng)當(dāng)怎樣改正？ (1)（x＋2）（x－2）﹦x2－2； (2)(－3a－2)(3a－2)﹦9a2－4. 設(shè)計(jì)意圖：以學(xué)生熟悉的多項(xiàng)式的積為載體，以全部參與討論、歸納總結(jié)為教學(xué)形式，由于計(jì)算的結(jié)果與以往的結(jié)果在表現(xiàn)的形式上有大的差異，以及平方差公式的發(fā)生過程的探究，體會到從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法；通過選擇、填空等的練習(xí)讓學(xué)生了理解、掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，從心里感受這種一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法的魅力. 活動二 師生互動、感知代數(shù)、幾何的統(tǒng)一 師：請同學(xué)們將準(zhǔn)備的正方形紙板拿出； （1）設(shè)它的邊長為a（圖1），大家都知道它的面積為a2； （2）請同學(xué)們按圖2剪去一個邊長為b的小正方形，大家都知道剩下部分的面積為（a2－b2）； （3）請同學(xué)們將剩下的圖形剪成（沿圖2的虛線）兩個長方形，并將一邊長為b的小長方形拼到一邊長為a的長方形后得圖3；同學(xué)們都知道圖3的一邊長為（a＋b），另一邊長為（a－b），面積為（a＋b）（a－b）； （4）同學(xué)們比較圖2和圖3不難發(fā)現(xiàn)它們面積的關(guān)系. 生：它們的面積相等，即（a＋b）（a－b）﹦a2－b2. a－b a b a＋b 圖(1) 圖(2) 圖(3) 師：我們通過拼圖游戲給出了平方差公式的一種幾何解釋.這說明平方差公式具有直觀的幾何意義，也說明代數(shù)不只是計(jì)算，還有美妙的幾何意義，這實(shí)際就是數(shù)學(xué)魅力.下面我們再一次欣賞平方差公式的幾何意義（教師出示flash動畫） 設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生拼圖游戲，再通過教師的flash展示.學(xué)生直觀體驗(yàn)了平方差公式的幾何意義，感受代數(shù)不只是計(jì)算，還有美妙的幾何意義，親身經(jīng)歷了數(shù)學(xué)魅力所在. 活動三 例題分析、指導(dǎo)應(yīng)用、鞏固理解 例1 運(yùn)用平方差公式計(jì)算： (1)(3x＋2)(3x－2) (2)(b＋2a)(2a－b) (3)(－x＋2y)(－x－2y) 分析；（１）在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即 (3x＋2)(3x－2)﹦(3x)2－22 （a＋ b）（a－b）﹦a2 － b2 　　?。ǎ玻?2)調(diào)整成平方差公式形式計(jì)算. （3）這幾個題用平方差公式運(yùn)算簡便. 學(xué)生練習(xí)：（教師用ppt展示） 運(yùn)用平方差公式計(jì)算： (1)(a＋3b)(a－3b)； (2)(3＋2a)(－3＋2a)； (3)(x＋y)(x－y)； (4)(－mn－8)(－mn＋8) 設(shè)計(jì)意圖：通過一則平方差公式簡單的例題分析及應(yīng)用，鞏固理解了公式結(jié)構(gòu)特征，讓學(xué)生進(jìn)一步感受到這種一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法的魅力. 活動四 拓展分析、提升能力 例２　計(jì)算 (1)10298； (2)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5). 分析：只有符合公式要求的乘法，才能用公式簡化計(jì)算，其余的乘法運(yùn)算仍按乘法法則計(jì)算. 學(xué)生練習(xí)：（教師用ppt展示） 運(yùn)用平方差公式計(jì)算： （1）5149； （2）（3x＋4）（3x－4）－（2x＋3）（3x－2） 設(shè)計(jì)意圖：這是平方差公式的拓展例題分析及應(yīng)用，使學(xué)生進(jìn)一步體會平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，能進(jìn)一步靈活運(yùn)用乘法公式、法則進(jìn)行計(jì)算. 活動5 歸納小結(jié)、優(yōu)化概念、布置作業(yè) 通過學(xué)生小結(jié)，讓他們明確平方差公式及其結(jié)構(gòu)特征，體會數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵的由一般到特殊的思想，體驗(yàn)數(shù)學(xué)中代數(shù)與幾何的內(nèi)在統(tǒng)一. 布置作業(yè)：教科書第156頁第1題. 六、目標(biāo)檢測設(shè)計(jì) 1、填空 (1)（x＋4）（x ）﹦x2－16； (2)( )(2a－3)﹦9－4a2. 2、運(yùn)用平方差公式計(jì)算： （1）（x－y）（x＋y）； （2）（xy＋1）（xy－1）； （3）（2a－3b）（2a＋3b）； （4）（－2b＋5）（－2b－5）； （5）xxxx； (6)(y＋5)(y－1)－(y－2)(y＋2). 設(shè)計(jì)意圖：第1題是填空題，學(xué)生通過填空進(jìn)一步理解了平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，有利于后面的作業(yè)；第2題前4個小題直接用公式計(jì)算，便于所有的學(xué)生通過作業(yè)獲得學(xué)習(xí)的成功樂趣，后2個小題有一定的難度便于中等程度的學(xué)生跳一跳去摘取勝利的果實(shí)，少數(shù)學(xué)有余力的學(xué)生提高能力.作業(yè)由易到難的設(shè)計(jì)便于所有的學(xué)生從學(xué)習(xí)中獲得需要及不同的發(fā)展. 七、教學(xué)設(shè)計(jì)說明 通過學(xué)生已有的認(rèn)知、經(jīng)驗(yàn)入手，讓學(xué)生感到學(xué)數(shù)學(xué)的價(jià)值是用已知來解決未知的世界，感到學(xué)習(xí)的親切.學(xué)生學(xué)習(xí)過程中，通過動手操作、欣賞動畫，體驗(yàn)數(shù)學(xué)中代數(shù)與幾何的內(nèi)在統(tǒng)一.在學(xué)習(xí)過程中，例題的設(shè)置是由淺入深，讓每個學(xué)生感到學(xué)有所成，感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.整個過程貫穿平方差公式的結(jié)構(gòu)特征及由一般到特殊的思想的體驗(yàn)，親身經(jīng)歷了數(shù)學(xué)魅力所在.