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內(nèi)蒙古鄂爾多斯西部四校2018屆高三下學期期中聯(lián)考 數(shù)學（文）試卷 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1.已知集合，，則集合不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求出集合，由可知，由此可得結論. 【詳解】，因為，所以.因為，所以都滿足條件，顯然不滿足條件. 故選D. 【點睛】本題考查交集以及集合的包含關系，屬基礎題. 2.設復數(shù)滿足：（是虛數(shù)單位），則（ ） A. B. C. 4+2+21?2i D. 4?2+21+2i 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用復數(shù)的乘法運算計算即可. 【詳解】因為z2+i=2?2i，所以z=2?2i2+i=4+2+21?2i 故選C. 【點睛】本題考查復數(shù)的乘法運算，屬基礎題. 3.已知實數(shù)x,y滿足約束條件x≤2,x?2y+2≥0,x+y+2≥0,，則z=?x3+y的最大值為（ ） A. ?143 B. -2 C. 43 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 作出如圖所示的可行域，平移直線y=x3+z即可得到z=-x3+y的最大值. 【詳解】作出如圖所示的可行域為三角形ABC（包括邊界），把z=?x3+y改寫成y=x3+z，當且僅當動直線y=x3+z過點C2,2時，取得最大值為43 故選C. 【點睛】本題考查線性規(guī)劃的簡單應用，屬基礎題. 4.ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知b=4，c=32，sinB=23，則sinA的值為（ ） A. 10226 B. 624 C. 10?226 D. 6+24 【答案】A 【解析】 【分析】 根據(jù)題意，由正弦定理可得sinC=22，因為bb>0的左、右焦點分別為F1,F2，已知a=2，過F2的直線與橢圓C交于A,B兩點，且AF2=54，BF2=52，則橢圓C的離心率為（ ） A. 66 B. 12 C. 22 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】 根據(jù)題意在△AF2F1 中根據(jù)余弦定理可得cos∠AF2F1=4c2?65c，在△BF2F1 中cos∠BF2F1=4c2+410c，由 ∠AF2F1+∠BF2F1=π，可得4c2?65c+4c2+410c=0，求出c=63，即可得到橢圓C的離心率. 【詳解】根據(jù)題意在△AF2F1 中根據(jù)余弦定理可得 cos∠AF2F1=2c2+AF22?2a?AF222?2c?AF2=4c2?65c， 在△BF2F1 中cos∠BF2F1=2c2+BF22?2a?BF222?2c?BF2=4c2+410c，因為∠AF2F1+∠BF2F1=π，所以4c2?65c+4c2+410c=0，所以c=63，所以橢圓C的離心率為ca=66. 故選A. 【點睛】本題考查橢圓離心率的求法，解題的關鍵是利用余弦定理得到cos∠AF2F1，cos∠BF2F1. 10.對于三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0，定義f′′x是y=fx的導函數(shù)y=f′x的導函數(shù)，經(jīng)過討論發(fā)現(xiàn)命題：“一定存在實數(shù)p,q,r，使得fx=ax+p3+qx+p+r成立”為真，請你根據(jù)這一結論判斷下列命題： ①一定存在實數(shù)x1，使得f′x=0成立；②一定存在實數(shù)x2=?b3a，使得f″x2=0成立；③若x1+x2=?2p，則fx1+fx2=?2r；④若存在實數(shù)x3,x4，且x30分類討論，注意a>0時結合函數(shù)圖像求出實數(shù)的取值范圍，最后求并集即可. 【詳解】關于x的不等式ax-12lnx≤1在區(qū)間1,2上恒成立?關于x的不等式ax-12≤lnx在區(qū)間1,2上恒成立.顯然當a≤0時，關于x的不等式ax-12lnx≤1在區(qū)間1,2上恒成立.當a>0時，在同一坐標系內(nèi)分別作出y=ax-12，y=lnx的圖象，所以關于x的不等式ax-12≤lnx在區(qū)間1,2上恒成立? A點的位置不低于B點的位置?ln2≥a2-12?0b>0右頂點A的直線x+6y?2=0交橢圓C于另外一點B，已知點B的縱坐標為35. （1）求橢圓C的方程； （2）若直線y=kx?1k>0與橢圓C交于P,Q兩點P,Q分別在直線x+6y?2=0的上、下方，設四邊形APBQ的面積為S，求1+6k21+6kS的取值范圍. 【答案】（1）x24+y2=1；（2）65,9210. 【解析】 【分析】 （1）由已知得a=2，根據(jù)點B的縱坐標為35代入直線方程可得B的坐標為?85,35 ， 將B點坐標代入橢圓C的方程，可求出b，由此得到橢圓C的方程； （2）設Px1,y1，Qx2,y2，直線PQ的方程為y=kx-1，代入x24+y2=1得，1+4k2x2-8k2x+4k2-1=0，利用韋達定理可得x1-x2=43k2+11+4k2，則四邊形的面積為S=12?ABx1+6y1-237+x2+6y2-237=31+6k10x1-x2 故1+6k21+6kS=65?1+6k23k2+11+4k2=6598-184k2+12，由此可求1+6k21+6kS的取值范圍. 【詳解】解：（1）由已知得a=2，根據(jù)點B的縱坐標為35代入直線方程可得B的坐標為?85,35 ， 將B點坐標代入x2a2+y2b2=1得，-8524+352b2=1，解得b=1， 所以橢圓C的方程為x24+y2=1. （2）設Px1,y1，Qx2,y2，直線PQ的方程為y=kx-1， 代入x24+y2=1得，1+4k2x2-8k2x+4k2-1=0， x1+x2=8k21+4k2，x1x2=4k2-11+4k2， 因為k>0，所以x1-x2=x1+x22-4x1x2=8k21+4k22-4?4k2-11+4k2=43k2+11+4k2， 所以四邊形的面積為S=12?ABx1+6y1-237+x2+6y2-237 =123375x1+6y1-237-x2+6y2-237 =310x1-x2+6y1-y2=310x1-x2+6kx1-x2=31+6k10x1-x2， 所以1+6k21+6kS=65?1+6k23k2+11+4k2=6598-184k2+12， 因為k>0，所以98-184k2+12∈1,324，所以1+6k21+6kS的取值范圍是65,9210. 【點睛】本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題． 21.已知函數(shù)fx=x2+2xe?x. （1）求fx的極小值和極大值； （2）設曲線y=fx的切點橫坐標為，切線斜率為kt，令gt=ktett+2，當切線在y軸上的截距為正時，求gt的取值范圍. 【答案】（1）fx的極小值為f?2=2?22e2，fx的極大值為f2=2+22e2；（2）?∞,4?22. 【解析】 【分析】 （1）fx=x2+2xe-x的定義域為R，令得fx2-x2ex=0，x=2，列表可求fx的極小值和極大值. （2）由題可得曲線y=fx的切線的斜率為kt=ft=2-t2et，切線的方程為y-t2+2tet=2-t2etx-t，由切線在y軸上的截距為正可得t>-1，則gt=ktett+1=2-t2t+2，t>-1，令t+2=u>1，t=u-2，可求gt的取值范圍. 【詳解】（1）fx=x2+2xe-x的定義域為R，令得fx2-x2ex=0，x=2， x -∞,-2 -2 -2,2 2 2,+∞ fx - 0 + 0 - fx 單調(diào)減 極小值 單調(diào)增 極大值 單調(diào)減 所以fx的極小值為f-2=2-22e2，fx的極大值為f2=2+22e2. （2）由題可得曲線y=fx的切線的斜率為kt=ft=2-t2et， 切線的方程為y-t2+2tet=2-t2etx-t， 令x=0得，y=t3+t2et>0，解得，t>-1， 所以gt=ktett+1=2-t2t+2，t>-1， 令t+2=u>1，t=u-2， 所以y=2-u-22u=4-u+2u，其中u>1， 所以22≤u+2u，當且僅當u=2時取等號，所以gt的取值范圍為-∞,4-22. 【點睛】】本題考查利用導數(shù)求曲線的切線斜率，切線方程及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等知識，考查等價轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學思想方法，考查運用能力，屬難題． 請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分. 22.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程] 已知動點P,Q都在曲線C:x=acosαy=bsinα（α為參數(shù)，a,b是與α無關的正常數(shù)）上，對應參數(shù)分別為α與2α0<α<2π，M為PQ的中點. （1）求Mx,y的軌跡的參數(shù)方程； （2）作一個伸壓變換：Mx,y→Nxa,yb，求出動點NX,Y點的參數(shù)方程，并判斷動點NX,Y的軌跡能否過點1,0. 【答案】（1）x=a2cosα+cos2α,y=b2sinα+sin2α,（α為參數(shù)，0<α<2π，a,b是與α無關的正常數(shù)）；（2）動點NX,Y點的參數(shù)方程為X=cosα+cos2α2,Y=sinα+sin2α2,，不能過點1,0. 【解析】 【分析】 （1）利用參數(shù)方程與中點坐標公式即可得出； （2）由已知得，動點NX,Y點的參數(shù)方程為X=cosα+cos2α2,Y=sinα+sin2α2, 兩等式平方后相加得，4X2+4Y2=2+2cosα，若動點NX,Y的軌跡過點1,0，則4X2+4Y2=4，導出矛盾. 【詳解】解：（1）依題意得，Pacosα,bsinα，Qacos2α,bsin2α，因此Ma2cosα+a2cos2α,b2sinα+a2sin2α， M的軌跡的參數(shù)方程為x=a2cosα+cos2α,y=b2sinα+sin2α,（α為參數(shù)，0<α<2π，a,b是與α無關的正常數(shù)）. （2）由已知得，動點NX,Y點的參數(shù)方程為X=cosα+cos2α2,Y=sinα+sin2α2, 兩等式平方后相加得，4X2+4Y2=2+2cosα， 因為0<α<2π，所以0≤2+2cosα<4， 所以0≤4X2+4Y2<4， 若動點NX,Y的軌跡過點1,0，則4X2+4Y2=4，矛盾， 所以動點NX,Y的軌跡不能過點1,0. 【點睛】本題考查了參數(shù)方程與中點坐標公式、反證法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 23.[選修4-5：不等式選講] 已知函數(shù)fx=12x-2+2-x2. （1）求fx的最小值m； （2）若p,q,r∈R+，且p+q+r=1，證明：p2+r2q+p2+q2r+q2+r2p≥2. 【答案】（1）m=1；（2）詳見解析. 【解析】 【分析】 （1）利用絕對值三角不等式可求fx的最小值m； （2）利用基本不等式證明． 【詳解】解：（1）因為， 當且僅當，即時取等號，所以的最小值； （2）證明：由已知得， 因為，所以，，， 所以 .（當且僅當時“=”成立）. 【點睛】本題考查絕對值三角不等式的應用，基本不等式的應用，屬于中檔題．