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2019-2020年初中數(shù)學競賽輔導 第二十三講《生活中的數(shù)學(二)——地板磚上的數(shù)學》教案1 北師大版 　　隨著人們生活水平的提高，很多家庭都裝修房子，其中鋪地板磚就是一項重要的美化工作．當你看到地板磚展鋪成美麗的圖案時，你是否想到展鋪這美麗圖案的數(shù)學原理呢？如果你注意到的話，可能會對下面的簡單分析發(fā)生興趣． 　　地板磚展鋪的圖形，一般都是用幾種全等的平面圖形展鋪開來的，有時用由直線構成的多邊形組成的圖案，有時用由曲線組成的圖案，千變萬化．但是作為基礎還是用平面多邊形展鋪平面．有時雖然有曲線，卻常常是由多邊形和圓作適當變化而得到的．例如，一個由正方形展鋪的平面圖案(圖1－77(a))，如果對正方形用圓弧做一些變化(圖1－77(b))，那么把以上兩個圖形結合起來設計，就可由比較單調的正方形圖案，變化曲線形成花紋圖案了(圖1－77(c))． 　　由于多邊形是構成地板磚展鋪復雜圖形的基礎，因此，下面我們對利用多邊形展鋪平面圖形做些簡要分析． 　　例1 怎樣以三角形為基礎展鋪平面圖案． 　　分析與解 三角形是多邊形中最簡單的圖形，如果用三角形為基本圖形來展鋪平面圖案， 那么就要考慮三角形的特點．由于三角形的三個內角和為180，所以要把三角形的三個角集中到一起，就組成了一個平角．如果要在平面上一個點的周圍集中三角形的角，那么必須使這些角的和為兩個平角．因此，若把圖1－78中的三角形的三個內角集中在一起，并進行軸對稱變換或中心對稱變換，就可以得到集中于一點的六個角，它們的和為360，剛好覆蓋上這一點周圍的平面．變換的方法見圖1－79． 　　　　 　　在中心對稱的情況下，三角形不翻折，在軸對稱的情況下，三角形要翻折．如果把三角形正、反兩面涂上顏色，那么通過對稱變換，正、反兩面就會明顯地反映出來了． 　　由上面的分析可知，用三角形為基本圖形展鋪平面圖案，共有以下四種情況，如圖1－80． 　　例2 怎樣以四邊形為基礎展鋪平面圖案？ 　　分析與解 由于四邊形內角和為360，所以，任何四邊形都可以作為基本圖形來展鋪平面圖案．圖1－81中的(a)，(b)，(C)，(d)分別是以矩形、菱形、梯形、一般四邊形為基本圖形的平面展鋪圖案． 　　例3 怎樣以正多邊形為基本圖形展鋪平面圖案？ 　　分析與解 用正多邊形為基本圖形展鋪平面圖案，集中于一點的周圍的正多邊形的各個角的和應是360．例如，正五邊形一個內角為 正十邊形一個內角為 　　 　　如果把兩個正五邊形的內角與一個正十邊形的內角加起來，則其和為2108+144=360．但是它們并不能用來展鋪平面． 　　如果用同種的正n邊形來展鋪平面圖案，在一個頂點周圍集中了m個正n邊形的角．由于這些角的和應為360，所以以下等式成立 　　因為m，n都是正整數(shù)，并且m＞2，n＞2．所以m-2，n-2也都必定是正整數(shù)．所以當n-2=1，m-2=4時，則n=3，m=6；當n-2=2，m-2=2時，則n=4，m=4；當n-2=4，m-2=1時，則n=6，m=3．這就證明了只用一種正多邊形展鋪平面圖案，只存在三種情況： 　　(1)由6個正三角形拼展，我們用符號(3，3，3，3，3，3)來表示(見圖1－82)． 　　(2)由4個正方形拼展，我們用符號(4，4，4，4)來表示 　　(見圖1－83)． 　　(3)由3個正六邊形來拼展，我們用符號(6，6，6)來表示 　　(見圖1－84)． 　　如果用兩種正多邊形來拼展平面圖案，那么就有以下五種情況：(3，3，3，4，4)，(3，3，3，3，6)，(3，3，6，6)，(3，12，12)以及(4，8，8)．這五種情況中，(3，3，3，4，4)又可有兩種不同的拼展方法，參看下面六種拼展圖形(圖1－85)． 　　　 　　用三種正多邊形展拼平面圖形就比較難設計了．下面舉出兩例供同學們思考(圖1－86)． 　　有興趣的同學請自己構想出一兩個例子． 練習二十三 　　1．試用三角形和梯形這兩種多邊形拼展平面圖案． 　　2．試用形如圖1－87的圖形拼展平面圖案． 　　3．試用邊長為1的正三角形、邊長為1的正方形和兩腰為1、夾角為120的等腰三角形拼展平面圖案． 　　4．試用圓弧和多邊形(多邊形可以用圓弧割補)設計一種平面圖案． 　　5．試用一個正方形，仿照圖1－76(a)，(b)，(c)的變化方式，設計一種平面圖案．