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一元二次方程 一、選擇題 1. （xx四川瀘州，9題，3分）已知關于x的一元一次方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是（ ） A. B. C. 　 D. 【答案】C 【解析】由題可知，△＞0，即 (-2)2-4(k-1)＞0，解得k＜2 【知識點】一元二次方程跟的判別式，解不等式 2. （xx安徽省，7，4分）若關于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有兩個相等的實數根,則實數a的值為（ ） A. B.1 C. D. 【答案】A 【解析】將原方程變形為一般式，根據根的判別式△=0即可得出關于a的一元二次方程，解之即可得出結論． 解：原方程可變形為x+（a+1）x=0． ∵該方程有兩個相等的實數根， ∴△=（a+1）﹣410=0， 解得：a=﹣1． 故選：A． 【知識點】利用根的判別式確定二次方程解的情況 3. （xx甘肅白銀，7，3） 關于的一元二次方程有兩個實數根，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】:∵方程有兩個實數根，∴，解得：。 故選C 【知識點】一元二次方程根的判別式。一元二次方程有兩個不相等的實數根，則，一元二次方程有兩個相等的實數根，則，一元二次方程沒實數根，則。這里題干中說有兩個實數根，則根的判別式應是大于或等于0.這是不少同學易錯之處。 4. （xx湖南岳陽，11，4分）關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是 ． 【答案】k＜1. 【解析】解：∵一元二次方程有兩個不相等的實數根， ∴△=22-4k＞0，解得k＜1. 故答案為k＜1.. 【知識點】一元二次方程根的判別式的應用 5. （xx山東濰坊，11，3分）已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根x1，x2．若 則m的值是（ ） A．2 B．－1 C．2或－1 D．不存在 【答案】A 【思路分析】根據方程有兩個不相等的實數根可知△＞0，從而求出m的取值范圍，結合一元二次方程根與系數的關系代入求出m的值，再根據取值范圍進行取舍即可. 【解題過程】解：由題意得:, 解得：m＞－1. . 解得：m1=2，m2=－1(舍去) 所以m的值為2，故選擇A. 【知識點】一元二次方程根的判別式，根與系數的關系 6.（xx江蘇泰州，5，3分）已知、是關于的方程的兩根，下列結論一定正確的是( ) A. B. C. D.， 【答案】A 【解析】∵△=，∴無論a為何值，方程總有兩個不相等的實數根，根據“根與系數的關系”得，∴異號，故選A. 【知識點】根的判別式，根與系數的關系 7. （xx江蘇省鹽城市，8，3分）已知一元二次方程x2＋kx－3＝0有一根為1，則k的值為（ ）． A．－2 B．2 C．－4 D．4 【答案】B 【解析】把x＝1代入一元二次方程，得12＋k－3＝0，解得k＝2．故選B． 【知識點】一元二次方程的根 8. （xx山東臨沂，4，3分）一元二次方程配方后可化為( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由y2－y－=0得y2－y=，配方得y2－y＋=＋，∴(y－)2=1，故選B. 【知識點】一元二次方程的解法 配方法 9.（xx四川省宜賓市，4，3分）一元二次方程x2 –2x=0的兩根分別為x1和x2 , 則為x1 x2為（ ） A.-2 B.1 C.2 D.0 【答案】D 【解析】根據根于系數的關系可知x1+x2==0，故選擇D. 【知識點】一元二次方程根于系數的關系 1. (xx山東菏澤，5，3分)關于的一元二次方程有兩個實數根，則的取值范圍是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【解析】△=b2－4ac=(－2)2－4(k+1)≥0，解得k≤0，又∵k+1≠0，即k≠－1，∴k≤0且k≠－1．故選D． 【知識點】一元二次方程根的判別式 2. （xx貴州遵義，9題，3分）已知x1,x2是關于x的方程x2+bx-3=0的兩根，且滿足x1+x2-3x1x2=5，那么b的值為 A.4 B.-4 C.3 D.-3 【答案】A 【解析】由一元二次方程根與系數的關系可知，x1+x2=-b，x1x2=-3，又因為x1+x2-3x1x2=5，代入可得-b-3(-3)=5，解得b=4，故選A 【知識點】一元二次方程根與系數的關系 3. （xx江蘇淮安，7，3） 若關于x的一元二次方程x2-2x-k+1=0有兩個相等的實數根，則k的值是 A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】B 【解析】分析： 本題考查一元二次方程根的判別式，由一元二次方程有兩個相等的實數根，可得判別式為零，進而可得k的值. 解：由一元二次方程x2-2x-k+1=0有兩個相等的實數根 所以根的判別式，解得：k=0 故選：B． 【知識點】一元二次方程；一元二次方程根的判別式 4. （xx福建A卷，10，4）已知關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，下列判斷正確的是 ( ) A．1一定不是關于的方程的根 B.0一定不是關于的方程的根 C.1和-1都是關于的方程的根 D. 1和-1不都是關于的方程的根 【答案】D 【解析】根據一元二次方程有兩個相等的，方程根的判別式等于零，從而建立關于、的等式，再逐一判斷根的情況即可. 解：由關于的方程有兩個相等的實數根，所以△=0，所以，，解得或，∴1是關于的方程的根，或-1是關于的方程的根；另一方面若1和-1都是關于的方程的根，則必有，解得，此時有，這與已知是關于的一元二次方程相矛盾，所以1和-1不都是關于的方程的根，故選D. 【知識點】一元二次方程；根的判別式 5. （xx福建B卷，10，4）已知關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，下列判斷正確的是 ( ) A．1一定不是關于的方程的根 B.0一定不是關于的方程的根 C.1和-1都是關于的方程的根 D. 1和-1不都是關于的方程的根 【答案】D 【解析】根據一元二次方程有兩個相等的，方程根的判別式等于零，從而建立關于、的等式，再逐一判斷根的情況即可. 解：由關于的方程有兩個相等的實數根，所以△=0，所以，，解得或，∴1是關于的方程的根，或-1是關于的方程的根；另一方面若1和-1都是關于的方程的根，則必有，解得，此時有，這與已知是關于的一元二次方程相矛盾，所以1和-1不都是關于的方程的根，故選D. 【知識點】一元二次方程；根的判別式 6.（xx河南，7，3分）下列一元二次方程中,有兩個不相等實數根的是 （A） （B）　 　?。–）　 （D） 【答案】B 【解析】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式Δ=b2-4ac;當Δ>0時，方程有兩個不相等的實數根. 選項A：Δ=b2-4ac=62-419=0；選項B：先將原方程轉化為一般式：x2-x=0，則Δ=b2-4ac=（-1）2-410=1>0；選項C：將原方程轉化為一般式：x2-2x+3=0，則Δ=b2-4ac=（-2）2-413= -8 < 0；選項D：將原方程轉化為一般式：x2-2x+2=0，則Δ=b2-4ac=（-2）2-412= -4 < 0.故選項B正確. 【知識點】一元二次方程根的判別式 7. （xx四川涼山州，7，4分）若n（n ≠ 0）是關于x的方程的一個根，則m＋n的值是（ ） A.1 B.2 C.-1 D.-2 【答案】D 【解析】∵n（n ≠ 0）是關于x的方程的一個根，∴，∴， ∵n ≠ 0，∴，∴故選擇D. 【知識點】方程的根，因式分解. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 二、填空題 1.（xx四川瀘州，題，3分） 已知，是一元二次方程的兩實數根，則的值是 . 【答案】6 【解析】由韋達定理可得x1+x2=2，x1x2=-1， 【知識點】韋達定理，分式加減 2.（xx山東濱州，17，5分）若關于x，y的二元二次方程組的解是，則關于a，b的二元一次方程組的解是___________． 【答案】 【解析】根據題意，對比兩個方程組得出方程組，所以． 【知識點】整體思想，二元一次方程組加減消元法 3. （xx四川內江，15，5）關于x的一元二次方程x2＋4x－k＝0有實數根，則k的取值范圍是 ． 【答案】k≥－4 【解析】解：∵關于x的一元二次方程x2＋4x－k＝0有實數根，∴△＝b2－4ac＝42－41(－k)≥0，解得k≥－4． 【知識點】一元二次方程根的判別式 4. （xx四川內江，22，6）已知關于x的方程＋bx＋1＝0的兩根為＝1，＝2，則方程＋b(x＋1)＋1＝0的兩根之和為 ． 【答案】1 【思路分析】將方程＋b（x＋1）＋1＝0中的（x＋1）換元成y，原方程化為ay2＋by＋1＝0，再由方程＋bx＋1＝0的兩根為＝1，＝2，可知ay2＋by＋1＝0的兩根也分別為1和2，將y換回(x＋1)就可以求出原方程的兩個根，從而得出兩根之和． 【解題過程】解：令（x＋1）＝y，則原方程變形為ay2＋by＋1＝0，∵方程ax2＋bx＋1＝0的兩根為＝1，＝2，∴＝1，＝2，即x＋1＝1，x＋1＝2，∴＝0，＝1，∴＋＝1． 【知識點】一元二次方程根與系數關系 5. （xx四川綿陽，17，3分） 已知a＞b＞0，且，則= 【答案】 【解析】解：由題意得：2b(b-a)+a(b-a)+3ab=0， 整理得：2()2+-1=0， 解答=， ∵a＞b＞0， ∴= 故答案為 【知識點】分式的加減法，解一元二次方程 6.（xx山東聊城，13，3分）已知關于x的方程有兩個相等的實根，則k的值是 . 【答案】 【解析】∵關于x的方程有兩個相等的實根， ∴， 解得. 【知識點】一元二次方程的定義、一元二次方程根與系數的關系、一元一次方程的解法 7. （xx四川省南充市，第14題，3分）若是關于的方程的根，則的值為 ． 【答案】 【解析】解：∵若是關于x的方程的根，∴，原方程整理得：，∴，∵n0，∴即，∴.故答案為：. 【知識點】一元二次方程的概念；因式分解 8. （xx湖南長沙，17題，3分）已知關于x的方程x2-3x+a=0有一個根為1，則方程的另一個根為______。 【答案】2 【解析】該方程中，a=1，b=-3，設兩根為x1,x2，其中x1=1,由一元二次方程根與系數的關系可知，x1+x2==3,x1=1,所以x2=2 【知識點】一元二次方程根與系數的關系 9.（xx山東威海，14，3分）關于x的一元二次方程（m－5）x2＋2x＋2＝0有實根，則m的最大整數解是______． 【答案】m＝4 【解析】因為關于x的二元一次方程有實數根，所以△＝22－4(m－5)2＝4－8(m－5)≥0，且m－5≠0，解得m≤5．5且m≠5，這樣的最大整數解為4． 【知識點】一元二次方程根的判別式、一元一次不等式的特殊解 10. （xx山東煙臺，17，3分）已知關于x的一元二次方程x2－4x+m－1=0的實數根，滿足，則m的取值范圍是 . 【答案】3＜m≤5 【解析】∵是x2－4x+m－1=0的兩根，∴，又∵，∴，∴∴．又∵△=b2－4ac=(－4)2－4(m－1)≥0，∴m≤5，∴3＜m≤5． 【知識點】一元二次方程根與系數的關系（即韋達定理）；一元二次方程根的判別式.1. （xx湖南郴州，13，3）已知關于的一元二次方程有一個根為-3，則方程的另一個根為 . 【答案】2 【解析】根據一元二次方程根與系數的關系可知兩根之積為－6，根據一個根是-3，即可求出方程的另一根．設方程的另一根為x2，則-3x2=－6，解得：x2=2． 【知識點】一元二次方程根與系數的關系 2. （xx湖南益陽，17，4分）規(guī)定，如：，若，則x= ． 【答案】－3或1 【思路分析】根據規(guī)定的運算順序，把化為熟悉的一元二次方程，然后再解方程即可． 【解析】解：∵，∴，，解得：x1=－3，x2=1． 【知識點】新定義型，一元二次方程 3. （xx甘肅天水，T15，F4）關于x的一元二次方程(k-1)x2+6x+k2-k=0的一個根為0，則k的值是____. 【答案】0. 【解析】∵關于x的一元二次方程(k-1)x2+6x+k2-k=0的一個根為0， ∴k2-k=0，且k-1≠0， 解得k=1或k=0，且k≠1， 則k=0. 【知識點】一元二次方程的根及定義 4. （xx江蘇淮安，10，3）—元二次方程x2-x=0的根是 . 【答案】x1=0,x2=1 【解析】分析：本題考查解一元二次方程，根據本題的特點，運用因式分解法較為簡潔. 解：x2-x=0 x(x-1)=0. ∴x=0或x=1 故答案為x1=0,x2=1 【知識點】解一元二次方程---因式分解法 5. （xx江西，11，3分）一元二次方程x2－4x＋2＝0的兩根為x1，x2則x－4x1＋2x1x2的值為________． 【答案】2 【解析】∵x2－4x＋2＝0的兩根為x1，x2，∴x－4x1＋2＝0，即x－4x1＝－2，x1x2＝2， ∴x－4x1＋2x1x2＝－2＋22＝2 【知識點】一元二次方程的根，一元二次方程根與系數的關系 6.（xx山東德州，14，4分）若是一元二次方程的兩個實數根，則= ． 【答案】-3 【解析】因為，，所以=-3. 【知識點】一元二次方程根與系數的關系 7. （xx湖北荊州，T16，F3）關于的一元二次方程的兩個實數根分別是、，且,則的值是 ． 【答案】 【思路分析】①利用根與系數的關系，表示出兩根之和，兩根之積.②利用完全平方公式求出兩根之積.③代入到要求的式子中. 【解析】由根與系數的關系可知：x1+x2=2k, x1x2=k2-k, ∴， ∴，把代入得，x1x2=，∴=. 【知識點】根與系數的關系、完全平方公式、 8. （xx 湖南張家界，13，3分）關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則 . 【答案】 【解析】解：∵關于的一元二次方程有兩個相等的實數根， ∴. 解得k=. 【知識點】根的判別式 9.（xx湖北荊門，14，3分）已知是關于的一元二次方程的一個根，則的值為 ． 【答案】-3. 【解析】解：∵是關于的一元二次方程的一個根， ∴4k+2(k2-2)+2k+4=0， ∴2k2+6k=0， ∴k=-3. 故答案為-3. 【知識點】一元二次方程的解，解一元二次方程 10. （xx浙江省臺州市，12，5分） 已知關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則 ． 【答案】 【解析】因為關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，所以 ，解得 【知識點】一元二次方程根的判別式 三、解答題 1. （xx四川省成都市，16，6）若關于x的一元二次方程：－（2a＋1）x＋＝0有兩個不相等的實數根， 求a的取值范圍． 【思路分析】利用根的判別式△＝，當△＞0時方程有兩個不相等的實數根，代入得到關于a的不等式，解這個不等式便可求出a的取值范圍． 【解題過程】解：由題意可知，△＝－41＝－4＝4a＋1． ∵方程有兩個不相等的實數根，∴△＞0，即4a＋1＞0，解得a＞－． 【知識點】一元二次方程；根的判別式； 2. （xx浙江紹興，17②，4分）（2）解方程：. 【思路分析】直接利用一元二次方程的求根公式，把、、的值代入即可 【解題過程】 ，， ＞0 ∴， ∴，. 【知識點】一元二次方程的解法-公式法。 1. （xx內蒙古呼和浩特，23，10分）已知關于x的一元二次方程（）有兩個實數根、，請你用配方法探索有實數根的條件，并推到求根公式，證明 。 【思路分析】解一元二次方程通常有四種方法，即直接開平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，只要方程有實數根，配方法和求根公式法都是萬能的，但要根據具體的方程選擇合適的方法才不會讓解方程變得很麻煩，直接開平方法和因式分解法適合特殊形式的方程，解起來簡捷輕松. 證明方程一定有兩個不相等的實數根等方程根的情況。解決這三類問題，有一個通法，就是先算出判別式，然后根據題中的條件分別得出結論或者變形推理 【解析】解：∵，把方程兩邊同時除以a， 得：， 配方，得：， ∵，∴ ， 當時，方程有兩個實數根，，. ∴=. 【知識點】配方法解一元二次方程 2. （xx四川遂寧，19，8分）已知關于x的一元二次方程x2-2x+a=0的兩個實數根，滿足，求a的取值范圍. 【思路分析】首先根據一元二次方程有兩個實數根，可得出△=b2-4ac≥0，進而得出a的范圍，然后根據根與系數的關系以及可得出a的范圍，進而得出答案. 【解析】 解：∵該一元二次方程有兩個實數根， ∴△=b2-4ac≥0， ∴（-2）2-41a≥0， ∴4-4a≥0， ∴a≤1. 又由根與系數的關系可得：=a，=2， 且， ∴a+2＞0， ∴a＞-2， ∴-2＜a≤1. 【知識點】一元二次方程根的判別式，一元二次方程跟與系數的關系，解一元一次不等式 3. （xx北京，20，5）關于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0． （1）當b＝a＋2時，利用根的判別式判斷方程根的情況； （2）若方程有兩個相等的實數根，寫出一組滿足條件的a，b的值，并求此時方程的根． 【思路分析】（1）先算出該方程的根的判別式△的值，再將b＝a＋2代入并判斷判別式的符號，最后根據一元二次方程的根的判別式定理，就能判斷該方程的根的情況了；（2）本題答案不唯一，只要取一組a，b的值，使方程的根的判別式的值為0即可，然后再解此方程即可． 【解題過程】解：（1）∵b＝a＋2， ∴△＝b2－4a1＝(a＋2)2－4a＝a2＋4＞0． ∴原方程有兩個不相等的實數根． （2）答案不唯一，如當a＝1，b＝2時，原方程為x2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝－1． 【知識點】一元二次方程的解法；一元二次方程根的判別式 4. （xx廣西玉林，21題，6分）已知關于x的一元二次方程：x2-2x-k-2=0有兩個不相等的實數根 （1）求k的取值范圍； （2）給k取一個負整數值，解這個方程。 【思路分析】（1）因為原方程有兩個不相等的實數根，所以△>0，解得k>-3；（2）取k=-2，得到一元二次方程，解方程即可。 【解題過程】（1）因為原方程有兩個不相等的實數根，所以△>0，即4+4(k+2)>0，得k>-3；（2）取k=-2，原方程化為x2-2x=0，x(x-2)=0，所以x1=0，x2=2 【知識點】根的判別式，一元二次方程