《七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第五章 生活中的軸對(duì)稱(chēng) 2 探索軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì) 將軍飲馬模型試題（新版）北師大版.doc》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第五章 生活中的軸對(duì)稱(chēng) 2 探索軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì) 將軍飲馬模型試題（新版）北師大版.doc（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

探索軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì) 將軍飲馬模型 一、背景知識(shí)： 【傳說(shuō)】 早在古羅馬時(shí)代，傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專(zhuān)程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題． 將軍每天從軍營(yíng)A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營(yíng)B開(kāi)會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？這個(gè)問(wèn)題的答案并不難，據(jù)說(shuō)海倫略加思索就解決了它．從此以后，這個(gè)被稱(chēng)為“將軍飲馬”的問(wèn)題便流傳至今． 【問(wèn)題原型】將軍飲馬 造橋選址 費(fèi)馬點(diǎn) 【涉及知識(shí)】?jī)牲c(diǎn)之間線(xiàn)段最短，垂線(xiàn)段最短； 三角形兩邊三邊關(guān)系； 軸對(duì)稱(chēng) ；平移； 【解題思路】找對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)折轉(zhuǎn)直 二、將軍飲馬問(wèn)題常見(jiàn)模型 1.兩定一動(dòng)型：兩定點(diǎn)到一動(dòng)點(diǎn)的距離和最小 例1：在定直線(xiàn)l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，使動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之和最小，即PA+PB最小. 作法：連接AB，與直線(xiàn)l的交點(diǎn)Q， Q即為所要尋找的點(diǎn)，即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P跑到了點(diǎn)Q處， PA+PB最小，且最小值等于AB. 原理：兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短。 證明：連接AB，與直線(xiàn)l的交點(diǎn)Q，P為直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)， 在⊿PAB中，由三角形三邊關(guān)系可知：AP+PB≧AB(當(dāng)且僅當(dāng)PQ重合時(shí)取﹦) 例2：在定直線(xiàn)l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，使動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之和最小， 即PA+PB的和最小. 關(guān)鍵：找對(duì)稱(chēng)點(diǎn) 作法：作定點(diǎn)B關(guān)于定直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連接AC，與直線(xiàn)l的交點(diǎn)Q即為所要尋找的點(diǎn)，即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P跑到了點(diǎn)Q處，PA+PB和最小，且最小值等于AC. 原理：兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短 證明：連接AC，與直線(xiàn)l的交點(diǎn)Q，P為直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)， 在⊿PAC中，由三角形三邊關(guān)系可知：AP+PC≧AC(當(dāng)且僅當(dāng)PQ重合時(shí)取﹦) 2.兩動(dòng)一定型 例3：在∠MON的內(nèi)部有一點(diǎn)A，在OM上找一點(diǎn)B，在ON上找一點(diǎn)C，使得△BAC周長(zhǎng)最短． 作法：作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A’，作點(diǎn)A關(guān)于ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A’’，連接A’ A’’，與OM交于點(diǎn)B，與ON交于點(diǎn)C，連接AB，AC，△ABC即為所求． 原理：兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短 例4：在∠MON的內(nèi)部有點(diǎn)A和點(diǎn)B，在OM上找一點(diǎn)C，在ON上找一點(diǎn)D，使得四邊形ABCD周長(zhǎng)最短． 作法：作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A’，作點(diǎn)B關(guān)于ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B’，連接A’ B’，與OM交于點(diǎn)C，與ON交于點(diǎn)D，連接AC，BD，AB，四邊形ABCD即為所求． 原理：兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短 3. 兩定兩動(dòng)型最值 例5：已知A.B是兩個(gè)定點(diǎn)，在定直線(xiàn)l上找兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M與N，且MN長(zhǎng)度等于定長(zhǎng)d（動(dòng)點(diǎn)M位于動(dòng)點(diǎn)N左側(cè)），使AM+MN+NB的值最小. 提示：存在定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題一定要考慮平移 作法一：將點(diǎn)A向右平移長(zhǎng)度d得到點(diǎn)A’， 作A’關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A’’，連接A’’B，交直線(xiàn)l于點(diǎn)N，將點(diǎn)N向左平移長(zhǎng)度d，得到點(diǎn)M。 作法二：作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1，將點(diǎn)A1向右平移長(zhǎng)度d得到點(diǎn)A2，連接A2 B， 交直線(xiàn)l于點(diǎn)Q，將點(diǎn)Q向左平移長(zhǎng)度d，得到點(diǎn)Q。 原理：兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短，最小值為A’’B+MN 例6：（造橋選址）將軍每日需騎馬從軍營(yíng)出發(fā)，去河岸對(duì)側(cè)的瞭望臺(tái)觀察敵情，已知河流的寬度為30米，請(qǐng)問(wèn)，在何地修浮橋，可使得將軍每日的行程最短？ 例6：直線(xiàn)l1∥l2，在直線(xiàn)l1上找一個(gè)點(diǎn)C，直線(xiàn)l2上找一個(gè)點(diǎn)D，使得CD⊥l2, 且 AC＋BD＋CD最短． 作法：將點(diǎn)A沿CD方向向下平移CD長(zhǎng)度d至點(diǎn)A’，連接A’B，交l2于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DC⊥l2于點(diǎn)C，連接AC．則橋CD即為所求．此時(shí)最小值為A’B+CD 原理：兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短， 4. 垂線(xiàn)段最短型 例7：在∠MON的內(nèi)部有一點(diǎn)A，在OM上找一點(diǎn)B，在ON上找一點(diǎn)C，使得AB＋BC最短． 原理：垂線(xiàn)段最短 點(diǎn)A是定點(diǎn)，OM，ON是定線(xiàn)， 點(diǎn)B.點(diǎn)C是OM、ON上要找的點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)． 作法：作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A’，過(guò)點(diǎn)A’作A’C⊥ON， 交OM于點(diǎn)B，B.C即為所求。 例8：在定直線(xiàn)l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，使動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之差最小，即PA-PB最小. 作法：連接AB，作AB的中垂線(xiàn)與l的交點(diǎn)，即為所求點(diǎn)P 此時(shí)|PA-PB |=0 原理：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端的距離相等 例9：在定直線(xiàn)l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C，使動(dòng)點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之差最大，即|PA-PB |最大 作法：延長(zhǎng)BA交l于點(diǎn)C，點(diǎn)C即為所求， 即點(diǎn)B.A.C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最大值為AB的長(zhǎng)度。 原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊 例10：在定直線(xiàn)l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C，使動(dòng)點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之差最大，即|PA-PB|最大 作法：作點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，連接AB， 交交l于點(diǎn)P即為所求，最大值為AB的長(zhǎng)度。 原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊 典型例題 三角形 1．如圖，在等邊△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一點(diǎn)，M是AD上的一點(diǎn)，且AE = 2，求EM+EC的最小值 解：點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)B，連接BE，交AD于點(diǎn)M，則ME+MD最小， 過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H， 則EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = = = 3 在直角△BHE中，BE = = = 2