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突破49 帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動問題 1.兩種方法定圓心 (1)已知入射方向和出射方向時，可通過入射點和出射點作垂直于入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點就是圓弧軌道的圓心。如圖甲所示，圖中P為入射點，M為出射點。 (2)已知入射方向和出射點的位置時，可以通過入射點作入射方向的垂線，連接入射點和出射點，作其中垂線，這兩條垂線的交點就是圓弧軌道的圓心。如圖乙所示，P為入射點，M為出射點。 2.幾何知識求半徑 方法一：由物理方程求：半徑R＝； 方法二：由幾何方程求：一般由數(shù)學知識(勾股定理、三角函數(shù)等)計算來確定． (1)直線邊界(進出磁場具有對稱性，如圖所示)。 (2)平行邊界(存在臨界條件，如圖所示)。 (3)圓形邊界(沿徑向射入必沿徑向射出，如圖所示)。 3. 運動時間的計算 (1)直接根據(jù)公式t＝或t＝求出運動時間t. (2)粒子在磁場中運動一周的時間為T，當粒子運動的圓弧所對應的圓心角為α時，其運動時間可由下式表示： t＝T或t＝T. 【典例1】在如圖所示的足夠大勻強磁場中，兩個帶電粒子以相同方向垂直穿過虛線MN所在的平面，一段時間后又再次同時穿過此平面，則可以確定的是(　　)． A．兩粒子一定帶有相同的電荷量 B．兩粒子一定帶同種電荷 C．兩粒子一定有相同的比荷 D．兩粒子一定有相同的動能 【答案】　C 【典例2】如圖所示，一個質(zhì)量為0.1 g、電荷量為的小滑塊（可視為質(zhì)點），放在傾角為α=30的光滑絕緣斜面頂端，斜面置于B =0.5T的勻強磁場中，磁場方向垂直紙面向里，小滑塊由靜止開始沿斜面滑下，小滑塊運動一段距離后離開斜面，取。則（ ） A. 小滑塊帶正電 B. 小滑塊帶負電 C. D. 小滑塊離開斜面的瞬時速率為2m/s 【答案】AC 【解析】、由題意可知：小滑塊受到的洛倫茲力垂直斜面向上。根據(jù)左手定則可得：小滑塊帶正電，故A正確，B錯誤；由題意知，當滑塊離開斜面時，則有： ，解得： ，故D錯誤；在小球離開斜面之前，小球沿斜面的方向的合力始終等于重力的分力，所以一直做勻加速直線運動，即，解得： ，由，解得： ，故C正確，故選AC。 【典例3】 (多選) 如圖所示，平面直角坐標系的第Ⅰ象限內(nèi)有一勻強磁場垂直于紙面向里，磁感應強度為B.一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子以速度v從O點沿著與y軸夾角為30的方向進入磁場，運動到A點時速度方向與x軸的正方向相同，不計粒子的重力，則(　　) A．該粒子帶正電 B．A點與x軸的距離為 C．粒子由O到A經(jīng)歷時間t＝ D．運動過程中粒子的速度不變 【答案】　BC 【典例4】在xOy坐標系的Ⅰ、Ⅳ象限有垂直紙面向里的勻強磁場，在x軸上A點(L,0)同時以相同速率v沿不同方向發(fā)出a、b兩個相同帶電粒子(粒子重力不計)，其中a沿平行＋y軸方向發(fā)射。經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后，兩粒子均先后到達y軸上的B點(0，L)，則兩個粒子到達B點的時間差為(　　) A. B. C. D. 【答案】　D 【解析】　作出a、b兩個粒子的運動的軌跡如圖， 對于a的運動軌跡，由幾何關(guān)系得：R2＝(R－L)2＋(L)2，解得R＝2L，a的偏轉(zhuǎn)角sin θ＝＝，所以θ＝π，同理可得b的偏轉(zhuǎn)角β＝π，a在磁場中運動的時間tA＝＝＝，b在磁場中運動的時間：tB＝＝＝，它們到達B點的時間差：Δt＝tB－tA＝－＝，D正確。 【典例5】如圖所示，一個理想邊界為PQ、MN的勻強磁場區(qū)域，磁場寬度為d，方向垂直紙面向里。一電子從O點沿紙面垂直PQ以速度v0進入磁場。若電子在磁場中運動的軌道半徑為2d。O′在MN上，且OO′與MN垂直。下列判斷正確的是(　　) A.電子將向右偏轉(zhuǎn) B.電子打在MN上的點與O′點的距離為d C.電子打在MN上的點與O′點的距離為d D.電子在磁場中運動的時間為 【答案】　D 【典例6】如圖所示，豎直線MN∥PQ，MN與PQ間距離為a，其間存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，O是MN上一點，O處有一粒子源，某時刻放出大量速率均為v(方向均垂直磁場方向)、比荷一定的帶負電粒子(粒子重力及粒子間的相互作用力不計)，已知沿圖中與MN成θ＝60角方向射出的粒子恰好垂直PQ射出磁場，則粒子在磁場中運動的最長時間為(　　) A. B. C. D. 【答案】　C 【典例7】兩個質(zhì)量相同、所帶電荷量相等的帶電粒子a、b，以不同的速率對準圓心O沿著AO方向射入圓形勻強磁場區(qū)域，其運動軌跡如圖6所示。若不計粒子的重力，則下列說法正確的是(　　) A.a粒子帶正電，b粒子帶負電 B.a粒子在磁場中所受洛倫茲力較大 C.b粒子的動能較大 D.b粒子在磁場中運動時間較長 【答案】　C 【解析】　由左手定則可知，a粒子帶負電，b粒子帶正電，A錯誤；由qvB＝m得r＝，故運動的軌跡半徑越大，對應的速率越大，所以b粒子的速率較大，在磁場中所受洛倫茲力較大，B錯誤；由Ek＝mv2可得b粒子的動能較大，C正確；由T＝知兩者的周期相同，b粒子運動的軌跡對應的圓心角小于a粒子運動的軌跡對應的圓心角，所以b粒子在磁場中運動時間較短，D錯誤。 【典例8】如圖所示，有一個正方形的勻強磁場區(qū)域abcd，e是ad的中點，f是cd的中點，如果在a點沿對角線方向以速度v射入一帶負電的帶電粒子，恰好從e點射出，則(　　) A．如果粒子的速度增大為原來的二倍，將從d點射出 B．如果粒子的速度增大為原來的三倍，將從f點射出 C．如果粒子的速度不變，磁場的磁感應強度B增大為原來的二倍，也將從d點射出 D．只改變粒子的速度，使其分別從e、d、f點射出時，從f點射出所用的時間最短 【答案】　AD 課后作業(yè) 1.在陰極射線管中電子流方向由左向右，其上方放置一根通有如圖所示電流的直導線，導線與陰極射線管平行，則電子將(　　) A．向上偏轉(zhuǎn) B.向下偏轉(zhuǎn) C．向紙里偏轉(zhuǎn) D.向紙外偏轉(zhuǎn) 【答案】B　 【解析】由題圖可知，直導線電流的方向由左向右，根據(jù)安培定則，可判定直導線下方的磁場方向為垂直于紙面向里，而電子運動方向由左向右，由左手定則知(電子帶負電荷，四指要指向電子運動方向的反方向)，電子將向下偏轉(zhuǎn)，故B選項正確。 2.如圖，ABCD是一個正方形的勻強磁場區(qū)域，經(jīng)相等加速電壓加速后的甲、乙兩種帶電粒子分別從A、D射入磁場，均從C點射出，則它們的速率之比v甲∶v乙和它們通過該磁場所用時間之比t甲∶t乙分別為(　　) A．1∶1　2∶1 B.1∶2　2∶1 C．2∶1　1∶2 D．1∶2　1∶1 【答案】B　 帶電粒子在電場中加速有qU＝mv2，帶電粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)有qvB＝m，聯(lián)立解得v＝，即v∝，故＝＝；甲粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)用時t甲＝，乙粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)用時t乙＝，可得＝＝?？芍x項B正確。 3.如圖所示，在MNQP中有一垂直紙面向里的勻強磁場。質(zhì)量和電荷量都相等的帶電粒子a、b、c，以不同的速率從O點沿垂直于PQ的方向射入磁場，圖中實線是它們的運動軌跡。已知O是PQ的中點，不計粒子重力。下列說法中正確的是(　　) A．粒子a帶負電，粒子b、c帶正電 B．射入磁場時粒子a的速率最小 C．射出磁場時粒子b的動能最小 D．粒子c在磁場中運動的時間最長 【答案】D　 4．半徑為r的圓形空間內(nèi)，存在著垂直于紙面向里的勻強磁場，一個帶電粒子(不計重力)從A點以速度v0垂直磁場方向朝著O點射入磁場中，并從B點射出.∠AOB＝120，如圖所示，則該帶電粒子在磁場中運動的時間為(　　) A. 2πr3v0 B. 23πr3v0 C. 3πr3v0 D. πr3v0 【答案】C 5．如圖所示，兩個勻強磁場的方向相同，磁感應強度分別為B1、B2，虛線MN為理想邊界?，F(xiàn)有一個質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以垂直于邊界MN的速度v由P點沿垂直于磁場的方向射入磁感應強度為B1的勻強磁場中，其運動軌跡為圖中虛線所示的心形圖線。則以下說法正確的是 A. 電子的運動軌跡為P→D→M→C→N→E→P B. 電子運動一周回到P點所用的時間T＝4πmeB1 C. 電子運動一周回到P點所用的時間T＝πmeB2 D. 兩磁場的磁感應強度的大小關(guān)系為B1＝2B2 【答案】ABD 【解析】（1）根據(jù)左手定則可知：電子從P點沿垂直于磁場的方向射入勻強磁場B1時，受到的洛倫茲力方向向上，所以電子的運行軌跡為P→D→M→C→N→E→P，故A正確； 6．如圖所示,有一寬度為a的有界勻強磁場,一質(zhì)量為m,帶電荷量為q的粒子以速度v垂直磁場左邊界的進入磁場,從右邊界離開時速度方向偏轉(zhuǎn)角θ=30o，則下列說法正確的是（ ） A. 該粒子帶正電 B. 磁感應強度B=mv2qa C. 粒子在磁場中做圓周運動的半徑R=233a D. 粒子在磁場中運動的時間t=πa3v 【答案】BD 【解析】根據(jù)粒子運動的軌跡可知，粒子在磁場中向下偏轉(zhuǎn)，根據(jù)左手定則可知，粒子應帶負電，故A錯誤；由幾何關(guān)系可知，Rsin30=a，解得：R=2a，根據(jù)洛倫茲力充當向心力可知，Bqv=mv2R，解得：B=mvqR=mv2qa，故B正確，C錯誤；粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角為30，粒子在磁場中運動時間t=303602π2av=πa3v；故D正確。故選BD。 7．電荷量分別為q和-q的兩個帶電粒子分別以速度va和vb射入勻強磁場，兩粒子的入射方向與磁場邊界的夾角分別為30°和60°，磁場寬度為d，兩粒子同時由A點出發(fā)，同時到達B點，如圖所示，則 A. a粒子帶負電，b粒子帶正電 B. 兩粒子的軌道半徑之比ra：rb=1：3 C. 兩粒子的速度之比va：vb=1：2 D. 兩粒子的質(zhì)量之比ma：mb=1：2 【答案】ABD 【解析】a粒子是30°入射的，而b粒子是60°入射的，由于從B點射出，則a粒子受到的洛倫茲力方向沿b粒子速度方向，而b粒子受到的洛倫茲力方向沿a粒子速度方向，由左手定則可知：a粒子帶負電、b粒子帶正電，故A正確； 向直線的交點即為各自圓心。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：兩圓心的連線與兩個半徑構(gòu)成一個角為30°，另一個為60°的直角意可知：q、B都相同，而ma：mb=1：2，ra：rb=1：3，則粒子的速度大小之比：va：vb=2：3，故C錯誤；故選ABD。 8．如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面的勻強磁場，三個質(zhì)量和電荷量都相同的帶電粒子a、b、c，以不同的速率對準圓心O沿著AO方向射入磁場，其運動軌跡如圖。若帶電粒子只受磁場力的作用，則下列說法正確的是（ ） A. c粒子速率最大 B. a粒子在磁場中運動時間最短 C. 它們做圓周運動的周期Ta0)。粒子沿紙面以大小為v的速度從OM的某點向左上方射入磁場，速度與OM成30角。已知該粒子在磁場中的運動軌跡與ON只有一個交點，并從OM上另一點射出磁場。不計重力。粒子離開磁場的出射點到兩平面交線O的距離為(　　) A. B. C. D. 【答案】D　 【解析】 如圖所示， 粒子在磁場中運動的軌跡半徑為R＝。設入射點為A，出射點為B，圓弧與ON的交點為P。由粒子運動的對稱性及粒子的入射方向知，AB＝R。由幾何關(guān)系知，AP＝R，則AO＝AP＝3R，所以OB＝4R＝。故選項D正確。 11.如圖所示，帶正電的A粒子和B粒子先后以同樣大小的速度，從寬度為d的有界勻強磁場的邊界上的O點分別以與磁場邊界夾角為30和60的方向射入磁場，兩粒子恰好不從另一邊界飛出，則下列說法中正確的是(　　) A．A、B兩粒子在磁場中做圓周運動的半徑之比是 B．A、B兩粒子在磁場中做圓周運動的半徑之比是 C．A、B兩粒子的之比是 D．A、B兩粒子的之比是 【答案】BD　 12．如圖所示，兩根長直導線豎直插入光滑絕緣水平桌面上的M、N兩小孔中，O為M、N連線中點，連線上a、b兩點關(guān)于O點對稱，導線通有大小相等、方向相反的電流I。已知通電長直導線在周圍產(chǎn)生的磁場的磁感應強度，式中k是常數(shù)，I是導線中的電流，r為點到導線的距離，一帶正電的小球(圖中未畫出)以初速度v0從a點出發(fā)沿連線運動到b點。關(guān)于上述過程，下列說法正確的是（ ） A. 小球先做加速運動后做減速運動 B. 小球一直做勻速直線運動 C. 小球?qū)ψ烂娴膲毫ο仍龃蠛鬁p小 D. 小球?qū)ψ烂娴膲毫σ恢痹谠龃? 【答案】BC 13．如圖所示，空間存在垂直于紙面向里的磁感應強度為Ｂ的勻強磁場，場內(nèi)有一絕緣的足夠長的直桿，它與水平面的傾角為θ，一帶電量為-q質(zhì)量為m的帶負電小球套在直桿上，從A點由靜止沿桿下滑，小球與桿之間的動摩擦因數(shù)為μ，在小球以后的運動過程中，下列說法正確的是 （ ） A. 小球下滑的最大速度為vm=mgsinθμqB B. 小球下滑的最大加速度為am=gsinθ C. 小球的加速度一直在減小 D. 小球的速度先增大后不變 【答案】BD 【解析】小球開始下滑時有mgsinθ-μmgcosθ-qvB=ma，隨v增大，a增大，當v=mgcosθqB時，a達最大值gsinθ，此時洛倫茲力等于mgcosθ，支持力等于0，此后隨著速度增大，洛倫茲力增大，支持力增大，此后下滑過程中有mgsinθ-μqvB-mgcosθ=ma，隨v增大，a減小，當vm=mgsinθ-μcosθμqB時， a=0，此時達到平衡狀態(tài)，速度不變．所以整個過程中，v先一直增大后不變；a先增大后減小，所以B正確． 14．如圖，在x軸上方存在方向垂直坐標平面向里、磁感應強度大小為B的勻強磁場，在x軸下方存在方向垂直坐標平面向外、磁感應強度大小為B2的勻強磁場。一帶負電的粒子（不計重力）從原點O以與x軸正方向成30角的速度v射入磁場，其在x軸上方運動的半徑為R。則 A. 粒子經(jīng)偏轉(zhuǎn)一定能回到原點O B. 粒子完成一次周期性運動的時間為2πR3v C. 粒子射入磁場后，第二次經(jīng)過x軸時與O點的距離為3R D. 粒子在x軸上方和下方的磁場中運動的半徑之比為1：2 【答案】CD 【解析】帶負電的粒子進入上方磁場后向下偏轉(zhuǎn)，到達x軸以后受洛倫茲力向右上方偏轉(zhuǎn)，如圖所示，則如此循環(huán)運動，粒子不能回到原點O，選項A錯誤； 粒子在x軸上方運動的半徑為R，根據(jù)r=mvqB可知粒子在x軸下方運動的半徑為2R。由幾何關(guān)系可知，粒子在x軸上方和下方運動時圓弧所對的圓心角均為600，則粒子完成一次周期性運動的時間為t=16T上+16T下=16(2πRv+2π?2Rv)=πRv ，選項B錯誤，D正確；由幾何關(guān)系可知，粒子射入磁場后，第一次經(jīng)過x軸時與O點的距離為R，第二次經(jīng)過x軸時與第一次經(jīng)過x軸的距離為2R，則粒子射入磁場后，第二次經(jīng)過x軸時與O點的距離為3R，選項C正確；故選CD. 15．如圖所示，在一單邊有界磁場的邊界上有一粒子源O，沿垂直磁場方向，以相同速率向磁場中發(fā)出了兩種粒子，a為質(zhì)子(11H)，b為α粒子(42He)，b的速度方向垂直磁場邊界，a的速度方向與b的速度方向夾角為θ＝30，兩種粒子最后都打到了位于磁場邊界位置的光屏OP上，則(　　) A. a、b兩粒子轉(zhuǎn)動周期之比為2∶3 B. a、b兩粒子在磁場中運動時間之比為2∶3 C. a、b兩粒子在磁場中轉(zhuǎn)動半徑之比為1∶2 D. a、b兩粒子打到光屏上的位置到O點的距離之比為1∶2 【答案】BC 15．如圖所示，帶有正電荷的A粒子和B粒子同時以同樣大小的速度(速度方向與邊界的夾角分別為30、60)從寬度為d的有界勻強磁場的邊界上的O點射入磁場，又恰好都不從另一邊界飛出，則下列說法中正確的是( ) A. A、B兩粒子在磁場中做圓周運動的半徑之比為1:3 B. A、B兩粒子在磁場中做圓周運動的半徑之比為2+33 C. A、B兩粒子的比荷之比是3:1 D. A、B兩粒子的比荷之比是2+33 【答案】D 【解析】粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=mv2r，解得：r=mvqB； 16．如圖所示，在紙面內(nèi)半徑為R的圓形區(qū)域中充滿了垂直于紙面向里、磁感應強度為B的勻強磁場，一點電荷從圖中A點以速度v0垂直磁場射入，與半徑OA成30夾角，當該電荷離開磁場時，速度方向剛好改變了180，不計電荷的重力，下列說法正確的是(　　) A. 該點電荷離開磁場時速度方向的反向延長線通過O點 B. 該點電荷的比荷為qm=2v0BR C. 該點電荷在磁場中的運動時間為t＝πR3v0 D. 該點電荷帶正電 【答案】B 【解析】