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2019版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 24.1 圓（3）教案 （新版）新人教版 教學(xué)內(nèi)容 1．圓周角的概念． 2．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弦所對(duì)的圓心角的一半． 推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90的圓周角所對(duì)的弦是直徑及其它們的應(yīng)用． 教學(xué)目標(biāo) 1．了解圓周角的概念． 2．理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半． 3．理解圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90的圓周角所對(duì)的弦是直徑． 4．熟練掌握?qǐng)A周角的定理及其推理的靈活運(yùn)用． 設(shè)置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想給予邏輯證明定理，得出推導(dǎo)，讓學(xué)生活動(dòng)證明定理推論的正確性，最后運(yùn)用定理及其推導(dǎo)解決一些實(shí)際問(wèn)題． 重難點(diǎn)、關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：圓周角的定理、圓周角的定理的推導(dǎo)及運(yùn)用它們解題． 2．難點(diǎn)：運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想證明圓周角的定理． 3．關(guān)鍵：探究圓周角的定理的存在． 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們口答下面兩個(gè)問(wèn)題． 1．什么叫圓心角？ 2．圓心角、弦、弧之間有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？ 老師點(diǎn)評(píng)：（1）我們把頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角． （2）在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)的其余各組量都分別相等． 剛才講的，頂點(diǎn)在圓心上的角，有一組等量的關(guān)系，如果頂點(diǎn)不在圓心上，它在其它的位置上？如在圓周上，是否還存在一些等量關(guān)系呢？這就是我們今天要探討，要研究，要解決的問(wèn)題． 二、探索新知 問(wèn)題：如圖所示的⊙O，我們?cè)谏溟T(mén)游戲中，設(shè)E、F是球門(mén)，設(shè)球員們只能在所在的⊙O其它位置射門(mén)，如圖所示的A、B、C點(diǎn)．通過(guò)觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)像∠EAF、∠EBF、∠ECF這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角． 現(xiàn)在通過(guò)圓周角的概念和度量的方法回答下面的問(wèn)題． 1．一個(gè)弧上所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)有多少個(gè)？ 2．同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？ 3．同弧上的圓周角與圓心角有什么關(guān)系？ （學(xué)生分組討論）提問(wèn)二、三位同學(xué)代表發(fā)言． 老師點(diǎn)評(píng)： 1．一個(gè)弧上所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè)． 2．通過(guò)度量，我們可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對(duì)的圓周角是沒(méi)有變化的． 3．通過(guò)度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半． 下面，我們通過(guò)邏輯證明來(lái)說(shuō)明“同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)沒(méi)有變化，并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半．” （1）設(shè)圓周角∠ABC的一邊BC是⊙O的直徑，如圖所示 ∵∠AOC是△ABO的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=∠AOC （2）如圖，圓周角∠ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的兩側(cè)，那么∠ABC=∠AOC嗎？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成這道題的說(shuō)明過(guò)程． 老師點(diǎn)評(píng)：連結(jié)BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC． （3）如圖，圓周角∠ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的同側(cè)，那么∠ABC=∠AOC嗎？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成證明． 老師點(diǎn)評(píng)：連結(jié)OA、OC，連結(jié)BO并延長(zhǎng)交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC 現(xiàn)在，我如果在畫(huà)一個(gè)任意的圓周角∠AB′C，同樣可證得它等于同弧上圓心角一半，因此，同弧上的圓周角是相等的． 從（1）、（2）、（3），我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理： 在同圓或等圓中，同弧等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半． 進(jìn)一步，我們還可以得到下面的推導(dǎo)： 半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90的圓周角所對(duì)的弦是直徑． 下面，我們通過(guò)這個(gè)定理和推論來(lái)解一些題目． 例1．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？ 分析：BD=CD，因?yàn)锳B=AC，所以這個(gè)△ABC是等腰，要證明D是BC的中點(diǎn)，只要連結(jié)AD證明AD是高或是∠BAC的平分線即可． 解：BD=CD 理由是：如圖24-30，連接AD ∵AB是⊙O的直徑 ∴∠ADB=90即AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD 三、鞏固練習(xí) 1．教材 思考題． 2．教材 練習(xí)． 四、應(yīng)用拓展 例2．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別設(shè)為a，b，c，⊙O半徑為R，求證：===2R． 分析：要證明===2R，只要證明=2R，=2R，=2R，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明顯要在直角三角形中進(jìn)行． 證明：連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于D，連接DB ∵CD是直徑 ∴∠DBC=90 又∵∠A=∠D 在Rt△DBC中，sinD=，即2R= 同理可證：=2R，=2R ∴===2R 五、歸納小結(jié)（學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評(píng)） 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1．圓周角的概念； 2．圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都相等這條弧所對(duì)的圓心角的一半； 3．半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90的圓周角所對(duì)的弦是直徑． 4．應(yīng)用圓周角的定理及其推導(dǎo)解決一些具體問(wèn)題． 六、布置作業(yè) 1．教材 綜合運(yùn)用9、10、11 拓廣探索12、13． 2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)． 第三課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì) 一、選擇題 1．如圖1，A、B、C三點(diǎn)在⊙O上，∠AOC=100，則∠ABC等于（ ）． A．140 B．110 C．120 D．130 (1) (2) (3) 2．如圖2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小關(guān)系是（ ） A．∠4<∠1<∠2<∠3 B．∠4<∠1=∠3<∠2 C．∠4<∠1<∠3∠2 D．∠4<∠1<∠3=∠2 3．如圖3，AD是⊙O的直徑，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30，則BC等于（ ）． A．3 B．3+ C．5- D．5 二、填空題 1．半徑為2a的⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為2a，則弦AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)是________． 2．如圖4，A、B是⊙O的直徑，C、D、E都是圓上的點(diǎn)，則∠1+∠2=_______． (4) (5) 3．如圖5，已知△ABC為⊙O內(nèi)接三角形，BC=1，∠A=60，則⊙O半徑為_(kāi)______． 三、綜合提高題 1．如圖，弦AB把圓周分成1：2的兩部分，已知⊙O半徑為1，求弦長(zhǎng)AB． 2．如圖，已知AB=AC，∠APC=60 （1）求證：△ABC是等邊三角形． （2）若BC=4cm，求⊙O的面積． 3．如圖，⊙C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A與點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），M是圓上一點(diǎn)，∠BMO=120． （1）求證：AB為⊙C直徑． （2）求⊙C的半徑及圓心C的坐標(biāo)． 答案: 一、1．D 2．B 3．D 二、1．120或60 2．90 3． 三、1． 2．（1）證明：∵∠ABC=∠APC=60， 又，∴∠ACB=∠ABC=60，∴△ABC為等邊三角形． （2）解：連結(jié)OC，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC，垂足為D， 在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30， 設(shè)OD=x，則OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC= 3．（1）略 （2）4，（-2，2）