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2019人教A版數(shù)學(xué)必修五 1.2《解三角形應(yīng)用舉例》（1）教案 一、教學(xué)內(nèi)容分析： 《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書數(shù)學(xué)(必修5)》(人教A版)第一章《解三角形》：解三角形應(yīng)用舉例的第1課。解三角形作為幾何度量問題，應(yīng)突出幾何的作用和數(shù)量化的思想，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)。作為1.2單元的起始課，是在學(xué)生已掌握正弦定理, 余弦定理（重要的解三角形工具），解決解決一些有關(guān)測量距離的實(shí)際問題。教學(xué)過程中，應(yīng)發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，通過探索發(fā)現(xiàn)、合情推理的過程，提高學(xué)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。 二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析： 由于本課內(nèi)容和一些與測量、幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題相關(guān)，教學(xué)中若能注意課程與生活實(shí)際的聯(lián)系，定能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。當(dāng)然本課可能涉及多方面的知識(shí)方法，綜合性強(qiáng)，學(xué)生學(xué)習(xí)方面有一定困難。 三、教學(xué)目標(biāo)： 讓學(xué)生能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測量距離的實(shí)際問題，了解常用的測量相關(guān)術(shù)語;激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力 四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)： 本節(jié)課的重點(diǎn)是由實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問題的解;難點(diǎn)是根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖 五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)： （一）復(fù)習(xí)舊知 問題1：正弦定理、余弦定理的形式 問題2：可以解決哪些類型的三角形？ （二）設(shè)置情境 前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個(gè)問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際測量問題的真實(shí)背景下，某些方法會(huì)不能實(shí)施。如因?yàn)闆]有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會(huì)有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理在科學(xué)實(shí)踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測量距離。 （三）新課講授 例1、如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離是55m，BAC=，ACB=。求A、B兩點(diǎn)的距離(精確到0.1m) 問題3：ABC中，根據(jù)已知的邊和對應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比較適當(dāng)？ 問題4：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學(xué)生回答。 分析：這是一道關(guān)于測量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知角算出AC的對角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。 解：根據(jù)正弦定理，得 = AB = = = = ≈ 65.7(m) 答:A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7米 問題5：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30，燈塔B在觀察站C南偏東60，則A、B之間的距離為多少？ 老師指導(dǎo)學(xué)生畫圖，建立數(shù)學(xué)模型。 解略：a km 例2、如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測量A、B兩點(diǎn)間距離的方法。 分析：這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測量問題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點(diǎn)。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的距離。 解：測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測得CD=a，并且在C、D兩點(diǎn)分別測得BCA=， ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，應(yīng)用正弦定理得 AC = = BC = = 計(jì)算出AC和BC后，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離 AB = 分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進(jìn)行對比、分析。 問題6：為了測定河對岸兩點(diǎn)A、B間的距離，在岸邊選定1公里長的基線CD，并測得∠ACD=90o，∠BCD=60o，∠BDC=75o，∠ADC=30o，求A、B兩點(diǎn)的距離. 分析：在四邊形ABCD中欲求AB長，只能去解三角形，與AB聯(lián)系的三角形有△ABC和△ABD，利用其一可求AB。 略解：Rt △ACD中，AD=1/cos30o △BCD中，1/sin45=BD/sin60，可求BD。 由余弦定理在△ABD中可求AB?！螦CD=90o，∠BCD=60o，∠BDC=75o，∠ADC=30o， 評注：可見，在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計(jì)算方式。 （四）閱讀理解 學(xué)生閱讀課本4頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子。 （五）課堂練習(xí) 課本第14頁練習(xí)第1、2題 （六）課堂總結(jié) 解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟： （1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖 （2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型 （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解 （4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解 （七）課后作業(yè) 習(xí)案與學(xué)案