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課時規(guī)范練53　幾何概型 基礎(chǔ)鞏固組 1.(2018江西南昌模擬,10)如圖,邊長為2的正方形中有一陰影區(qū)域,在正方形中隨機撒一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為.則陰影區(qū)域的面積約為(　　) A. B. C. D.無法計算 2.(2018廣東汕頭潮南模擬,10)《九章算術(shù)》中有如下問題:“今有勾五步,股一十二步,問勾中容圓,徑幾何?”其大意:“已知直角三角形兩直角邊分別為5步和12步,問其內(nèi)切圓的直徑為多少步?”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機投一粒豆子,則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是(　　) A.2π15 B.3π20 C.1-2π15 D.1-3π20 3.(2018山東、湖北部分重點中學(xué)模擬,9)已知圓C:x2+y2=4,直線l:y=x+b.當實數(shù)b∈[0,6]時,圓C上恰有2個點到直線l的距離為1的概率為(　　) A.23 B.22 C. D. 4.(2018河北衡水模擬,12)中央電視臺一套節(jié)目《午間新聞》的播出時間是每天中午12:00到12:30,在某星期天中午的《午間新聞》中將隨機安排播出時長5分鐘的有關(guān)電信詐騙的新聞報道.若小張于當天12:20打開電視,則他能收看到這條新聞的完整報道的概率是(　　) A. B. C. D. 5.(2018河南鄭州模擬,10)七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一,被譽為“東方模板”,它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的.如圖是一個用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一點,則此點取自黑色部分的概率為(　　) A.932 B.516 C. D.716 6.(2018四川德陽一診,9)在如圖所示的邊長為1的正方形ABCD中,C1,C2,C3,C4是分別以A,B,C,D為圓心,1為半徑的圓位于正方形內(nèi)的部分,現(xiàn)從正方形內(nèi)任取一點P,那么點P取自陰影部分的概率等于(　　) A.π8 B.π4-12 C.π4-23 D.π8-14 7.(2018云南曲靖檢測,10)如圖,正方形BCDE和ABFG的邊長分別為2a,a,連接CE和CG,在兩個正方形區(qū)域內(nèi)任取一點,則該點位于陰影部分的概率是 (　　) A. B. C.310 D.320 8.(2018遼寧大連模擬,13)在[-1,1]上隨機地取一個數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為　　　　　. 9.(2018山東濰坊模擬,15)已知平面向量a=(x-1,y),|a|≤1,則事件“y≥x”的概率為　　　　　. 10.(2018山東濰坊三模,14)三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽曾創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”,用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細證明.如圖所示的“勾股圓方圖”中,四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形,其中一個直角三角形中較小的銳角α滿足tan α=,現(xiàn)向大正方形內(nèi)隨機投擲一枚飛鏢,則飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是　　　　　. 綜合提升組 11.(2018安徽“皖南八?！甭?lián)考,10)2018年平昌冬季奧運會于2月9日~2月25日舉行,為了解奧運會五環(huán)所占面積與單獨五個環(huán)面積和的比例P,某學(xué)生設(shè)計了如下的計算機模擬,通過計算機模擬在長為8,寬為5的長方形內(nèi)隨機取了N個點,經(jīng)統(tǒng)計落入五環(huán)及其內(nèi)部的點數(shù)為n個,圓環(huán)半徑為1,則比值P的近似值為(　　) A.32n5πN B.32nπN C.8nπN D.5πn32N 12.(2018湖北荊州模擬,12)《世界數(shù)學(xué)史簡編》的封面有一圖案(如圖),該圖案的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓,圓內(nèi)有一內(nèi)接正三角形,在此圖案內(nèi)隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率為 (　　) A.π4-3316 B.π2-3316 C.π4-338 D.π2-338 13.(2018江西南昌三模,14)中國數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出“割圓”之說:“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體,而無所失矣”.意思是“圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增多的時候,它的周長的極限是圓的周長,它的面積的極限是圓的面積”.如圖,若在圓內(nèi)任取一點,則此點取自其內(nèi)接正六邊形的概率　　　　　. 14.(2018江西新余二模,13)如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60,以該菱形的4個頂點為圓心的扇形的半徑都為1.若在菱形內(nèi)隨機取一點,則該點取自黑色部分的概率是　　　　　. 創(chuàng)新應(yīng)用組 15.(2018陜西渭南模擬,18)已知向量a=(2,1),b=(x,y). (1)若x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量a∥b的概率. (2)若x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量a,b的夾角是鈍角的概率. 16.(2018河南中原名校聯(lián)盟,19)心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān),某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗證這個結(jié)論,從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男30女20),給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題,讓各位同學(xué)自由選擇一道題進行解答.選題情況如表:(單位:人) 幾何題 代數(shù)題 總計 男同學(xué) 22 8 30 女同學(xué) 8 12 20 總計 30 20 50 (1)能否有95%的把握認為視覺和空間能力與性別有關(guān)? (2)經(jīng)過多次測試后,甲每次解答一道幾何題所用的時間在5~7分鐘,乙每次解答一道幾何題所用的時間在6~8分鐘,現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題,求乙比甲先解答完的概率. 附表及公式: P(χ2>k0) 0.10 0.05 0.010 k0 2.706 3.841 6.635 χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).  課時規(guī)范練53　幾何概型 1.C　設(shè)陰影區(qū)域的面積為S,S4=23,所以S=. 2.C　如圖, 直角三角形的斜邊長為52+122=13, 設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,則5-r+12-r=13,解得r=2, ∴內(nèi)切圓的面積為πr2=4π, ∴豆子落在其內(nèi)切圓外部的概率是P=1-4π12512=1-2π15,故選C. 3.A　圓C的圓心坐標為O(0,0),半徑為2,直線l為:x-y+b=0. 當b2=3,即b=32時,圓上恰有一個點到直線l距離為1, 當b2=1,即b=2時,圓上恰有3個點到直線l距離為1. ∴當b∈(2,32)時,圓上恰有2個點到直線l的距離為1, 故概率為32-26=23. 故選A. 4.D　新聞報道中午時間段可能播出的時間為12:00~12:30,時長30分鐘,小張可能看到新聞報道的開始時間為12:20~12:25,共5分鐘,所以概率為530=16. 5.C　設(shè)小正方形的邊長為1,可得黑色平行四邊形的底為2,高為22;黑色等腰直角三角形的直角邊為2,斜邊為22,大正方形的邊長為22, 所以P=222+12222222=38, 故選C. 6.D　如圖,由對稱性可知,陰影部分所占面積為弓形BC1D面積的一半, ∵正方形ABCD的邊長為1, ∴扇形ABD的面積為14π,直角三角形ABD的面積為12, ∴陰影部分的面積為1214π-12=π8-14. ∵正方形ABCD的面積為1, ∴從正方形內(nèi)任取一點P,那么點P取自陰影部分的概率等于π8-141=π8-14.故選D. 7.C　設(shè)CG∩BF=H,由△BCH∽△FGH, 得FHBH=a2a=12,即FH=13a, 則S陰影=S△CEH+S△GFH=1213a2+83a2=32a2, 又S正方形ABFG+S正方形BCDE=5a2, 由幾何概型的概率公式, 得P=32a25a2=310.故選C. 8.　若直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交,則有圓心到直線的距離d=|5k|k2+1<3, 即-343.841, 所以有95%的把握認為視覺和空間能力與性別有關(guān). (2)設(shè)甲、乙解答一道幾何題的時間分別為x、y分鐘,則基本事件滿足的區(qū)域為5≤x≤7,6≤y≤8,(如圖所示), 設(shè)事件A為“乙比甲先做完此道題”則滿足的區(qū)域為x>y, ∴由幾何概型P(A)=121122=18,即乙比甲先解答完的概率為18.