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2019-2020年高考數(shù)學40個考點總動員 考點27 立體幾何中的向量方法（理）（學生版） 新課標 【高考再現(xiàn)】 熱點一 求角問題 1.(xx年高考陜西卷理科5)如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱，，則直線與直線夾角的余弦值為（ ） （A） （B） （C） （D） 2.(xx年高考四川卷理科14)如圖，在正方體中，、分別是、的中點，則異面直線與所成角的大小是____________。 3.(xx年高考全國卷理科16)三菱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長和側棱長都相等， BAA1=CAA1=60則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為____________. 4.(xx年高考湖北卷理科19)（本小題滿分12分） 如圖1，∠ACB=45，BC=3，過動點A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC=90（如圖2所示）， （1）當BD的長為多少時，三棱錐A-BCD的體積最大； （2）當三棱錐A-BCD的體積最大時，設點E，M分別為棱BC，AC的中點，試在棱CD上確定一點N，使得EN⊥BM，并求EN與平面BMN所成角的大小 5.(xx年高考上海卷理科19)（6+6=12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，底面，是的中點，已知，，，求： （1）三角形的面積； （2）異面直線與所成的角的大小. 6.(xx年高考浙江卷理科20) (本小題滿分15分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長為的菱形，且∠BAD＝120，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分別為PB，PD的中點． (Ⅰ)證明：MN∥平面ABCD； (Ⅱ) 過點A作AQ⊥PC，垂足為點Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值． 7.(xx年高考山東卷理科18)（本小題滿分12分） 在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60，F(xiàn)C⊥平面ABCD， 8.(xx年高考遼寧卷理科18) (本小題滿分12分) 如圖，直三棱柱，， 點M，N分別為和的中點. (Ⅰ)證明：∥平面; (Ⅱ)若二面角為直二面角，求的值. 9(xx年高考江西卷理科19)（本題滿分12分） 在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是線段BC的中點O。 （1）證明在側棱AA1上存在一點E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的長； （2）求平面與平面BB1C1C夾角的余弦值。 10.(xx年高考新課標全國卷理科19)（本小題滿分12分） 如圖，直三棱柱中，， 是棱的中點， （1）證明： （2）求二面角的大小。 【方法總結】 1．利用向量法求異面直線所成的角時，注意向量的夾角與異面直線所成的角的異同．同時注意根據(jù)異面直線所成的角的范圍(0，]得出結論． 2．利用向量法求線面角的方法 一是分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)； 二是通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線和平面所成的角. 3．利用空間向量求二面角可以有兩種方法：一是分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到一個與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通過平面的法向量來求：設二面角的兩個半平面的法向量分別為n1和n2，則二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)． 4．利用空間向量求二面角時，注意結合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角． 熱點二 求距離問題 11.(xx年高考全國卷理科4)已知正四棱柱中，為的中點，則直線 與平面的距離為（ ） A．2 B． C． D．1 12.(xx年高考遼寧卷理科16)已知正三棱錐ABC，點P，A，B，C都在半徑為的 求面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為_______. 13.(xx年高考天津卷理科17)（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐中，丄平面， 丄，丄，，，. (Ⅰ)證明：丄； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）設為棱上的點，滿足異面直線與所成的角為， 求的長. 14.(xx年高考重慶卷理科19)（本小題滿分12分（Ⅰ）小問4分（Ⅱ）小問8分） 如圖，在直三棱柱 中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點 （Ⅰ）求點C到平面 的距離; （Ⅱ）若,求二面角 的平面角的余弦值。 【方法總結】點到平面的距離，利用向量法求解比較簡單，它的理論基礎仍出于幾何法，如本題，事實上，作BH⊥平面CMN于H.由＝＋及n＝n，得|n|＝|n|＝|||n|，所以||＝，即d＝. 熱點三 折疊問題 15.(xx年高考安徽卷理科18)（本小題滿分12分） 平面圖形如圖4所示，其中是矩形，，，。現(xiàn)將該平面圖形分別沿和折疊，使與所在平面都與平面垂直，再分別連接,得到如圖2所示的空間圖形，對此空間圖形解答下列問題。 。 （Ⅰ）證明：； （Ⅱ）求的長； （Ⅲ）求二面角的余弦值。 【考點剖析】 一．明確要求 1.理解直線的方向向量與平面的法向量． 2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關系． 3.能用向量方法證明有關直線和平面位置關系的有關命題． 4.能用向量方法解決兩異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應用. 二．命題方向 利用向量法求空間角的大小是命題的熱點．著重考查學生建立空間坐標系及空間向量坐標運算的能力．題型多為解答題，難度中檔. 三．規(guī)律總結 一種方法 用空間向量解決幾何問題的一般方法步驟是： (1)適當?shù)倪x取基底{a，b，c}； (2)用a，b，c表示相關向量； (3)通過運算完成證明或計算問題． 兩個理解 (1)共線向量定理還可以有以下幾種形式： ①a＝λb?a∥b； ②空間任意兩個向量，共線的充要條件是存在λ，μ∈R使λa＝μb. ③若，不共線，則P，A，B三點共線的充要條件是＝λ＋μ且λ＋μ＝1. (2)對于共面向量定理和空間向量基本定理可對比共線向量定理進行學習理解．空間向量基本定理是適當選取基底的依據(jù)，共線向量定理和共面向量定理是證明三點共線、線線平行、四點共面、線面平行的工具，三個定理保證了由向量作為橋梁由實數(shù)運算方法完成幾何證明問題的完美“嫁接”． 四種運算 空間向量的四種運算與平面向量的四種運算加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積從形式到內(nèi)容完全 一致可類比學習．學生要特別注意共面向量的概念．而對于四種運算的運算律，要類比實數(shù)加、減、乘的運算律進行學習． 三種成角 (1)異面直線所成的角的范圍是； (2)直線與平面所成角的范圍是； (3)二面角的范圍是[0，π]． 易誤警示 利用平面的法向量求二面角的大小時，當求出兩半平面α、β的法向量n1，n2時，要根據(jù)向量坐標在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補，這是利用向量求二面角的難點、易錯點． 【基礎練習】 2．(人教A版教材習題改編)已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為(　　)． A．45 B．135 C．45或135 D．90 4.(經(jīng)典習題)平行六面體ABCDA1B1C1D1中，向量、、兩兩的夾角均為60，且||＝1，||＝2，||＝3，則||等于(　　)． A．5 B．6 C．4 D．8 【名校模擬】 一．基礎扎實 1.(浙江省xx屆重點中學協(xié)作體高三第二學期4月聯(lián)考試題理 )有六根細木棒，其中較長的兩根分別為a、a，其余四根均為a，用它們搭成三棱錐，則其中兩條較長的棱所在的直線的夾角的余弦值為________． 2.(北京市東城區(qū)xx第二學期高三綜合練習（二）理)（本小題共13分） 如圖,矩形所在的平面與直角梯形所在的平面互相垂直，∥,， 且，，，． （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值. 3.(中原六校聯(lián)誼xx年高三第一次聯(lián)考理)（本小題滿分12分） 如右圖所示，四棱錐P—ABCD中，側面PDC是邊長為2的正三角形且與底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60的菱形，M為PB的中點． （1）求PA與底面ABCD所成角的大小； （2）求證：PA⊥平面CDM； （3）求二面角D—MC—B的余弦值． 二．能力拔高 6.(河北省唐山市xx高三年級第二次模擬考試理)（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB= 2AD =2CD =2．E是PB的中點． （I）求證：平面EAC⊥平面PBC; （II）若二面角P-A C-E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值． 8.(xx年大連沈陽聯(lián)合考試第二次模擬試題理) (本小題滿分12分) 9. (山西省xx年高考考前適應性訓練文)（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，平面ABCD，，M，N分別是PB，AC的中點。 （1） 求證：MN//平面PAD； （2） 求點B到平面AMN的距離． 10. (山西省xx年高考考前適應性訓練理)（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，平面ABCD，，M，N分別是線段PB，AC上的動點，且不與端點重合，． （1）求證：平面PAD； （2）當MN的長最小時，求二面角的余弦值． 三．提升自我 12.【xx學年浙江省第二次五校聯(lián)考理】三棱錐中，兩兩垂直且相等，點，分別是和上的動點，且滿足，，則和所成角余弦值的取值范圍是 ． 13. (浙江省xx屆浙南、浙北部分學校高三第二學期3月聯(lián)考試題理)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AD，BC上的點，∠ABE＝20，∠CDF＝30．將△ABE繞直線BE、△CDF繞直線CD各自獨立旋轉(zhuǎn)一周，則在所有旋轉(zhuǎn)過程中，直線AB與直線DF所成角的最大值為_________． 15．(河北唐山市xx屆高三第三次模擬理)（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2。 （1）求證：平面PBC⊥平面PAB； （2）若二面角B－PC－D的余弦值為，求 四棱錐P—ABCD的體積。 【原創(chuàng)預測】