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2019-2020年高考數學第二輪復習 專題升級訓練8 三角恒等變換及解三角形 理 一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分) 1．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝∶4∶，則△ABC是(　　)． A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定 2．在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝3，c＝8，B＝60，則sin A的值是(　　)． A． B． C． D． 3．若滿足條件C＝60，AB＝，BC＝a的△ABC有兩個，那么a的取值范圍是(　　)． A．(1，) B．(，) C．(，2) D．(1,2) 4．已知sin θ＝，cos θ＝，則tan等于(　　)． A． B． C． D．5 5．已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，則等于(　　)． A．2 B．3 C．4 D．6 6．若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，則cos＝(　　)． A． B．－ C． D．－ 7．在△ABC中，已知A＝120，且＝，則sin C等于(　　)． A． B． C． D． 8．方程＝k(k＞0)有且僅有兩個不同的實數解θ，φ(θ＞φ)，則以下有關兩根關系的結論正確的是(　　)． A．sin φ＝φcos θ B．sin φ＝－φcos θ C．cos φ＝θsin θ D．sin θ＝－θsin φ 二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分) 9．在△ABC中，C為鈍角，＝，sin A＝，則角C＝__________，sin B＝__________. 10．已知tan＝2，則的值為________． 11．已知sin α＝＋cos α，且α∈，則的值為__________． 12．在△ABC中，A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，其外接圓的半徑R＝，則(a2＋b2)的最小值為__________． 三、解答題(本大題共4小題，共44分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 13．(本小題滿分10分)已知函數f(x)＝cos＋2cos2x－. (1)若x∈，求函數f(x)的值域； (2)在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C所對的邊，其中a＝1，c＝，且銳角B滿足f(B)＝1，求b的值． 14．(本小題滿分10分)如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上． (1)求漁船甲的速度； (2)求sin α的值． 15．(本小題滿分12分)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知m＝(2sin(A＋C)，)，n＝，且m∥n. (1)求角B的大?。? (2)若b＝1，求△ABC面積的最大值． 16．(本小題滿分12分)把函數f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的圖象上每一點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，然后再向左平移個單位后得到一個最小正周期為2π的奇函數g(x)． (1)求ω和φ的值； (2)求函數h(x)＝f(x)－g2(x)，x∈的最大值與最小值．  參考答案 一、選擇題 1．C　解析：依題意，由正弦定理得a∶b∶c＝∶4∶，令a＝，則最大角為C，cos C＝＜0，所以△ABC是鈍角三角形，選擇C. 2．D　解析：根據余弦定理得b＝＝7，根據正弦定理＝，解得sin A＝. 3．C　解析：由三角形有兩解的充要條件得asin 60＜＜a，解得＜a＜2.故選C. 4．D　解析：由于受條件sin2θ＋cos2θ＝1的制約，故m為一確定的值，于是sin θ，cos θ的值應與m的值無關，進而推知tan的值與m無關，又＜θ＜π，＜＜， ∴tan＞1，故選D. 5．C　解析：∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝， ∴sin αcos β＝，cos αsin β＝， ∴＝＝12＝5. ∴原式＝. 6．C　解析：根據條件可得α＋，－， 所以sin＝， sin＝， 所以cos ＝cos ＝coscos＋sinsin ＝＋＝. 7．A　解析：由＝，可設AC＝2k，AB＝3k(k＞0)， 由余弦定理可得BC2＝4k2＋9k2－22k3k＝19k2， ∴BC＝k. 根據正弦定理可得＝， ∴sin C＝＝. 8．B　解析：作出y＝|sin x|和y＝kx(x＞0)的圖象(圖略)，則兩圖象有且僅有兩個公共點A(φ，|sin φ|)，B(θ，|sin θ|)． 由圖象可知＜φ＜π，π＜θ≤，且點B是直線y＝kx(x＞0)與y＝|sin x|在區(qū)間內的切點． 因為在區(qū)間上，y＝|sin x|＝－sin x， 則y′＝－cos x. 故若點B是切點，則切線斜率為k切＝－cos θ(0,1)，此時有k切＝kOA，即－cos θ＝，故選B. 二、填空題 9．150　　解析：由正弦定理知＝＝，故sin C＝. 又C為鈍角，所以C＝150. sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C ＝＋＝. 10．　解析：∵tan＝2， ∴＝2，∴tan x＝. ∴＝＝ ＝＝. 11．－　解析：∵sin α－cos α＝， ∴(sin α－cos α)2＝， 即2sin αcos α＝. ∴(sin α＋cos α)2＝1＋＝. ∵α，∴sin α＋cos α＞0， ∴sin α＋cos α＝. 則＝＝＝＝－. 12．　解析：由正弦定理得(a2＋b2)＝＋＋＋＝8R2＋＋≥8R2＋＝8R2＋8R2＝，當且僅當＝，即a＝b時，取到最小值. 三、解答題 13．解：(1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x ＝2sin. ∵x∈， ∴2x＋. ∴當2x＋＝， 即x＝時，f(x)max＝2； 當2x＋＝， 即x＝時，f(x)min＝－. ∴函數f(x)的值域為[－，2]． (2)f(B)＝1?2sin＝1， ∴B＝. ∴b2＝a2＋c2－2accos＝1.∴b＝1. 14．解：(1)依題意，∠BAC＝120，AB＝12，AC＝102＝20，∠BCA＝α. 在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos ∠BAC ＝122＋202－21220cos 120＝784，解得BC＝28. 所以漁船甲的速度為14海里/時． (2)方法1：在△ABC中， 因為AB＝12，∠BAC＝120，BC＝28，∠BCA＝α， 由正弦定理，得＝， 即sin α＝＝＝. 方法2：在△ABC中，AB＝12，∠BAC＝120，BC＝28，∠BCA＝α， 由余弦定理，得cos α＝， 即cos α＝＝. 因為α為銳角， 所以sin α＝ ＝＝. 15．解：(1)∵m∥n， ∴2sin(A＋C) ＝cos 2B， 2sin Bcos B＝cos 2B， sin 2B＝cos 2B，cos 2B≠0， ∴tan 2B＝. ∵0＜B＜，則0＜2B＜π， ∴2B＝.∴B＝. (2)∵b2＝a2＋c2－ac， ∴a2＋c2＝1＋ac. ∵a2＋c2≥2ac，∴1＋ac≥2ac. ∴ac≤＝2＋，當且僅當a＝c取等號．∴S＝acsin B＝ac≤， 即△ABC面積的最大值為. 16．解：(1)f(x)＝2cos(ωx＋φ)?f1(x)＝2cos?g(x)＝2cos， ∴ω＝2，φ＝. (2)h(x)＝2cos－4sin2x ＝－2sin－2. ∵x?2x－， ∴h(x)max＝2－2，h(x)min＝－－2.