《2014年高考數(shù)學一輪復(fù)習 熱點難點精講精析 11.1計數(shù)原理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2014年高考數(shù)學一輪復(fù)習 熱點難點精講精析 11.1計數(shù)原理（20頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2014年高考一輪復(fù)習熱點難點精講精析： 11.1計數(shù)原理 一、分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 ※相關(guān)鏈接※ 1．如果完成一件事有n類辦法，這n類辦法彼此之間是相互獨立的，無論哪一類辦法中哪一種方法都能完成這件事，求完成這件事的方法種數(shù)，就用分類加法計數(shù)原理； 2．在解題時，應(yīng)首先分清楚怎樣才算完成這件事，有些題目在解決時需要進行分類討論，分類時要適當?shù)卮_定分類的標準，按照分類的原則進行，做到不重不漏。 ※例題解析※ 〖例〗在1到20這20個整數(shù)中，任取兩個相加，使其和大于20，共有幾種取法？ 思路解析： 采用列舉法分類，先確定一個加法，再利用“和大于20”確定另

2、一個加數(shù)。 解答：當一個加數(shù)是1時，另一個加數(shù)只能是20，1種取法。 當一個加數(shù)是2時，另一個加數(shù)可以是19，20，2種取法。 當一個加數(shù)是3時，另一個加數(shù)可以是18，19，20，3種取法。 …… 當一個加數(shù)是10時，另一個加數(shù)可以是11，12，……，20，10種取法。 當一個加數(shù)是11時，另一個加數(shù)可以是12，13，……，20，9種取法。 …… 當一個加數(shù)是19時，另一個加數(shù)是20，1種取法。 由分類加法計數(shù)原理可得共有1+2+3+……+10+9+8+……=100各取法。 （二）分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用 ※相關(guān)鏈接※ 1．如果完成一件事需要分成n個步驟，缺一不可，即需要

3、依次完成所有的步驟，才能完成這件事，而完成每一個步驟各有若干種不同的方法，計算完成這件事的方法種數(shù)就用分步乘法計數(shù)原理。 2．解題時，關(guān)鍵是分清楚完成這件事是分類還分步，在應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理時，各個步驟都完成，才算完成這件事，步驟之間互不影響，即前一步用什么方法，不影響后一步采取什么方法，運用分步乘法計數(shù)原理，要確定好次序，還要注意元素是否可以重復(fù)選取 ※例題解析※ 2 / 20 〖例〗某體育彩票規(guī)定：從01到36共36個號中抽出7個號為一注，每注2無。某人想先選定吉利號18，然后從01到17中選3個連續(xù)的號，從19到29中選2個連續(xù)的號，從30至36中選1個號組成一注。若這

4、個人要把符合這種要求的號全買下，至少要花多少元錢？ 思路解析：本題中要完成選彩票這件事，必須把1到17中的3個連續(xù)號，19到29中的2個連續(xù)號，30到36中的1個號都選出才算完成這件事，所以完成這件事可分三步，用分步乘法計數(shù)原理解決。 解答：第1步：從01到17中選3個連續(xù)號有15種選法； 第2步：從19到29中選2個連續(xù)號有10種選法； 第3步：從30到36中選1個號有7種選法。 由分步乘法計數(shù)原理可知：滿足要求的注數(shù)共有15107=1050注，故至少要花10502=2100元。 （三）兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用 〖例〗用0，1，2，3，4，5可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的比2000大

5、的四位偶數(shù)。 思路解析：先根據(jù)條件把“比2000大的四位偶數(shù)”分類選取千位上的數(shù)字選取百位上的數(shù)字選取十位上的數(shù)字。 解答：完成這件事有3類方法： 第一步是用0做結(jié)尾的比2000大的4位偶數(shù)，它可以分三步去完成：第一步，選取千位上的數(shù)字，只有2，3，4，5可以選擇，有4種選法；第二步，選取百位上的數(shù)字，除0和千位上已選定的數(shù)字以外，還有4個數(shù)字可供選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數(shù)字，還有3種選法。依據(jù)分類乘法計數(shù)原理，這類數(shù)的個數(shù)有443=48個； 第二步是用2做結(jié)尾的比2000大的4位偶數(shù)，它可以分三步完成：第一步，選取千位上的數(shù)字，除去2，1，0，只有3個數(shù)字可以選擇，有3

6、種選法；第二步，選取百位上的數(shù)字，在去掉已經(jīng)確定的首尾兩數(shù)字之后，還有4個數(shù)字可供選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數(shù)字，還有3種選法。依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，這類數(shù)的個數(shù)有343=36個； 第三類是用4做結(jié)尾的比2000大的4位偶數(shù)，其步驟同第二類。 對以上三類結(jié)論用分類加法計數(shù)原理，可得所求無重復(fù)數(shù)字的的比2000大的四位偶數(shù)有443+343+343=120。 注：（1）在解決實際問題的過程中，并不一定是單一的分類或分步，而是可能同應(yīng)用計數(shù)原理，即分類時，每類的方法可能要運用分步完成的，而分步時，每步的方法數(shù)可能會采取分類的思想求。另外，具體問題是先分類后分步，還是先分步后分類，應(yīng)

7、視問題的特點而定。解題時經(jīng)常是兩個原理交叉在一起使用，分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”，分類的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計分步的程序，即合理分類，準確分步。 （2）對于復(fù)雜問題，只用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理不能解決時，可以綜合應(yīng)用兩個原理，可以先分類，在某一類中再分步，也可先分步，在某步中再分類。 二、排列與組合 （一）排列數(shù)、組合數(shù)計算 ※相關(guān)鏈接※ 1．排列數(shù)公式：右邊第一個因數(shù)為n，后面每個因數(shù)都比它前面那個因數(shù)少1，最后一個因數(shù)是n-m+1,共m個因數(shù)。公式主要用于含有字母的排列數(shù)的式子的變形與論證； 2．組合數(shù)公式有乘積形式與階乘形式兩種，與排列數(shù)公式的應(yīng)用一樣，

8、前者多用于數(shù)字計算，后者多用于對含有字母的組合數(shù)的式子進行變形和論證。還應(yīng)注意組合數(shù)公式的逆用，即由寫出。 注：在排列數(shù)、組合數(shù)計算過程要注意階乘的運算及組合數(shù)性質(zhì)的運用，注意含有排列數(shù)或組合數(shù)的方程都是在某個正整數(shù)范圍內(nèi)求解。 ※例題解析※ 〖例〗計算下列各式的值 （1）（2）（3） 思路解析：利用排列數(shù)和組合數(shù)的公式及意義求解，（2）中注意n的取值范圍。 解答：（1）方法一： 方法二： （2）若有意義， 則解得。 （3） （二）排列應(yīng)用題 ※相關(guān)鏈接※ 求排列應(yīng)用題的主要方法有： （1）直接法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計算； （2）特殊

9、元素（或位置）優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置； （3）排列、組合混合問題先選后排的方法； （4）相鄰問題捆綁處理的方法。即可以把相鄰元素看作一個整體參與其他元素排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列； （5）不相鄰問題插空處理的方法。即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中； （6）分排問題直排處理的方法； （7）“小集團”排列問題中先集體后局部的處理方法； （8）定序問題除法處理的方法。即可以先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列； （9）正難則反，等價轉(zhuǎn)化的方法。 ※例題解析※ 〖例〗有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不

10、同的排列方法總數(shù)。 （1）選其中5人排成一排； （2）排成前后兩排，前排3人，后排4人； （3）全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾； （4）全體排成一排，男生互不相鄰； （6）全體排成一排，甲、乙兩人中間恰好有3人。 思路解析：無限制條件的排列問題，直接利用排列數(shù)公式即可。但要看清是全排列還是選排列問題；有限制條件的排列問題，常見類型是“在與不在”、“鄰與不鄰”問題，可分別用相應(yīng)方法。 解答：（1）從7個人中選5個人來排列，有種。 （2）分兩步完成，先選3人排在前排，有種方法，余下4人排在后排，有種方法，故共有=5040種。事實上，本小題即為7人排成一排的全排列，無任何

11、限制條件。 （3）（優(yōu)先法） 方法一：甲為特殊元素。先排甲，有5種方法；其余6人有種方法，故共有5=3600種。 方法二：排頭與排尾為特殊位置。排頭與排尾從非甲的6個人中選2個排列，有種方法，中間5個位置由余下4人和甲進行全排列有種方法，共有=3600種。 （4）（捆綁法）將女生看成一個整體，與3名男生在一起進行全排列，有種方法，再將4名女生進行全排列，也有種方法，故共有=576種。 （5）（插空法）男生不相鄰，而女生不作要求，所以應(yīng)排女生，有種方法，再在女生之間及首尾空出的5個空位中任選3個空位排男生，有種方法，故共有=1440種。 （6）把甲、乙及中間3人看作一個整體，第一步先

12、排甲、乙兩人有種方法，再從剩下的5人中選3人排到中間，有種方法，最后把甲、乙及中間3人看作一個整體，與剩余2人全排列，有種方法，最后把甲、乙及中間3人看作一個整體，與剩余2人全排列，有種方法，故共有=720。 （三）組合應(yīng)用題 ※相關(guān)鏈接※ 組合問題常有以下兩類題型變化： （1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取。 （2）“至少”或“最多”含有幾個元素的題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹防重復(fù)與漏解。用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)

13、雜時，考慮逆向思維，用間接法處理。 ※例題解析※ 〖例〗7名男生5名女生中選取5人，分別求符合下列條件的選法總數(shù)有多少種？ （1）A，B必須當選；（2）A，B必不當選；（3）A，B不全當選；（4）至少有2史女生當選；（5）選取3名男生和2名女生分別擔任班長、體育委員等5種不同的工作，但體育委員必須男生擔任，班長必須由女生擔任。 思路解析：（1）（2）屬于組合問題，可用直接法；（3）（4）屬于組合問題可用間接法；（5）發(fā)球先選后排問題應(yīng)分步完成。 解答：（1）由于A，B必須當選，那么從剩下的10人中選取3人即可，∴有種。 （2）從除去A，B兩人的10人中選5人即可，∴有種。

14、 （3）全部選法有種，A，B全當選有種，故A，B不全當選有-=672種。 （4）注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或沒有女生，故可用間接法進行求解。 ∴有-=596種選法。 （5）分三步進行： 第一步，選1男1女分別擔任兩個職務(wù)有種； 第二步，選2男1女補足5人有種； 第三步，為這3人安排工作有種。 由分步乘法計數(shù)原理共有=12600種選法。 （四）排列、組合應(yīng)用題 〖例〗（1）某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有 96 種．（用數(shù)

15、字作答） （2）有4張分別標有數(shù)字1，2，3，4的紅色卡片和4張分別標有數(shù)字1，2，3，4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有_____432_____種（用數(shù)字作答）． 思路解析：（1）根據(jù)題意，先安排第一棒，再安排最后一棒，由于甲既可以傳第一棒，又可以傳最后一棒，因此應(yīng)分類討論，然后再逐類排出。 （2）根據(jù)題意，先將數(shù)字之和是10的數(shù)分類，然后再逐類安排。 解答：（1）甲傳第一棒，乙傳最后一棒，共有種方法； 乙傳第一棒，甲傳最后一棒，共有種方法； 丙傳第一棒，共有種方法。 由分類加法計數(shù)原理，共有++=96種

16、方法。 （2）取出的4張卡片所標數(shù)字之和等于10，共有三種情況：1144，2233，1234； 所取卡片是1144的共有種排法； 所取卡片是2233的共有種排法； 所取卡片是1234，則其中卡片顏色可為無紅色，1張紅色，2張紅色，3張紅色，全是紅色，共有排法++++=16種， ∴共有排法18=184321=432種。 注：解排列組合的應(yīng)用題要注意以下幾點： （1）仔細審題，判斷是排列問題還是組合問題；要按元素的性質(zhì)分類，按事件發(fā)生的過程進行分類； （2）深入分析，嚴密周詳，注意分清是乘還是加，要防止重復(fù)和遺漏，辯證思維，多角度分析，全面考慮； （3）對限制條件較復(fù)雜的

17、排列組合應(yīng)用題，要周密分析，設(shè)計出合理的方案，把復(fù)雜問題分解成若干簡單的基本問題后用兩個計數(shù)原理來解決； （4）由于排列組合問題的答案一般數(shù)目較大，不易直接驗證，因此在檢查結(jié)果時，應(yīng)著重檢查所設(shè)計的解決方案是否完備，有無重復(fù)和遺漏，也可采用多種不同的方法求解，看看結(jié)果是否相同。在對排列組合問題分類時，分類標準應(yīng)統(tǒng)一，否則易出現(xiàn)遺漏或重復(fù)。 （5）排列組合綜合題目，一般是符合要求的元素取出（組合）或進行分組，再對取出的元素或分好的組進行排列。其中分組時，要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標準。 三、二項式定理 （1）求特定的項或特定項的系數(shù) ※相關(guān)鏈接※ 二項展開式的通

18、項公式集中體現(xiàn)了二項展開式中的指數(shù)、項數(shù)、系數(shù)的變化，它在求展開式的某些特定項（如含指定冪的項、常數(shù)項、中間項、有理項、系數(shù)最大的項等）及其系數(shù)以及數(shù)、式的整除等方面有著廣泛的應(yīng)用。使用時要注意： （1）通項公式表示的是第“r+1”項，而不是第“r”項； （2）通項公式中a和b的位置不能顛倒； （3）展開式中第r+1項的二項式系數(shù)與第r+1項的系數(shù)，在一般情況下是不相同的，在具體求各項的系數(shù)時，一般先處理符號，對根式和指數(shù)的運算要細心以防出差錯； （4）在通項公式中共含有a,b,n,r,這5個元素，在有關(guān)二項式定理的問題中，常常會遇到：知道5個元素中的若干個（或它們之間的關(guān)系）

19、，求另外幾個元素的問題。這類問題一般是利用通項公式，把問題歸結(jié)為解方程（組）或不等式（組），這里要注意n為正整數(shù)，r為非負數(shù)，且r≤n ※例題解析※ 〖例〗已知在的展開式中，第6項為常數(shù)項。 （1）求n； （2）求含x2的項的系數(shù)； （3）求展開式所有的有理項。 思路解析：寫出展開式的通項公式→根據(jù)第6項為常數(shù)項求n→由n值令x的指數(shù)為2，求r→求出x2的項的系數(shù)→令x的指數(shù)為整數(shù)k→根據(jù)0≤r≤n,r∈Z,求k. →根據(jù)k值求出展開式的有理項。 解答：（1）通項公式為 因為第6項為常數(shù)項，所以r=5時，有=0，即n=10. （2）令=2，得， ∴所求的系數(shù)為。 （3

20、）根據(jù)通項公式，由題意 令=k（k∈Z）,則10-2r=3k,即 ∵r∈Z,∴k應(yīng)為偶數(shù)。 ∴k可取2，0，-2，即r可取2，5，8。所以第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為 注：（1）求二項式系數(shù)最大項： ①如果n是偶數(shù)，則中間一項（第（）項）的二項式系數(shù)最大； ②如果n是奇數(shù)，則中間兩項（第項與第+1項）的二項式系數(shù)相等并最大。 （2）求展開式系數(shù)最大項：如求的展開式系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各項系數(shù)分別為 且第r+1項系數(shù)最大，應(yīng)用解出r來，即得系數(shù)最大項。 （二）賦值法的應(yīng)用 ※相關(guān)鏈接※ 1．賦值法在二項式定理中的應(yīng)用是高考常考的

21、內(nèi)容，二項式定理實質(zhì)是關(guān)于a,b,n的恒等式，出除了正用、逆用這個恒等式，還可根據(jù)所求系數(shù)和的特征，讓a,b取相應(yīng)的特殊值，至于特殊值a,b如何選取，視具體問題而定。 如：求展開式各項系數(shù)和，可令x=1,即得各項系數(shù)和，若要求奇數(shù)項的系數(shù)之和或偶數(shù)項的系數(shù)之和，可分別令x=-1,x=1,兩等式相加或相減即可求出結(jié)果。 2．“賦值法”是求二項展開式系數(shù)問題常用的方法，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解題易出現(xiàn)漏項等情況，應(yīng)引起注意。 ※例題解析※ 〖例〗設(shè) （1）求 （2）求 （3） （4） （5）求各項二項式系數(shù)的和。 思路解析：本題級出二

22、項式及其二項展開式求各系數(shù)和或部分系數(shù)和，可用賦值法，即令x取特殊值來解決。 解答：（1）令x=1,得 （2）令x=-1得而由（1）知 兩式相加，得。 （3）由（2）得 （4）令x=0得=1，亦得 （5）各項二項式系數(shù)的和為 （三）二項式定理的綜合應(yīng)用 （1）求46n+5n+1被20除后的余數(shù)； （2）7n+Cn17n-1+Cn27n-2+…+Cnn-17除以9，得余數(shù)是多少？ （3）根據(jù)下列要求的精確度，求1.025的近似值。①精確到0.01；②精確到0.001。 解析：（1）首先考慮46n+5n+1被4整除的余數(shù)。 ∵5n+1=(4+1)n+1=4n+1+C

23、n+114n+Cn+124n-1+…+Cn+1n4+1， ∴其被4整除的余數(shù)為1， ∴被20整除的余數(shù)可以為1，5，9，13，17， 然后考慮46n+1+5n+1被5整除的余數(shù)。 ∵46n=4(5+1)n=4(5n+Cn15n-1+Cn25n-2+…+Cnn-15+1)， ∴被5整除的余數(shù)為4， ∴其被20整除的余數(shù)可以為4，9，14，19。 綜上所述，被20整除后的余數(shù)為9。 （2） 7n+Cn17n-1+Cn27n-2+…+Cnn-17 =(7+1)n－1=8n－1=(9-1)n－1 =9n-Cn19n-1+Cn29n-2+…+(－1)n-1C

24、nn-19+(－1)nCnn-1 (i)當n為奇數(shù)時 原式=9n-Cn19n-1+Cn29n-2+…+（－1）n-1Cnn-19－2 ∴除以9所得余數(shù)為7。 (ii)當n為偶數(shù)時 原式=9n-Cn19n-1+Cn29n-2+…+(－1)n-1Cnn-19 ∴除以9所得余數(shù)為0，即被9整除。 （3）(1.02)5≈（1+0.02）5 =1+c510.02+C520.022+C530.023+C540.024+C550.025 ∵C520.022=0.004,C530.023=810-5 ∴①當精確到0.01時，只要展開式的前三項和，1+0.10+0.

25、004=1.104，近似值為1.10。 ②當精確到0.001時，只要取展開式的前四項和，1+0.10+0.004+0.0008=1.10408，近似值為 1.104。 注：1．二項式定理主要題目類型： （1）證明某些整除問題或求余數(shù)； （2）證明有關(guān)不等式； （3）進行近似計算； 2．解題方法歸納： （1）二項式定理的一個重要用途是做近似計算：當n不很大，|x|比較小時，。 （2）利用二項式定理還可以證明整除問題或求余數(shù)問題，在證明整除問題或求余數(shù)問題時要進行合理的變形，使被除（數(shù)）展開后的每一項都有除式的因式，要注意變形的技巧； （3）由于的展開式共有n+1項，故可能對某些項的取舍來放縮，從而達到證明不等式的目的。而對于整除問題，關(guān)鍵是拆成兩項利用二項式定理展開，然后說明各項是否能被整除。 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！