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7.7機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用,內(nèi)容:,幾種表達(dá)式:,EK2+EP2= EK1+EP1,?EK=－?EP,即 ?E=0,即 ?EK+?EP=0,即,知識回顧：機(jī)械能守恒定律,在只有重力(或彈簧彈力)做功的情況下, 物體的動能和重力勢能(或彈性勢能)發(fā)生相互轉(zhuǎn)化, 但機(jī)械能的總量保持不變.,一、機(jī)械能守恒定律的守恒條件問題,1.對機(jī)械能守恒條件的理解,① 只受重力或系統(tǒng)內(nèi)彈力。（如忽略空氣阻力的拋體運動）,② 還受其他力，但其他力不做功。（如物體沿光滑的曲面下滑，盡管受到支持力，但支持力不做功）,③ 有其他力做功，但做功的代數(shù)和為零。,2.判斷機(jī)械能是否守恒的常用方法,①用做功來判斷,②用能量角 度來判斷,,a.直接看對象總機(jī)械能是否變化,b.看對象是否存在機(jī)械能與其他形式能量轉(zhuǎn)化或與其他對象機(jī)械能轉(zhuǎn)移,例2.把一個小球用細(xì)繩懸掛起來, 就成為一個擺, 擺長為L, 最大偏角?, 小球運動到最低位置時的速度是多大? (不計空氣阻力),二、應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解題的方法和步驟,①明確研究對象(物體或者系統(tǒng)) ②明確研究對象的運動過程,分析研究對象的受力情況以及各力做功的情況,判斷機(jī)械能是否守恒 ③恰當(dāng)?shù)剡x取參考平面(零勢能面),并確定研究對象在過程中的始末機(jī)械能 ④根據(jù)機(jī)械能守恒定律列出方程進(jìn)行求解，有時不夠時再輔之以其它方程,單體機(jī)械能守恒定律表達(dá)式：,或用增量式：,從同一高度以相同的初速率向不同方向拋出質(zhì)量相同的幾個物體，不計空氣阻力，則[ ] A．它們落地時的動能都相同 B．它們落地時重力的即時功率不一定相同 C．它們運動的過程中，重力的平均功率不一定相同 D．它們從拋出到落地的過程中，重力所做的功不相同,A B C,例7.長為L質(zhì)量分布均勻的繩子，對稱地懸掛在輕小的定滑輪上，如圖所示.輕輕地推動一下，讓繩子滑下，那么當(dāng)繩子離開滑輪的瞬間，繩子的速度為 .,解：由機(jī)械能守恒定律，取小滑輪處為零勢能面.,,例 10. 一根內(nèi)壁光滑的細(xì)圓管，形狀如下圖所示，放在豎直平面內(nèi)，一個小球自A口的正上方高h(yuǎn)處自由落下，第一次小球恰能抵達(dá)B點；第二次落入A口后，自B口射出，恰能再進(jìn)入A口，則兩次小球下落的高度之比h1：h2= ______,解：第一次恰能抵達(dá)B點，不難看出,v B1=0,由機(jī)械能守恒定律 mg h1 =mgR+1/2·mvB12,∴h1 =R,第二次從B點平拋 R=vB2t R=1/2·gt 2,mg h2 =mgR+1/2·mvB22,h2 =5R/4,h1 ：h2 = 4：5,4：5,,例3. 以10m/s的速度將質(zhì)量為m的物體豎直向上拋出, 若空氣阻力忽略, g=10m/s2, 則: (1)物體上升的最大高度是多少? (2)上升過程在何處重力勢能和動能相等? (3)上升過程重力勢能和動能相等時速率 多大?,解： （1）設(shè)物體拋出時的速度為v0，物體上升的最大高度為h, 根據(jù)機(jī)械能守恒定律得： 1/2mv2=mgh 解得：h=5m (2)設(shè)當(dāng)動能和重力勢能相等的時候物體距地面高度為h1, 根據(jù)機(jī)械能守恒定律得： mgh=2mg h1 解得：h1=2.5m (3)設(shè)當(dāng)動能和重力勢能相等的時候物體的速度為v1， 根據(jù)機(jī)械能守恒定律得： mgh= mv12 解得：v1=5√2m/s,拓展：木塊A和B用一只輕彈簧連接起來，放在光滑水平面上，A緊靠墻壁，彈簧質(zhì)量不計。在B上施加向左的水平力使彈簧壓縮，如圖所示，當(dāng)撤去外力后，下列說法中正確的是（ ）,A.A離開墻壁前，A的機(jī)械能守恒 B.A離開墻壁前，A、B及彈簧這一系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 C.A離開墻后，A的機(jī)械能守恒 D.A離開墻后，A、B及彈簧這一系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,三、機(jī)械能守恒定律的綜合應(yīng)用問題,（一）一個物體的運動問題,解：剛好被拉斷瞬間，向心力為,所以,從釋放至剛好被拉斷瞬間，機(jī)械能守恒：,所以,斷開后，小球做平拋運動，,所以,例3、在高為h=1.2m的光滑平臺上有一個質(zhì)量m為0.5kg的小球被一細(xì)繩拴在墻上，球與墻之間有一被壓縮的輕彈簧，彈簧的彈性勢能Ep1=2J，當(dāng)細(xì)線被燒斷后，小球被彈出，求： (1)小球被彈出后的速度v1多大？ (2)小球的落地速度v2多大？（g=10m/s2）,解：小球被彈出的過程機(jī)械能守恒,,小球被彈出后的速度為：,之后，小球做平拋運動，機(jī)械能守恒,例4、如圖所示,用長為L的細(xì)繩懸掛一質(zhì)量為m的小球,再把小球拉到A點,使懸線與水平方向成30°夾角,然后松手。問:小球運動到懸點正下方B點時懸線對球的拉力多大?,解:小球釋放后,首先在重力作用下自由下落至C點細(xì)繩再次伸直,由幾何關(guān)系可知,此時細(xì)繩與水平方向夾角為30°,小球下落高度h=L。,根據(jù)機(jī)械能守恒定律得:,在C點細(xì)繩突然張緊對小球施以沿細(xì)繩的沖量,使小球沿細(xì)繩方向的分運動立即消失,其速度由Vc變?yōu)閂c1,之后,小球沿圓弧運動至B點,在此過程中,只有重力做功,機(jī)械能守恒,小球運動至B點時,細(xì)繩的拉力與重力提供向心力,所以F=3.5mg,例5、質(zhì)量為m的小球由長為L的細(xì)線系住,細(xì)線的另一端固定在A點,AB是過A的豎直線,E為AB上的一點,且AE=L/2,過E做水平線EF,在EF上釘鐵釘D,如圖所示.若線所能承受的最大拉力是9mg,現(xiàn)將小球和懸線拉至水平,然后由靜止釋放,若小球能繞鐵釘在豎直面內(nèi)做圓周運動,求鐵釘位置在水平線上的取值范圍.不計線與鐵釘 碰撞時的能量損失.,分析:首先需注意到題目中有兩個約束條件,一個是細(xì)線承受的拉力最大不能超過9mg,再就是必須通過最高點做豎直面上的完整的圓周運動.這樣鐵釘在水平線上的取值范圍就由相應(yīng)的兩個臨界狀態(tài)決定.,解:設(shè)鐵釘在位置D時,球至最低點細(xì)線所承受的拉力剛好為9mg,并設(shè)DE=X1,由幾何關(guān)系可求得碰釘子后球圓周運動的半徑,解以上各式得:,球由C點至D點正下方的過程中,遵守機(jī)械能守恒定律,有,球至D點正下方時,由細(xì)線拉力和球的重力的合力提供向心力.根據(jù)向心力公式得:,再設(shè)鐵釘在D`點時,小球剛好能夠繞鐵釘通過最高點做完整的圓周運動,并設(shè)D`E=X2,由幾何關(guān)系可求得球的運動半徑為,解以上各式得:,鐵釘在水平線EF上的位置范圍是:,球由C至圓周最高點過程中,遵守機(jī)械能守恒定律,有:,球至圓周最高時,其向心力由球的重力提供,根據(jù)向心力公式得:,（四）系統(tǒng)機(jī)械能守恒的問題,處理這類問題時,一是要注意應(yīng)用系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒的判斷方法;再是要靈活選取機(jī)械能守恒的表達(dá)式.常用的是:,例8、如圖所示,兩小球mA、mB通過繩繞過固定的半徑為R的光滑圓柱,現(xiàn)將A球由靜止釋放,若A球能到達(dá)圓柱體的最高點,求此時的速度大小(mB=2mA).,解:B球下落得高度為,A球上升得高度為2R,由A→B根據(jù)能量轉(zhuǎn)化守恒定律,ΔEK = -ΔEP,得,所以,例9、如圖光滑圓柱被固定在水平平臺上，質(zhì)量為m1的小球甲用輕繩跨過圓柱與質(zhì)量為m2的小球乙相連，開始時讓小球甲放在平臺上，兩邊繩豎直，兩球均從靜止開始運動，當(dāng)甲上升到圓柱最高點時繩子突然斷了，發(fā)現(xiàn)甲球恰能做平拋運動，求甲、乙兩球的質(zhì)量關(guān)系。,分析：與上題相似，只是甲乙的末速度為 ，所以,例9、如圖示，長為l 的輕質(zhì)硬棒的底端和中點各固定一個質(zhì)量為m的小球，為使輕質(zhì)硬棒能繞轉(zhuǎn)軸O轉(zhuǎn)到最高點，則底端小球在如圖示位置應(yīng)具有的最小速度v= 。,解：系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，ΔEP +ΔEK=0,因為小球轉(zhuǎn)到最高點的最小速度可以為0 ，所以，,,如圖所示，一固定的楔形木塊，其斜面的傾角θ=30o，另一邊與地面垂直，頂上有一定滑輪。一柔軟的細(xì)線跨過定滑輪，兩端分別與物塊A、B連接，A的質(zhì)量為4m，B質(zhì)量為m，開始時將B按在地面上不動，然后放開手，讓A沿斜面下滑而B上升。物塊A與斜面間無摩擦。設(shè)當(dāng)A沿斜面下滑距離s后，細(xì)繩突然斷了，求物塊B上升的最大距離H,（思考題）如圖所示，物體A、B用繩子連接穿過定滑輪，已知mA=2mB, 繩子的質(zhì)量不計，忽略一切摩擦，此時物體A、B距地面高度均為H，釋放A，求當(dāng)物體A剛到達(dá)地面時的速度多大？（設(shè)物體B到滑輪的距離大于H）,例與練,如圖所示，A、B兩球質(zhì)量分別為4m和5m,其間用輕繩連接，跨放在光滑的半圓柱體上(半圓柱體的半徑為R)．兩球從水平直徑的兩端由靜止釋放．已知重力加速度為g，圓周率用π表示。當(dāng)球A到達(dá)最高點C時，求： (1)球A的速度大?。? (2)球A對圓柱體的壓力,【例7】將質(zhì)量為M和3M的兩小球A和B分別拴在一根細(xì)繩的兩端，繩長為L，開始時B球靜置于光滑的水平桌面上，A球剛好跨過桌邊且線已張緊，如圖所示．當(dāng)A球下落時拉著B球沿桌面滑動，桌面的高為h，且h＜L．若A球著地后停止不動，求：（1）B球剛滑出桌面時的速度大?。?）B球和A球著地點之間的距離．,,,機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用,【例4】一條長為L的均勻鏈條，放在光滑水平桌面上，鏈條的一半垂于桌邊，如圖所示現(xiàn)由靜止開始使鏈條自由滑落，當(dāng)它全部脫離桌面時的速度為多大?,,【解析】因桌面光滑，鏈條雖受桌面的支持力，但支持力對鏈條不做功，在鏈條下滑過程中只有重力對鏈條做功，故鏈條下滑過程中機(jī)械能守恒,設(shè)鏈條總質(zhì)量為ｍ，由于鏈條均勻，因此對鏈條所研究部分可認(rèn)為其重心在它的幾何中心，選取桌面為零勢能面，則初、末狀態(tài)的機(jī)械能分別為：,初態(tài)：,末態(tài)：,例10、如圖所示，質(zhì)量分別為4m和m的A和B物體用細(xì)繩連接，并跨過裝在斜面頂端的無摩擦滑輪上，A放在傾角為30°的光滑斜面上，開始時將B按在地面上不動,然后放開手,讓A沿斜面下滑而B上升, 設(shè)當(dāng)A沿斜面下滑s距離后,細(xì)線突然斷了,求物塊B上升的最大距離H。,,解：取A、B及地球為系統(tǒng)：,,對B：,且,所以,例11、如圖所示，長為2L的輕桿OB，O端裝有轉(zhuǎn)軸，B端固定一個質(zhì)量為m的小球B，OB中點A固定一個質(zhì)量為m的小球A，若OB桿從水平位置靜止開始釋放轉(zhuǎn)到豎直位置的過程中，求A、B球擺到最低點的速度大小各是多少。,解：選A、B及地球為一系統(tǒng)，此系統(tǒng)中只有動能和重力勢能發(fā)生轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：,又,所以,例12、如圖所示,半徑為r,質(zhì)量不計的圓盤與地面垂直,圓心處有一個垂直盤面的光滑水平固定軸O,在盤的最右邊緣固定一個質(zhì)量為m的小球A,在O點的正下方離O點r/2處固定一個質(zhì)量也為m的小球B.放開盤讓其自由轉(zhuǎn)動,求：,（1）A球轉(zhuǎn)到最低點時的線速度是多少？,（2）在轉(zhuǎn)動過程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是多少？,解：(1)該系統(tǒng)在自由轉(zhuǎn)動過程中,只有重力做功,機(jī)械能守恒.設(shè)A球轉(zhuǎn)到最低點時的線速度為VA,B球的速度為VB,則據(jù) 機(jī)械能守恒定律可得:,據(jù)圓周運動的知識可知:VA=2VB,所以,所以,(2)設(shè)在轉(zhuǎn)動過程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是θ(如所示),則據(jù)機(jī)械能守恒定律可得:,例13、如圖所示,將楔木塊放在光滑水平面上靠墻邊處并用手固定,然后在木塊和墻面之間放入一個小球,球的下緣離地面高度為H,木塊的傾角為θ,球和木塊質(zhì)量相等,一切接觸面均光滑,放手讓小球和木塊同時由靜止開始運動,求球著地時球和木塊的速度.,解：因為球下落的垂直于斜面的分速度與斜面該方向的分速度相等，即,由機(jī)械能守恒定律可得,聯(lián)立方程可得,例14、如圖所示,光滑的半圓曲面AB,其半徑為R,在B端有一光滑小滑輪,通過滑輪用細(xì)繩連著兩個物體P、Q,其質(zhì)量分別為M和m,開始時,P在B處附近,Q懸在空中,現(xiàn)無初速地釋放P,P沿半圓曲面滑下,試求P滑至最低點時,P、Q的速度各多大?設(shè)繩足夠長.,解:因系統(tǒng)內(nèi)各物體間均無滑動摩擦力,所以系統(tǒng)遵守機(jī)械能守恒定律.,將速度VP分解,如圖所示,得:,聯(lián)立兩式得,例15、如圖所示，質(zhì)量均為m的小球A、B、C，用兩條長均為L的細(xì)線相連，置于高為h的光滑水平桌面上。L>h，A球剛跨過桌面。若A球、B球下落著地后均不再反彈，則C球離開桌邊緣時的速度大小是多少？,解：A球下落帶動B、C球運 動。A球著地前瞬間，A、B、 C三球速率相等，且B、C球 均在桌面上。因A球著地后 不反彈，故A、B兩球間線松弛，B球繼續(xù)運動并下落，帶動小球C，在B球著地前瞬間，B、C兩球速率相等。,故本題的物理過程應(yīng)劃分為兩個階段：從A球開始下落到A球著地瞬間；第二個階段，從A求著地后到B球著地瞬間。,在第一個階段，選三個球及地球為系統(tǒng)，機(jī)械能守恒，則有：,,第二個階段，選B、C兩球及地球為系統(tǒng)，機(jī)械能守恒，則有：,,,解得：,