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●基礎(chǔ)知識一、七種空間中的距離1．兩點(diǎn)間的距離——連結(jié)兩點(diǎn)的的長度．2．點(diǎn)到直線的距離——從直線外一點(diǎn)向直線引垂線，的長度．3．點(diǎn)到平面的距離——從點(diǎn)向平面引垂線，的長度．4．平行直線間的距離——從兩條平行線中一條上任意取一點(diǎn)向另一條直線引垂線，的長度．,點(diǎn)到垂足之間線段,點(diǎn)到垂,足間線段,這點(diǎn)到垂足間線段,線段,5．異面直線間的距離——兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的的長度．6．直線與平面間的距離——如果一條直線和一個平面平行，從直線上任意一點(diǎn)向平面引垂線，的長度．7．兩平行平面間的距離——夾在兩個平面之間的的長度．,線段,這點(diǎn)到垂足,間線段,公,垂線段,二、求距離的方法從空間中各種距離的定義看，它們基本上都是轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離來計算．因此，會求空間中兩點(diǎn)的距離是基礎(chǔ)，求點(diǎn)到直線和點(diǎn)到平面的距離是重點(diǎn)，求異面直線的距離是難點(diǎn)．求解距離問題要注意運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思路：面面距離→線面距離→點(diǎn)面距離→點(diǎn)點(diǎn)距離．,三、求距離的一般步驟1．找出或作出有關(guān)距離的圖形．2．證明它們就是所求的距離．3．利用平面幾何和解三角形的知識在平面內(nèi)計算求解．,●易錯知識一、公式應(yīng)用失誤．1．異面直線a、b所成的角60，其公垂線為AB，且A∈a，B∈b，又M∈a，N∈b，且AM＝5，BN＝4，AB＝3，則MN＝__________.,二、分析問題不全面致誤．2．不共面的四個定點(diǎn)到平面α的距離相等，這樣的平面α共有()A．3個B．4個C．6個D．7個解題思路：①如圖設(shè)E、F、G分別為棱AB，AC，AD的中點(diǎn)，則過E、F、G三點(diǎn)的平面P就是高AH的垂直平分面，所以它與A、B、C、D四點(diǎn)等距．四面體有四條高，因此，這樣的平面共有四個可作，因此，與A、B、C、D四點(diǎn)等距的平面有四個．,②如圖，設(shè)k，L分別為BD、BC的中點(diǎn)，則過K、L、F、G四點(diǎn)的平面就是異面直線AB、CD的公垂線段MN的垂直平分面，它與A、B、C、D四點(diǎn)距離相等．四面體有三對異面的棱，這樣的平面共有3個，因此，這道題的正確答案是7個．故選D.答案：D,●回歸教材1．下列命題中：①PA⊥矩形ABCD所在的平面，則P、B兩點(diǎn)間的距離等于點(diǎn)P到BC的距離；②若a∥b，a?α，b?α，則a與b的距離等于a與α的距離；③直線a、b是異面直線，a?α，b∥α，則a、b之間的距離等于b與α的距離；④直線a、b是異面直線，a?α，b?β，且α∥β，則a、b之間的距離等于α與β之間的距離其中正確命題的個數(shù)有()A．1個B．2個C．3個D．4個,解析：①正確，如圖1，點(diǎn)線距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離；②不正確，如圖2；③、④正確，如圖3、圖4，異面直線的距離常?？赊D(zhuǎn)化為線面或面面之間的距離．故選C.答案：C,2．已知平面α外不共線的三點(diǎn)A，B，C到α的距離都相等，則正確的結(jié)論是()A．平面ABC必不垂直于αB．平面ABC必平行于αC．平面ABC與α相交D．存在△ABC的一條中位線平行于α或在α內(nèi)解析：平面ABC可以與α平行、相交(包括垂直)，故排除A、B、C，選擇D.答案：D,3．點(diǎn)P是?ABCD所在平面外一點(diǎn)，若P到四邊的距離都相等，則ABCD()A．是正方形B．是長方形C．有一個內(nèi)切圓D．有一個外接圓解析：根據(jù)射影長定理，知P的射影O到四邊距離相等，所以選C.答案：C,4．(教材改編題)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為1.則C1D1的中點(diǎn)E到直線AB的距離為()解析：易知其距離為線段BC1的長，BC1的長為.答案：B,5．已知直角三角形EFG的直角頂點(diǎn)E在平面α內(nèi)，斜邊FG∥α，且FG＝6cm，EF、EG和α分別成30和45角，則FG到α的距離為()答案：B,【例1】(2008啟東中學(xué)模擬)P為四面體SABC的側(cè)面SBC內(nèi)的一點(diǎn)，若動點(diǎn)P到底面ABC的距離與到點(diǎn)S的距離相等，則動點(diǎn)P的軌跡是側(cè)面SBC內(nèi)的()A．線段或圓的一部分B．橢圓或雙曲線的一部分C．雙曲線或拋物線的一部分D．拋物線或橢圓的一部分,[解析]本題考查學(xué)生對圓錐曲線定義的掌握程度；培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、遷移能力、將空間圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化能力．如圖，過點(diǎn)P作PH⊥面ABC于點(diǎn)H，再過點(diǎn)P作PO⊥BC于點(diǎn)O，則∠POH等于二面角S—BC—A的平面角α，從而由條件知PH＝PS，所以＝sinα，當(dāng)α＝時，動點(diǎn)P的軌跡是拋物線的一部分；當(dāng)α≠時，動點(diǎn)P的軌跡是橢圓的一部分，故選D.[答案]D,(2007西安八校聯(lián)考)如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的側(cè)面ABB1A1內(nèi)有一動點(diǎn)P到直線AA1和BC的距離相等，則動點(diǎn)P的軌跡是()A．線段B．橢圓的一部分C．雙曲線的一部分D．拋物線的一部分答案：D,解析：P到直線BC的距離即為P到點(diǎn)B的距離，于是由拋物線的定義知，P點(diǎn)的軌跡為(以AA1為準(zhǔn)線，B為焦點(diǎn)的)拋物線的一部分，故選D.,【例2】(2009重慶，19)如圖，在△ABC中，∠B＝90，AC＝，D、E兩點(diǎn)分別在AB、AC上，使＝＝2，DE＝3.現(xiàn)將△ABC沿DE折成直二面角，求：,(1)異面直線AD與BC的距離；(2)二面角A－EC－B的大小(用反三角函數(shù)表示)．[命題意圖]本題主要考查異面直線之間的距離以及二面角的作法和求法，以及空間向量的運(yùn)用，關(guān)鍵是注意折疊問題中折前與折后的不變量．,[解析](1)在圖(1)中，因故DE∥BC.又因?yàn)椤螧＝90，從而AD⊥DE.在圖(2)中，因A－DE－B是直二面角，AD⊥DE，故AD⊥底面DBCE，從而AD⊥DB.而DB⊥BC，故DB為異面直線AD與BC的公垂線．下面求DB的長，在圖(1)中，又已知DE＝3，從而,(2)在圖(2)中，過D作DF⊥CE，交CE的延長線于點(diǎn)F，連接AF，由(1)知，AD⊥底面DBCE.由三垂線定理知AF⊥FC，故∠AFD為二面角A－EC－B的平面角．在底面DBCF中，∠DEF＝∠BCE，,從而在Rt△DFE中，DE＝3，DF＝DEsin∠DEF＝DEsin∠BCE＝在Rt△AFD中，AD＝4，tan∠AFD＝因此所求二面角A－EC－B的大小為,如下圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是BC的中點(diǎn)，DP交AC于M，B1P交BC1于N，(1)求證：MN是異面直線AC與BC1的公垂線；(2)求異面直線AC與BC1間的距離．,解析：(1)欲證MN⊥AC且MN⊥BC1，只要證明,總結(jié)評述：異面直線間的距離要控制難度，只要會求給出的公垂線段的情況．此題若不提示點(diǎn)P的位置而要你直接求AC與BC1間的距離，則難度大得多．作為開闊思路，想一想，還有哪些方法可求之.,【例3】如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90，AC＝BC＝a，D、E分別為棱AB、BC的中點(diǎn)，M為棱AA1上的點(diǎn)，二面角M—DE—A為30.(1)證明：A1B1⊥C1D；(2)求MA的長，并求點(diǎn)C到平面MDE的距離．,[命題意圖]本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識，考查空間想象力與思維能力．[解析](1)證明：如圖連結(jié)CD.∵三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∴CD為C1D在平面ABC內(nèi)的射影．∵△ABC中，AC＝BC，D為AB中點(diǎn)．∴AB⊥CD，∴AB⊥C1D.∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥C1D.,(2)解法一：過點(diǎn)A作CE的平行線，交ED的延長線于F，連結(jié)MF.∵D、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴DE∥AC，又∵AF∥CE，CE⊥AC，∴AF⊥DE.∵M(jìn)A⊥平面ABC，∴AF為MF在平面ABC內(nèi)的射影，∴MF⊥DE，∴∠MFA為二面角M—DE—A的平面角，∠MFA＝30.,在Rt△MAF中，∠MFA＝30，作AG⊥MF，垂足為G.∵M(jìn)F⊥DE，AF⊥DE，∴DE⊥平面AMF，∴平面MDE⊥平面AMF，∴AG⊥平面MDE.,在Rt△GAF中，∠GFA＝30，AF＝，∴AG＝，即A到平面MDE的距離為.∵CA∥DE，∴CA∥平面MDE，∴C到平面MDE的距離與A到平面MDE的距離相等，為.,解法二：過點(diǎn)A作CE的平行線，交DE的延長線于F，連結(jié)MF.∵D、E分別為AB、CB的中點(diǎn)，∴DE∥AC，又∵AF∥CE，CE⊥AC，∴AF⊥DE.∵M(jìn)A⊥平面ABC，∴AF為MF在平面ABC內(nèi)的射影，∴MF⊥DE，∴∠MFA為二面角M—DE—A的平面角，∠MFA＝30.,在Rt△MAF中，∠MFA＝30，設(shè)C到平面MDE的距離為h.∵VM—CDE＝VC—MDE，,(2009重慶，19)如圖所示，在四棱錐S－ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD，平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS＝2AD＝2，E為BS的中點(diǎn)，CE＝，AS＝.求：(1)點(diǎn)A到平面BCS的距離；(2)二面角E－CD－A的大?。?解析：(1)因?yàn)锳D∥BC，且BC?平面BCS，所以AD∥平面BCS，從而A點(diǎn)到平面BCS的距離等于D點(diǎn)到平面BCS的距離．因?yàn)槠矫鍯SD⊥平面ABCD，AD⊥CD，故AD⊥平面CSD，從而AD⊥DS.由AD∥BC，得BC⊥DS.又由CS⊥DS知DS⊥平面BCS，從而DS為點(diǎn)A到平面BCS的距離．,(2)如圖，過E點(diǎn)作EG⊥CD，交CD于點(diǎn)G，又過G點(diǎn)作GH⊥CD，交AB于H，故∠EGH為二面角E－CD－A的平面角，記為θ.過E點(diǎn)作EF∥BC，交CS于點(diǎn)F，連結(jié)GF.因平面ABCD⊥平面CSD，GH⊥CD，易知GH⊥GF，故θ＝－∠EGF.,【例4】在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2(如圖)(1)求證：平面A1BC1∥平面ACD1；(2)求(1)中兩個平行平面間的距離．,[分析]證面面平行，只需證其中一個平面內(nèi)的某兩條相交直線平行于另一個平面，而計算面面距離，除找公垂線段外，還可求其中一個平面內(nèi)任一點(diǎn)到另一平面的距離，也可用“等體積法”計算．,[解](1)由于BC1∥AD1，則BC1∥平面ACD1.同理，A1B∥平面ACD1，則平面A1BC1∥平面ACD1；(2)設(shè)兩平行平面A1BC1與ACD1間的距離為d，則d等于D1到平面A1BC1的距離．由于VD1－A1BC1＝VB－A1C1D1，則,(2009北京，7)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面邊長為1，AB1與底面ABCD成60角，則A1C1到底面ABCD的距離為(),答案：D解析：依題可知∠B1AB＝60，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，A1C1?平面A1B1C1D1，∴B1B即為所求距離，在△ABB1中，得B1B＝.故選D.,1．異面直線間的距離的求法：直接法：找兩異面直線的公垂線段并求解；…….2．兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)線距離的求法：兩點(diǎn)之間的距離，常利用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式來求；點(diǎn)到直線的距離，常用三垂線定理來求．,3．點(diǎn)面距離的求法：(1)直接法：往往利用面面垂直作線面垂直，作圖時，應(yīng)避免引垂線的隨意性與盲目性；(2)等積法；(3)轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為線面距離、面面距離等．4．注意各種距離之間的相互轉(zhuǎn)化：如點(diǎn)面距離→線面距離→點(diǎn)面距離；面面距離→線面距離→點(diǎn)面距離．,請同學(xué)們認(rèn)真完成課后強(qiáng)化作業(yè),