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1、 第五課時 解三角形應用舉例（一） 教學目標： 會在各種應用問題中,抽象或構(gòu)造出三角形,標出已知量、未知量,確定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解決的各類應用問題的基本圖形和基本等量關(guān)系，理解各種應用問題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等，通過解三角形的應用的學習，提高解決實際問題的能力；通過解斜三角形在實際中的應用，要求學生體會具體問題可以轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學問題，以及數(shù)學知識在生產(chǎn)、生活實際中所發(fā)揮的重要作用. 教學重點： 1.實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化； 2.解斜三角形的方法. 教學難點： 實際問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化思路的確定. 教學過程：

2、Ⅰ.課題導入 解三角形的知識在測量、航海、幾何、物理學等方面都有非常廣泛的應用，如果我們抽去每個應用題中與生產(chǎn)生活實際所聯(lián)系的外殼，就暴露出解三角形問題的本質(zhì)，這就要提高分析問題和解決問題的能力及化實際問題為抽象的數(shù)學問題的能力. 下面，我們將舉例來說明解斜三角形在實際中的一些應用. Ⅱ.講授新課 ［例1］自動卸貨汽車的車箱采用液壓結(jié)構(gòu)，設(shè)計時需要計算油泵頂桿BC的長度.已知車箱的最大仰角為60，油泵頂點B與車箱支點A之間的距離為1．95 m，AB與水平線之間的夾角為620′，AC長為1．40 m，計算BC的長（保留三個有效數(shù)字）. 分析：求油泵頂桿BC的長度也就是在△ABC內(nèi)，求邊

3、長BC的問題，而根據(jù)已知條件，AC＝1．40 m，AB＝1．95 m，∠BAC＝60＋620′＝6620′.相當于已知△ABC的兩邊和它們的夾角，所以求解BC可根據(jù)余弦定理. 解：由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2ABACcosA ＝1．952＋1．402－21．951．40cos6620′＝3．571 ∴BC≈1．89　（m） 答：油泵頂桿BC約長1．89 m. 評述：此題雖為解三角形問題的簡單應用，但關(guān)鍵是把未知邊所處的三角形找到，在轉(zhuǎn)換過程中應注意“仰角”這一概念的意義，并排除題目中非數(shù)學因素的干擾，將數(shù)量關(guān)系從題目準確地提煉出來. ［例2］某漁船在航行中不幸遇險，

4、發(fā)出求救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45、距離A為10 n mile的C處，并測得漁船正沿方位角為105的方向，以9 n mile／h的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21 n mile／h的速度前去營救，試問艦艇應按照怎樣的航向前進?并求出靠近漁船所用的時間. 分析：設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時間為x h，則利用余弦定理建立方程來解決較好，因為如圖中的∠1，∠2可以求出，而AC已知，BC、AB均可用x表示，故可看成是一個已知兩邊夾角求第三邊問題. 解：設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時間為x h，則AB＝21x n mile，BC＝9x n mile，AC＝1

5、0 n mile，∠ACB＝∠1＋∠2＝45＋（180－105）＝120 根據(jù)余弦定理，可得 AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos120得 （21x）2＝102＋（9x）2－2109xcos120， 即36x2－9x210＝0 解得x1＝，x2＝－（舍去） ∴AB＝21x＝14，BC＝9x＝6 再由余弦定理可得：cosBAC＝＝＝0．9286， ∴∠BAC＝2147′，45＋2147′＝6647′. 而艦艇方位角為6647′，小時即40分鐘. 答：艦艇應以6647′的方位角方向航行，靠近漁船則需要40分鐘. 評述：解好本題需明確“方位角”這一概念，方位角是指由正北方向

6、順時針旋轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，其范圍是（0，360）. 在利用余弦定理建立方程求出x后，所求艦艇方位角就轉(zhuǎn)化為一個已知三邊求角的問題，故仍然利用余弦定理. 從上述兩個例題，大家可以看出，實際問題的解決關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為具體的解三角形問題，從而與我們已知的知識方法產(chǎn)生聯(lián)系.在下面的例題分析中，我們繼續(xù)加以體會. ［例3］如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處（－1）海里的B處有一艘走私船.在A處北偏西75方向，距A處2海里的C處的我方緝私船，奉命以10海里／時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里／時的速度，從B處向北偏東30方向逃竄.問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出

7、所需時間. 解：設(shè)緝私船應沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲（在D點）走私船， 則CD＝10t海里，BD＝10t海里. ∵BC2＝AB2＋AC2－2ABACcosA ＝（－1）2＋22－2（－1）2cos120＝6 ∴BC＝ ∵＝ ∴sinABC＝＝＝ ∴∠ABC＝45，∴B點在C點的正東方向上， ∴∠CBD＝90＋30＝120 ∵＝ ∴sin∠BCD＝＝＝， ∴∠BCD＝30，∴∠DCE＝90－30＝60 由∠CBD＝120，∠BCD＝30，得∠D＝30 ∴BD＝BC，即10t＝ ∴t＝（小時）≈15（分鐘） 答：緝私船沿北偏東60的方向行駛，才能最快截獲走

8、私船，需時約15分鐘. ［例4］用同樣高度的兩個測角儀AB和CD同時望見氣球E在它們的正西方向的上空，分別測得氣球的仰角是α和β,已知B、D間的距離為a，測角儀的高度是b，求氣球的高度. 分析：在Rt△EGA中求解EG，只有角α一個條件，需要再有一邊長被確定，而△EAC中有較多已知條件，故可在△EAC中考慮EA邊長的求解，而在△EAC中有角β，∠EAC＝180－α兩角與BD＝a一邊，故可以利用正弦定理求解EA. 解：在△ACE中，AC＝BD＝a，∠ACE＝β，∠AEC＝α－β， 根據(jù)正弦定理，得AE＝ 在Rt△AEG中，EG＝AEsinα＝ ∴EF＝EG＋b＝＋b， 答：氣球的高

9、度是＋b. 評述：此題也可以通過解兩個直角三角形來解決，思路如下：設(shè)EG＝x，在Rt△EGA中，利用cotα表示AG；在Rt△EGC中，利用cotβ表示CG，而CG－AG＝CA＝BD＝a，故可以求出EG，又GF＝CD＝b，故EF高度可求. ［例5］如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點C在AB的延長線上，BC＝1，點P為半圓上的一個動點，以DC為邊作等邊△PCD，且點D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值. 分析：要求四邊形OPDC面積的最大值，這首先需要建立一個面積函數(shù)，問題是選誰作為自變量，注意到動點P在半圓上運動與∠POB大小變化之間的聯(lián)系，自然引入∠POB＝θ作為

10、自變量建立函數(shù)關(guān)系.四邊形OPDC可以分成△OPC與等邊△PDC，S△OPC可用OPOCsinθ表示，而等邊△PDC的面積關(guān)鍵在于邊長求解，而邊長PC可以在△POC中利用余弦定理表示，至于面積最值的獲得，則通過三角函數(shù)知識解決. 解：設(shè)∠POB＝θ，四邊形面積為y，則在△POC中，由余弦定理得 PC2＝OP2＋OC2－2OPOCcosθ＝5－4cosθ ∴y＝S△OPC＋S△PCD＝12sinθ＋（5－4cosθ） ＝2sin（θ－）＋ ∴當θ－＝即θ＝時，ymax＝2＋. 評述：本題中余弦定理為表示△PCD的面積，從而為表示四邊形OPDC面積提供了可能，可見正、余弦定理不僅是解三角形的依據(jù)，一般地也是分析幾何量之間關(guān)系的重要公式，要認識到這兩個定理的重要性. 另外,在求三角函數(shù)最值時,涉及到兩角和正弦公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ的構(gòu)造及逆用，應要求學生予以重視. Ⅲ.課堂練習 課本P20 練習1，2，3，4. Ⅳ.課時小結(jié) 通過本節(jié)學習，要求大家在了解解斜三角形知識在實際中的應用的同時，掌握由實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化，并提高解三角形問題及實際應用題的能力. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P21習題 1，2，3. 4