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向量與向量空間同矩陣一樣，也是線性代數(shù)中一個非常重要的概念，對它們的討論是線性代數(shù)的主要內容之一.另外，在對線性方程組的討論中，不僅需要行列式、矩陣，而且也需要向量這個重要工具.,第三章向量及向量空間,第一節(jié)向量及其線性運算,一、向量的概念,由n個數(shù)組成的有序數(shù)組,定義1,,（3.1),或,,（3.2）,稱為一個n維向量，簡稱向量。,(3.1)式稱為行向量，(3.2)式稱為列向量,以后我們用小寫希臘字母來表示向量。,注意行向量和列向量的區(qū)別只是寫法上的不同。若是行向量，則是列向量，若是列向量，則是行向量.本教材習慣將向量表示成列向量的形式。,定義2如果向量和,則稱這兩個向量相等.記為α=β,的對應分量都相等,即:,,為向量α與數(shù)k的乘積，記為kα.,向量的加法和數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.,稱向量,給定向量,為向量α與β的和，記為α+β.,稱向量,T,二、向量的線性運算,稱向量,為α的負向量，記為-α.,定義3,分量全為零的向量(0,0,…,0)T稱為零向,量，記為0.,而向量的減法定義為,向量的線性運算與矩陣的運算規(guī)律相同，且滿足下列八條運算規(guī)律（其中α,β,γ為n維向量,k,l為實數(shù)）：(1)α+β=β+α;(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);(3)α+0=α;(4)α+(-α)=0;(5)(k+l)α=kα+lα;(6)k(α+β)=kα+kβ;(7)(kl)α=k(lα)=l(kα);(8)1α=α.,例1,設α1=(2,5,1,3)T,α2=(-1,1,2,0)，,解,α1-2α2=(2,5,1,3)T-2(-1,1,2,0)T,求α1-2α2.,=(2,5,1,3)T-(-2,2,4,0)T,=(4,3,-3,3)T.,T,注意由于向量可以看成特殊的矩陣,所以向量運算和矩陣運算就非常類似，其運算性質也相同.,向量的概念在實際中有著廣泛的應用.例如,在線性方程組,中的每一行,中，系數(shù)矩陣,都是n維行向量,這m個n維行向量，稱為系數(shù)矩陣A的行向量組;,(i=1,2,…,m),都是m維列向量,這n個m維列向量稱為系數(shù)矩陣A的列向量組.,若記常數(shù)向量為=(),T,利用向量的運算，線性方程組也有向量表示形式:,(j=1,2,…,n),每一列,第二節(jié)向量的線性關系,一、向量組的線性組合,,,,,,定義4,給定向量組,對于任何,一組實數(shù),稱表達式,為向量組A的一個線性組合，稱,為這,個線性組合的系數(shù)。,向量組的關系對于我們揭示線性方程組中方程與方程之間、解與解之間的關系乃至更廣泛的事物之間的聯(lián)系是極其有意義的，我們必須熟練掌握如何判定向量組之間的關系.,定義5,給定向量組,和向量β，,若存在一組數(shù),使得,則稱向量β是向量組A的線性組合，或稱β能由向量組A線性表示(或線性表出).否則稱β不能由向量組A線性表示.,考慮線性方程組,，,則線性方程組可以表示為如下形式：x1α1+x2α2+…+xnαn=β.,令,β,于是，線性方程組是否有解，就等價于是否可由向量組,線性表示.,注(1)β能由向量組唯一線性表示,(3)β不能由向量組線性表示,(2)β能由向量組線性表示且表示式不唯一,有無窮多個解.,無解.,有唯一解.,線性方程組,線性方程組,線性方程組,(5)向量組中任一向量,稱向量組為n維基本單位向量組.,(4)任意向量都可由向量組，…,,線性表示.且表示式為,=0+…+1+…+0.,都可由該向量組線性表示.且表示式為:,(j=1,2,…,s),例1判斷向量β=(1,2,3)T是否可由向量組α1=(1,0,0)T,α2=(1,1,0)T,α3=(1,1,1)T線性表示，如果可以，請將β用α1,α2,α3表示出來.,,所以β可以由向量組α1,α2,α3唯一線性表示為：β=-α1-α2+3α3.,有唯一解：,解設,即,唯一線性表示，則k應滿足什么條件？,設向量可以由向量組線性表示,則,例2設,解,由于有唯一解，則根據(jù)克萊姆法則，得,故當時，能由唯一線性表示.,二、向量組的線性相關與線性無關,定義6,給定向量組,如果存在不全為零,的數(shù),使,則稱向量組A線性相關，否則稱向量組A線性無關.,注(1)向量組線性相(無)關的充分必要條件是:齊次方程組,有非零解(只有零解)；,(2)向量組α1=(a11,a21,…,an1)T,α2=(a12,a22,…,an2)T,,…,=()T線性相(無)關的充分必要,條件是行列式,比如:給定向量組,因為,所以線性相關,(6)僅含兩個非零向量的向量組線性相(無)關的充分必要條件是這兩個向量的對應分量成(不成)比例.,(5)僅含一個向量的向量組α線性相(無)關的充分必要條件是α=0(α≠0);,(4)含零向量的向量組必線性相關；,(3)基本單位向量組線性無關；,比如:,線性相關,比如:,例3證明：如果向量組α1,α2,α3線性無關，則向量組α1+α2，α2+2α3,α3+3α1也線性無關.,因,，所以只有零解x1=x2=x3=0，故α1+α2,α2+2α3,α3+3α1線性無關.,由于α1,α2,α3線性無關，故,即,證明設,22,復習:：兩個重要概念,定理1,向量組線性相關,證明必要性設α1,α2,…,αs線性相關，則存在s個不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs=0.不妨設k1≠.0，于是,充分性設α1,α2,…,αs中至少有一個向量能由其余向量線性表示，不妨設α1=k2α2+…+ksαs,即(-1)α1+k2α2+…+ksαs=0,故α1,α2,…,αs線性相關.,向量組中至少有一個向量能由其余向量線性表示.,即可由其余向量線性表示,三、向量組線性相關性的判定,推論向量組線性無關的充分,量線性表示.,必要條件是:向量組中任意向量都不能由其余向,,注意到線性無關，易知k≠0，所以,定理2若向量組線性無關，,而向量組，β線性相關，則向量,β可由向量組線性表示，且表示法唯一.,證明先證β可由線性表示.,因為,β線性相關，所以存在一組不,全為零的數(shù),若則有,線性無關.,再證表示式的唯一性,不能由線性表示，則向量組,推論若向量組線性無關,且向量β,故表示法是唯一的.,由線性無關，易知,定理3,若向量組中有一部分組線性相關，則整個向量組線性相關.簡稱部分相關，則整體相關.,推論,若向量組線性無關，則它的任意部分組也線性無關.簡稱整體無關，則部分無關.,定理4,推論,若向量組線性相關，則在各向量中相應減少分量后也線性相關.簡稱高維相關，則低維相關.,例如因為,所以,例如因為,若向量組線性無關，則在各向量中相應增加分量后仍線性無關.簡稱低維無關，則高維無關.,設有向量組,定義7,若向量組B中的每一個向量都可由向量組A線性表示，,則稱向量組B能由向量組A線性表示。,若向量組A與向量組B能互相線性表示，則稱向,向量組A與向量組B等價，記為,四.向量組間的線性表示,A:;B:,{}?{}.,根據(jù)定義，不難驗證向量組的等價關系具有以下性質：,反身性：任一向量組和它自身等價，即,(1),(2),對稱性：如果,則,(3),傳遞性：如果,則,如果向量組A：線性表示，并且s＞t，則向量組線性相關.,,推論1,如果向量組線性無關，并且可,由向量組線性表示，則s≤t.,推論2,兩個等價的線性無關向量組所含向量的個數(shù)相同.,定理5,證明設向量組和都是線性無關向量組，且{}?{}.,可由向量組B:,即兩個向量組所含向量的個數(shù)相同.,由推論1可知：s≤t,且t≤s.于是s=t，,推論3若向量組所含向量的個數(shù)大于其所含向量的維數(shù)，則向量組線性相關.,證明設為n維向量組，且s＞n,,而s＞n，由推論1知向量組線性相關.,向量組線性表示，,事實上，由于向量組能由基本單位,下證向量組線性相關.,例如,線性相關.,如果向量組的一個部分組α1,α2,…,αr,(1)α1,α2,…,αr線性無關；,(2)向量組中任意一個向量都可以由這個部分組α1,α2,…,αr線性表示(或者說向量組中任意r+1個向量都線性相關),,滿足條件：,為極大無關組.,為此向量組的一個,極大線性無關部分組，簡稱,則稱部分組,一、極大無關向量組,第三節(jié)向量組的秩,一、極大無關向量組,定義8,,的極大無關組.,不難驗證及也是,所以是向量組的一個極大無關組.,例1考慮向量組,顯然，部分組線性無關.,線性表示：,向量組中的任一向量都可由,(2)若向量組是線性無關的，,(4)一個向量組的極大無關組所含向量的個數(shù)不超過這個向量組中所含向量的維數(shù).,(3)只含有零向量的向量組無極大無關組；,注(1)一個向量組的極大無關組可以不唯一；,則本身就是它的一個極大無關組；,任一向量組和它的極大無關組等價.,定理6,由定理6及向量組等價的傳遞性得:,推論1向量組的任何兩個極大無關組等價.,推論2向量組的任何兩個極大無關組所含向量的,個數(shù)相同.,由向量組等價的定義及極大無關組的定義得:,二、向量組的秩,向量組α1,α2,…,αs的極大無關組所含向量,定義9,如果一個向量組僅含有零向量，則規(guī)定它的秩為零.,顯然，如果向量組α1,α2,…,αs線性無關，則R(α1,α2,…,αs)=s,此時稱α1,α2,…,αs為滿秩向量組.否則稱為降秩向量組.,的個數(shù)稱為向量組的秩，記為R(α1,α2,…,αs).,由此可知:若向量組的秩=它所含向量的個數(shù)，則這個向量組線性無關。,等價向量組的秩相等，即如果,定理7,則,推論,若向量組,可由向量組,線性表示，則,證參見教材78頁.,證參見教材78頁.,從而,三、矩陣的秩和向量組的秩的關系,矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩.,定理8,證明設矩陣，R(A)=s,,則存在A的s階子式,從而所在的s個列向量線性無關；,又A中所有s+1階子式，故A中任意,s+1個列向量都線性相關，因此Ds所在的s列是A的的列向量組的一個極大無關組，所以,同理可證，矩陣A的行向量組的秩也等于s.我們稱矩陣A的列向量組的秩為A的列秩，A的行向量組的秩為A的行秩.從而，矩陣A的列秩等于A的行秩等于A的秩.,如果我們要判定向量組的線性相關性或求它的秩，則可由向量組構造一個矩陣，然后利用初等變換將其化為階梯形矩陣來求秩.如果向量組為滿秩的，則向量組線性無關，否則，向量組線性相關.,例2求向量組的秩,并判定線性相關性.,,,所以R(A)=R(α1,α2,α3,α4,α5)=3.,解因為,=,例3已知向量組α1=(1,-1,2,1,0),α2=(2,-2,4,-2,0),α3=(3,0,6,-1,1),α4=(0,3,0,0,1),試求(1)向量組α1,α2,α3,α4的秩；(2)判斷向量組的線性相關性；(3)求一個極大無關組，并將其余向量由這個極大無關組線性表示.,僅對A施行初等行變換，把A化為行階梯形矩陣：,解將向量看作矩陣的行向量組,構成矩陣,,由最后的行階梯形矩陣知：=R(A)=3.,從而極大無關組含3個向量.,由最后的0行得,故為一個極大無關組.,從而,即,顯然,且向量組的其余向量由這個極大無關組線性表示為,例4已知向量組(1)求;(2)判定的線性相關性；(3)求一個極大無關組，并將其余向量由這個極大無關組線性表示.,解記,,則有,解記,,.所以=2,,并且極大無關組含兩個向量.,故,線性相關，,由此得,β3+β2-2β1=0,β4-3β2-β1=0,β5+β2+2β1=0,α3+α2-2α1=0,α4-3α2-α1=0,α5+α2+2α1=0,,顯然{α1,α2,α3,α4,α5}?{α1,α2},從而R(α1,α2,α3,α4,α5)=R(α1,α2)=2,于是α1,α2為一個極大無關組.,由最后的零行得：,從而,即,定理矩陣的行初等變換不改變矩陣的列向量組之間的線性關系.即有,(1)矩陣A的列向量組,中的部分組,線性無關B的列向量組,中對應的部分組,線性無關;,(2)矩陣A的列向量組,中的某個向量可由,部分組,線性表示為,的充要條件是B的列向量組,中對應的向量,此定理給出了求向量組的秩、向量組的極大無關組以及將向量組中其余向量表示成極大無關組的線性組合的方法：,（1）將向量組寫成矩陣，利用初等行變換將矩陣化為行最簡形矩陣；,（2）行最簡形矩陣的行數(shù)就是矩陣的秩也是列向量組的秩，其最左邊的非零元素所在的列向量組成向量組的一個極大線性無關組；,（3）利用極大線性無關組將其余向量線性表出.,例5設向量組,求向量組的一個極大無關組，并將其余向量用極大無關組線性表示.,,,由階梯形矩陣有三個非零行可知,,,=B,,,,又因為B的1，2，4列是B的列向量組的一個極大無關組,,,,所以向量組的其余向量由極大無關組線性表示為,5.證明：如果向量β不能被向量組線性表示，則β也不能被的任何部分組線性表示.,證∵不能由線性表示,β,∴線性方程組無解,假設能由線性表示，則存在一組數(shù),β,,,,,從而,,此式與方程組無解矛盾,,故不能由的任何部分組線性表示,，使,10.如果向量組線性無關，試證：(1)向量組線性無關；(2)向量組線性相關.,證（1）設,則,∴,即,故,線性無關。,（2）設,則,∵,線性無關,解之得,∴,從而向量組線性相關。,試證向量組與n維基本單位向量組等價.,證一方面，向量組,能由基本單位向量組,另一方面，基本單位向量組,由向量組,線性表示為,∴向量組,與向量組,等價。,11.設n維向量組,線性表示；,12.已知向量組與向量組有相同的秩，證明：｛?｛｝.,證一方面,可由向量組,另一方面由于,與,有相同的秩，,的一個極大無關組就是向量組,的一個極大無關組，,可以由,線性表示.,線性表示；,所以,從而,故,｝,13.設向量組的秩為r，是中的r個向量，使得中每一個向量都可被它們線性表示.證明：是的一個極大線性無關組.,證依題設向量組可由線性表示,又顯然,,線性無關,是,的一個極大無關組。,∴,故,所以,可由線性表示,14.證明：如果n維基本單位向量可由n維向量組線性表示，則向量組線性無關.,證∵,可由,而,也可由,線性表示,從而,故,線性無關。,線性表示，,∴,15.設是一組n維向量，證明：線性無關的充要條件是任一維向量都可被它們線性表示.,證必要性：∵,是一組,維向量，,線性無關，顯然任意,n維向量,都可由,線性表示。,∴基本單位向量組,可由,故,∴,從而,線性無關。,充分性：∵任意n維向量都可以由,若,線性表示，,線性表示，,17.判斷下列命題是否正確，如果該命題成立，則簡述理由，否則，舉出反例：若存在全為零的數(shù)k1=k2=…=ks=0，使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0，則向量組α1，α2，…，αs線性無關；(2)如果向量組α1，α2，…，αs線性相關，則其任一部分組也線性相關；(3)如果向量組α1，α2，…，αs線性相關，則其任一向量都可由其余向量線性表示；(4)如果向量組α1，α2，…，αm中有r個向量使得α1，α2，…，αm中任何向量均可由這r個向量線性表示，則R(α1，α2，…，αm)=r；,(錯),（錯）,（錯）,（錯）,(5)如果兩個向量組等價，則它們所含的向量個數(shù)相同；(6)如果R(α1，α2，…，αs)=r，則向量組α1，α2，…，αs中任意r個向量都線性無關；(7)如果R(α1，α2，…，αs)=r，則向量組α1，α2，…，αs中任意多于r個向量的向量組都線性相關；(8)如果R(α1，α2，…，αs)=s，則向量組α1，α2，…，αs中的任一部分組都線性無關,（錯）,（錯）,（對）,.(對),線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是一個抽象的概念，它是向量空間概念的推廣．,線性空間是為了解決實際問題而引入的，它是某一類事物從量的方面的一個抽象，即把實際問題看作線性空間，進而通過研究線性空間來解決實際問題．,一.線性空間的定義,若F中任意兩個數(shù)的和、差、積、商（0不作除數(shù)），仍然,在F中，則稱F為一個數(shù)域。,容易驗證，實數(shù)集R、有理數(shù)集Q都是數(shù)域，,而無理數(shù)集不是數(shù)域。,第四節(jié)向量空間,定義2,設V為一非空集合，V中的元素用小寫希臘字母,α，β,γ等表示，對V中的任意兩個元素α、β及,數(shù)域F中的數(shù)k，定義了加法運算(記為α+β)及數(shù)乘運算(記為kα)，且α+β∈V,kα∈V，如果加法運算和數(shù)乘運算(統(tǒng)稱為線性運算)滿足下述8條運算律：,則稱V為數(shù)域F上的一個線性空間.,例1實數(shù)域R上的全體n維向量的集合，按照向量的加法與數(shù)乘運算是一個線性空間.該線性空間俗稱為向量空間.例2實數(shù)域R上的mn矩陣的全體組成的集合，按照矩陣的加法與數(shù)乘運算是一個線性空間.例3定義在閉區(qū)間［a,b］上的全體連續(xù)函數(shù)的集合C［a,b］，按照函數(shù)的加法與乘法是一個線性空間.例4單個零元素組成的集合V={0}是一個線性空間，稱為零線性空間(這里定義0+0=0,k0=0,k為數(shù)域F中的數(shù)).,上述例子表明，線性空間的概念比向量空間的,稱為向量，而不論其實際是矩陣、是函數(shù)還是其他什么,概念更具有普遍性。習慣上我們仍將線性空間中的元素,事物，線性空間V又稱向量空間。,為了對向量空間進行深入的討論，我們引入了向量(廣義的)的線性組合、線性相關、線性無關等概念，而本章第一節(jié)，第二節(jié)所討論的向量(狹義的)的有關定義和定理可以推廣到數(shù)域F上的線性空間中來，本教材便不再敘述這些內容.,我們已經(jīng)知道：在Rn中，線性無關的向量組最多由n個向量組成，而任意n+1個向量都是線性相關的．,我們把這n個線性無關的向量稱為線性空間的一組基。一般地，有如下定義:,二、線性空間的基與維數(shù),定義3在線性空間V中，如果存在n個向量,滿足：,維數(shù),,當一個線性空間V中存在任意多個線性無關的向量時，就稱V是無限維的．,記作dimV＝n;,注(1)零向量空間沒有基,規(guī)定其維數(shù)為0.,(2)如果把向量空間V看作向量組,可知,V的基就是向量組的極大無關組,V的維數(shù)就是向量組的秩.,(3)向量空間的基不唯一.,n維線性空間，,顯然，的任意n個線性無關向量都構成的一組基，從,而有無窮多組基。例如，n維基本向量組,就是的一組基（稱作標準基），于是是,組基，但不同的基中所含的向量的個數(shù)卻是相同的.,（4）零空間中沒有線性無關的向量，所以沒有基。,作為全體n維向量的集合，基是它的一個極大線性,無關組，而維數(shù)則是它的秩，所以雖然有無窮多,(5)由于本書只著重討論中的問題，所以下面的討論只,在中進行，事實上涉及到的概念與性質均可移植,到一般線性空間中去.,定義3,三、元素在給定基下的坐標,顯然，基本單位向量組為的一組基，向量在該組基下的坐標為,解之得x1=1,x2=5,x3=2,故α在基α1,α2,α3下的坐標為(1,5,2).,例5在R3中，求向量α=(8,7,2)T在基α1=(1,0,0)T,α2=(1,1,0)T,α3=(1,1,1)T下的坐標.,解設則有,定理1設是的一組基，α,β是的兩個,向量，它們在基下的坐標分別為,則α+β在這組基下的坐標為,kα(k∈R)在這組基下的坐標為,定義4設ξ1,ξ2,…,ξn和η1,η2,…,ηn為Rn的兩組基，它們之間的線性關系為,η1=a11ξ1+a21ξ2+…+an1ξn,η2=a12ξ1+a22ξ2+…+an2ξn,…………ηn=a1nξ1+a2nξ2+…+annξn,，,(),即,*,四、基變換公式與過渡矩陣,=,矩陣A=,稱為由基ξ1,ξ2,…,ξn到基η1,η2,…,ηn的過渡矩陣.,()式可簡記為,*,并稱之為由基基變換.,定理2設；以及都是的基，A,B為n階矩陣，并且,定理的結論是顯然的.,則()=()AB,()=()B,,()=()A,,反過來，任意一個n階可逆矩陣A都可以作為中由一組基到另一組基的過渡矩陣,過渡矩陣具有以下性質：,()=().,定理3設和均為,中的基，且,則過渡矩陣A可逆，且,()=()A,例如R2中有兩組基,求由基的過渡矩陣與,的過渡矩陣.,解,的過渡矩陣為,的過渡矩陣為,B=A.,()=()B,-1,證明定理3由假設有另設由基到基的過渡矩陣為B，則有,所以有由于和都是中的基，結合第二節(jié)的定理2，有,AB=E=BA.從而A可逆，且,反過來，若是任一n階可逆矩陣，為中一組基，取于是有因A可逆，從而有這表明向量組可由向量組線性表示.,因而也是的一組基，并且A就是由基.,知,再由假設,也線性無關,線性無關,到基的過渡矩陣,五、坐標變換公式,定理4設和為中的,兩組基，且基變換公式為,()=()A,,中的向量α在基和下,的坐標分別為，則有,=,A,稱上式為坐標變換公式.,T,證明因(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)A,又α=x1α1+x2α2+…+xnαn=(α1,α2,…,αn),，,α=y1β1+y2β2+…+ynβn=(β1,β2,…,βn),，,=(α1,α2,…,αn)A,，,所以(α1,α2,…,αn),=(α1,α2,…,αn)A,，,從而,=A,即(x1,x2,…,xn)=(y1,y2,…,yn)AT.,注基變換公式還有其他表示形式,如果為中的兩組基，,且基變換公式為,()=()A,,又若中的向量在兩組基下的坐標為,，則有,=,A,T,即,=,A,或,=,A,-1,例5給定R3的兩組基,的坐標為（1，－1，1），求,下的坐標；,的坐標為（1，－1，1），求,下的坐標.,解,則有,(2)設,下的坐標為,則,有坐標變換公式,=,P,T,(3)設向量,下的坐標為,得,下的坐標為,由坐標變換公式,=,T,P,*六、子空間及其維數(shù)設W是的一個非空子集，若對于W中的任意兩個向量α與β的和α+β仍在W內，則說W對于的加法是封閉的；同樣，如果W中任意向量α與任意實數(shù)k的乘積kα仍在W內，就說W對于數(shù)乘是封閉的.定理5設L是的一個非空子集，如果L對于的加法及數(shù)乘是封閉的，則L本身也是實數(shù)域R上的一個向量空間.,稱L為的一個子空間.,例6由的單個零向量構成的子集L={0}滿足定理5的條件，所以它是的一個子空間，稱為零子空間.,顯然是其自身的子空間.,例7中的向量的一切線性組合組成的集合是的一個子空間，并稱為由向量組生成的子空間,且其維數(shù)為R()，該子空間記作L().由于子空間L是的一個子集，所以L中線性無關向量的個數(shù)不超過n，因此dimL≤dim.特別地，我們規(guī)定零子空間的維數(shù)為零.,