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.,第3章 正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法,【本章內容提要】 正弦電路的基本概念； 正弦量的相量表示及正弦電路的相量分析法； 正弦電路的功率及功率因數(shù)； 串聯(lián)諧振與并聯(lián)諧振； 三相電路； 互感電路與理想變壓器。,.,（1）正弦量的三要素； （2）正弦量的相量表示方法及相量圖； （3）R、L、C各元件VCR的相量形式； （4）正弦電路的相量分析法； （5）正弦電路的功率及功率因數(shù)的提高； （6） 對稱三相電源及對稱三相電路的計算。,本章內容提要,重點：,（1）幾個同頻率正弦電壓、電流的合成只滿足相量形式合成、 瞬時值（解析式）合成，而不滿足有效值合成； （2）諧振電路的諧振條件及諧振電路的諧振特征。,難點：,.,3.1 基爾霍夫定律及支路電流分析法,正弦量：正弦電壓、電流統(tǒng)稱正弦量。 正弦量的瞬時值：一個周期內，正弦量在不同瞬間具有不同的值，將此稱為正弦量的瞬時值，一般用小寫字母如i（t）、u（t）或i、u來表示時刻正弦電流、電壓的瞬時值。 正弦量的解析式：表示正弦量的瞬時值隨時間變化規(guī)律的數(shù)學表達式叫做正弦量的瞬時值表達式，也叫解析式，用i（t），u（t）或i、u表示。 正弦波：表示正弦量的瞬時值隨時間變化規(guī)律的圖像叫正弦量的波形。 正弦電壓u（t）、正弦電流i（t）的解析式可寫為,,,,3.1.1 正弦量的三要素,.,,設正弦交流電瞬時值的一般表達式為(即解析式),可見，每個正弦量都包含三個基本要素：最大值或幅值（Um、Im）、角頻率ω和初相位（ ψu 、 ψi ）。它們分別反映了正弦量的大小、變化的快慢及初始值三方面的特征。,u=Um sin(ωt+ψu),i=Im sin(ωt+ψi),表示正弦量的瞬時值隨時間變化規(guī)律的數(shù)學式叫做正弦量的瞬時值表達式,.,是正弦量瞬時值中最大的值。一般用大寫字母加下標m 表示。 即U m或I m,設正弦交流電流：,正弦量的三要素,正弦量瞬時值中的最大值叫振幅，也叫峰值，振幅用來反映正弦量的幅度大小。有時提及的峰-峰值是指電壓正負變化的最大范圍，即等于2U m。必須注意，振幅總是取絕對值，即正值。,1、最大值（幅值）,.,與交流電熱效應相等的直流電定義為交流電的有效值。用大寫字母 I、U 表示。正弦量的有效值是根據它的熱效應確定的。以正弦電流i（t）為例，流過電阻R，如果在一個周期T內產生的熱量與一個直流電流i在同一電阻上產生的熱量相同，則定義該直流電流值為正弦電壓i（t）的有效值。據此定義有：,1）電流的有效值,W2=I 2RT,2、交流電的有效值,設電流 i(t)=Imsin(? t+?i),.,電壓的有效值：正弦電壓u（t）是定義為加在電阻R兩端的電壓，如果在一個周期T內產生的熱量與一個直流電壓U加在同一電阻上產生的熱量相同，則定義該直流電壓值為正弦電壓u（t）的有效值。據此定義有：,2) 電壓的有效值,設：u（t）= Umsin（ωt + ? u ），則其有效值U為,.,周期:就是交流電完成一個循環(huán)所需要的時間，用字母T表示，電位為秒（s）。,2、正弦量的周期、頻率及角頻率：,頻率:單位時間內交流電循環(huán)的次數(shù)稱為頻率，用f 表示。,由定義可知，頻率與周期互為倒數(shù)關系。,頻率的單位為1/秒，又稱赫茲（Hz），常用的單位還有kHz、MHz及GHz,角頻率ω ：角頻率ω是正弦量單位時間內變化的電角度，單位是弧度/秒（ rad/s ）。正弦量每變化一個周期T 的電角度相當于2π電弧度，因此角頻率ω與周期T 及頻率f 的關系如下：,.,3、相位(ωt+ψi)、初相位ψ和相位差φ ：,1)相位差φ：兩個同頻率正弦量的相位之差。如：u、i 的初相位分別為ψu 、ψi ，則 u、i 的相位差為:,初相位ψ：表示正弦量在t=0時刻的相角。其值與計時起點有關，一般用 π>ψ ≧ - π的角度來表示。規(guī)定|? |≤π。初相反映了正弦量在t = 0 時的狀態(tài)。,(ωt+ψu)- (ωt+ψi)= ψu - ψi = φ,如果 φ>0,稱u超前i，或i滯后u；,設u=Um sin(ωt+ψu),,i=Im sin(ωt+ψi),φ= (ωt+ψu)- (ωt+ψi)= ψu - ψi,如果φ<0,稱i超前u，或u滯后I;,則相位差:,如果φ=0,稱i與u，同相位.,注:,1、兩同頻率的正弦量之間相位差為常數(shù)，與計時起點的選擇無關。,.,φ =ψu –ψi >0電壓超前電流 ?,φ=ψu –ψi =-900 電流超前電壓900,φ=ψu –ψi =00電壓與電流同相,φ=ψu –ψi =1800電壓超前電流1800，即電壓與電流反向,幾種常見情況,.,工程上說的正弦電壓、電流一般指有效值，如設備銘牌額定值、電網的電壓等級等。但絕緣水平、耐壓值指的是最大值。,測量中，電磁式交流電壓、電流表讀數(shù)均為有效值。,* 區(qū)分電壓、電流的瞬時值、最大值、有效值的符號。,我國和世界上大多數(shù)國家，電力工業(yè)的標準頻率即所謂的“工頻”是f = 50 Hz，其周期為0.02 s，少數(shù)國家（如美國、日本）的工頻為60 Hz。,* 有線通訊頻率：300 - 5000 Hz,* 無線通訊頻率： 30 kHz - 3×104 MHz,在其他技術領域中也用到各種不同的頻率，如聲音信號的頻率為20～20k Hz，廣播中頻段載波頻率為535～1605Hz，電視用的頻率以MHz計，高頻爐的頻率為200～300kHz，目前無線電波中頻率最高的是激光，其頻率可達106MHz（即1GHz）以上。,.,下圖所示給出了幾種不同計時起點的正弦電流的波形。由波形可以看出在一個周期內正弦量的瞬時值兩次為零。,,規(guī)定：靠近計時起點最近的，并且由負值向正值變化所經過的那個零值叫做正弦量的零值，簡稱正弦零值。正弦量初相的絕對值就是正弦零值到計時起點（坐標原點）之間的電角度。,初相的正負這樣判斷：看正弦零值與計時起點的位置，若正弦零值在計時起點之左，則初相為正，如圖（a）所示；,若在右邊，則為負值，如圖（b）所示；,若正弦零值與計時起點重合，則初相為零，如圖（c）所示。,.,例：圖所示給出一正弦電壓的波形，試根據所給條件確定該正弦電壓的三要素，并寫出其三角函數(shù)式 。,假定此電流的為 i（t）= 20sin（50πt + ?i ）A 由圖可知正弦電流在t = 5 ms時，i = 0， 即 20sin（50π×0.005 + ?i ）= 0 因此 50π×0.005 + ? i = 0,解: 由波形圖可知：,T = (25 – 5)×2 = 40 ms = 0.04 s,角頻率,Im = 20 A,電流振幅,周期,解析式,結論,.,解： 電壓u（t）與電流i1（t）的相位差為 ? = （-180o）-（- 45o ）= - 135o＜0 所以u（t）滯后i1（t）135o 。 電壓u（t）與電流i2（t）的相位差為 ? = -180o - 60o= - 240o 如右圖所示 由于規(guī)定|?|≤π，所以u（t）與i2（t）的相位差應為? = - 240o + 360o = 120o＞0，因此u（t）超前i2（t）120o 。,例： 已知正弦電壓、電流的解析式為 u（t）= 311sin（70 t -180o ）V i1（t）= 5 sin（70 t - 45o ）A i2（t）= 10 sin（70 t + 60o ）A 試求電壓u（t）與電流i1(t）和i2(t）的相位差并確定其超前滯后關系,,.,3.2 正弦量的相量表示,解析式（三角函數(shù)表示法）,正弦量的波形圖（正弦曲線表示法）,上面兩種表示方法都反映了正弦量的三要素，表示出正弦量的瞬時值隨時間變化的關系。,正弦量表示方法（相量表示法 ）,實際中采用的是復數(shù)表示形式,即 相量表示法,為什么正弦量可以用矢量表示？,設正弦量:,若:矢量長度 = U m,矢量與橫軸夾角 = 初相位y,則:該旋轉矢量每一瞬時在縱軸上的投影即表示相應時刻正弦量的瞬時值。,且以角速度ω按逆時針方向旋轉，,即在平面坐標上的一個旋轉矢量可以表示出正弦量的三要素。,.,復數(shù)與復平面上的點一一對應，此時復數(shù)可用點的橫縱坐標，即復數(shù)的實部、虛部來描述；復數(shù)與復平面上帶方向的線段（復矢量）也具有一一對應關系，此時復數(shù)可用該線段的長度和方向角，即復數(shù)的模和幅角來描述。如圖右所示直角坐標系中，實軸（+1）和虛軸（+j）組成一個復平面，該復平面內，點A的坐標為（a，b），復矢量 的長度、方向角分別為r、?，則它們之間的關系為,3.2.1 復數(shù)的表示形式及運算規(guī)則,復平面如左圖所示,下面復習復數(shù)的有關知識,.,矢量可以用復數(shù)表示，所以用矢量表示的正弦量也可以用復數(shù)表示。采用復數(shù)坐標，實軸與虛軸構成的平面稱為復平面。,圖示中實數(shù) A=a+jb，a 為實部，b 為虛部。,3.2.1 復數(shù)的表示形式及運算規(guī)則,其中a、b 叫做復數(shù)的實部、虛部；r、? 叫做復數(shù)的模、幅角，規(guī)定幅角|?|≤π。,a = r cos? ， b = r sin ?,.,,,,（3） 指數(shù)形式,（4）極坐標形式,由根據歐拉公式,1、復數(shù)的表示形式,（2） 三角函數(shù)形式 A = rcos? + j rsin?,（1）代數(shù)形式 A = a + jb,其中j 叫做虛數(shù)單位，且 j2 = -1，,.,ejp/2 =j , e-jp/2 = -j, ejp= –1 故 +j, –j, -1 都可以看成旋轉因子。,幾種不同? 值時的旋轉因子：,,,,I? ejq 相當于I逆時針旋轉一個角度q ，而模不變。故把 ejq 稱為旋轉因子。,.,2、復數(shù)的運算規(guī)則,復數(shù)相加或相減時，一般采用代數(shù)形式，實部、虛部分別相加減。即 A±B = （a1±a2）+（b1±b2） 復數(shù)相加或相減后，與復數(shù)相對應的矢量亦相加或相減。在復平面上進行加減時，其矢量滿足“平行四邊形”或“三角形”法則。,1）復數(shù)的加減法,A+B,.,復數(shù)相乘或相除時，以指數(shù)形式和極坐標形式進行較為方便。兩復數(shù)相乘時，模相乘，幅角相加；復數(shù)相除時，模相除，幅角相減。以極坐標形式為例：,2）復數(shù)的乘除法,.,[例] 已知 A1=10+j5 , A2=3+j4 . 求 A1·A2 和,解：方法一,.,已知 A1=10+j5 , A2=3+j4 . 求 A1·A2 和,解：方法二,.,,,一個復數(shù)可用極坐標形式表示為：A =,3.2.2 正弦量的相量表示,不難看出，該復數(shù)的虛部即是一個正弦電壓的解析式，而且包含了正弦電壓的三要素。因此，將其稱為對應于正弦量的相量，表示為 。,1、正弦量的相量表示形式,則：,設,可見，相量用大寫字母上面加一點表示，電壓相量用 表示，電流相量用 表示，對應的模用有效值U和I，而一般不用振幅表示。所以，一個正弦電壓u（t），電流i（t）的解析式與其對應的相量形式有以下關系,.,關于正弦量的相量表示，需注意以下幾點：,（3）后面關于正弦電路的分析都是采用的相量分析法。所謂相量分析法，就是把電路中的電壓、電流用相量表示，參數(shù)用復數(shù)表示，然后用相量形式進行運算的方法。由前面分析可知，相量分析法實際上利用了復數(shù)的四則運算。,（2）若已知一個正弦量的解析式，可以由有效值及初相角兩個要素寫出其相量形式，這時角頻率 是一個已知的要素，但 不直接出現(xiàn)在相量表達式中。,.,,,,,,,正弦量的相量用復平面上一條帶方向的線段（復矢量）來表示。把畫在同一復平面上表示正弦量相量的圖稱為相量圖。,2、相量圖,2）相位的幅角以逆時針方向角度為正，順時針方向角度為負。,1）只有同頻率的正弦量，其相量圖才能畫在同一復平面上。,相量圖規(guī)定如下：,正弦量的相量表示,稱 為正弦量 i(t) 對應的相量。,正弦量的相量表示:,相量的幅角表示正弦量的初相位,.,加一個小圓點是用來和普通的復數(shù)相區(qū)別(強調它與正弦量的聯(lián)系)，同時也改用“相量”，而不用“向量”，是因為它表示的不是一般意義的向量，而是表示一個正弦量。,同樣可以建立正弦電壓與相量的對應關系：,解：,試寫出電流的瞬時值表達式。,.,相量圖相加兩種畫法如下面圖所示,第一種畫法,第二種畫法,在復平面上進行加減時，其矢量滿足“平行四邊形”或“三角形”法則。,.,下面左圖是4個相量相加，可以看出這種頭尾相接的畫法比逐個用平行四邊形相加要好很多。,對電路進行分析計算時一般是用相量圖與解析計算相結合。,相量相加A與B依次相接,相量相減A與相反B依次相接,.,例 寫出下列各正弦量的相量形式，并畫出相量圖。 u1（t）= 10sin（100πt + 60o ）V u2（t）= -6sin（100πt + 135o ）V u3（t）= 5cos（100πt + 60o ）V,,解：,因為 u2（t）= -6sin（100πt + 135o ）,u3（t）= 5cos（100πt + 60o = 5sin（100πt + 60o + 90o ） = 5sin（100πt + 150o ）V,=6sin（100πt + 135o –180o）=6sin（100πt - 45o ）V,其相量圖如圖所示。,.,一、電阻,相量表示：,(3)有效值關系：UR=RI,(2)相位關系：u, i 同相,特點：(1)u， i 同頻,或,(1) u, i 關系,相量圖：,3.3 電阻、電容、電感的相量模型,正弦電路中，元件上電壓與電流關系包括三個方面：頻率關系，大小關系（通常指有效值關系）和相位關系。,選取電阻元件的電壓、電流為關聯(lián)方向，根據歐姆定律有,.,瞬時功率：,波形圖及相量圖：,瞬時功率以2?交變。但始終大于零，表明電阻始終是吸收（消耗）功率。,(2) 功率,有功功率(平均功率)：,瞬時功率在一個周期內的平均值,.,(3) 有效值關系： U=w LI,(2) 相位關系：?u=?i +90° (u 超前 i 90°),1) u, i 關系,特點：(1) u, i同頻,或,3.3.2 電感元件電壓、電流關系的相量形式,.,,相量形式：,感抗的物理意義：,XL=? L，稱為感抗，單位為? (歐姆),(1) 表示限制電流的能力；,(2) 感抗和頻率成正比, w =0 直流（XL=0) , w??開路；,.,波形圖：,特點： (1) p有正有負,放-,儲+,儲+,放-,(2) p一周期內正負 面積相等,2) 平均功率(有功功率)：,無功功率Q：瞬時功率的最大值,單位：var(乏) kvar,(2) 功率,(3)電感元件有的時刻是吸收電功率，有的時刻發(fā)出電功率。平均功率為零。,結論：電感元件是儲能元件，不消耗能量，只和電源進行能量交換。,1) 瞬時功率,.,,有效值關系： IC=w CU,相位關系： i 超前 u 90°,(1) u, i 關系,3.3.2 電容元件電壓、電流關系的相量形式,方便起見設u為零相位,.,相量形式：,相量模型,令XC=1/w C， 稱為容抗，單位為 W(歐姆),頻率和容抗成反比, w ?0， |XC|?? 直流開路(隔直),w ?? ，|XC|?0 高頻短路(旁路作用),.,1) 瞬時功率,2) 平均功率,,與電感元件相似，電容元件有的時刻是吸收電功率，有的時刻發(fā)出電功率。平均功率為零。,（2）電容元件的功率,.,1) p有正有負,2) p一周期內正負面積相等,P = 0,QC=-UI 單位：var(乏) kvar,4)無功功率Q：,有功功率P,3)電容元件有的時刻是充電（吸出電功率） ，有的時刻放電。平均功率為零。,特點：,瞬時功率以2?交變，有正有 負，一周期內剛好互相抵消。,.,小結：,