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1、摘　要 本文所研究的是廣義似然比檢驗法的理論基礎、基本原理和應用，這是一個很具有一般性的檢驗法，由之可以派生出很多的具體的檢驗法． 作為預備知識先研究了引理及似然比檢驗法，似然比檢驗法所求出的否定域具有很好的性質，但卻有它的局限性，因此我們有必要去尋找更好的方法，廣義似然比檢驗法的適用范圍很廣，本文主要是介紹了廣義似然比檢驗法的具體方法并利用廣義似然比檢驗法推導出單個正態(tài)總體和兩個正態(tài)總體的各種情況下的否定域，我詳細推導了單個正態(tài)總體下對均值和方差的單邊和雙邊檢驗，而對兩個正態(tài)總體的情況只給出了結論． 關鍵詞：引理；似然比檢驗法；廣義似然比檢驗法；正態(tài)分布 Abstract T

2、his article studies is the generalized likelihood ratio inspection method rationale, the basic principle and the application, this is one has the general inspection method very much, might derive very many concrete inspection methods by it. To study the lemma and the likelihood ratio inspection

3、 method first as the preparation knowledge, otherwise the localization which the likelihood ratio inspection method extracted has the very good nature, but had its limitation actually, therefore we had the necessity to seek a better method, the generalized likelihood ratio inspection method applicab

4、le scope was very broad, this article mainly introduced the generalized likelihood ratio inspection method concrete method and used the generalized likelihood ratio inspection method to infer the single normal population and in two normal population each kind of situation. Otherwise the localization

5、, I have inferred under in detail the single normal population to the average value and the variance unilateral and the bilateral examination, but has only given the conclusion. Key words: Lemma；Likelihood ratio inspection method；Generalized likelihood ratio inspection method；Normal distributio

6、n 前　言 廣義似然比檢驗是數(shù)理統(tǒng)計的重要內(nèi)容之一，也是一大難點，它在假設檢驗中的地位類似于最大似然估計在參數(shù)估計中的地位，本科數(shù)學類專業(yè)數(shù)理統(tǒng)計教學大綱對該內(nèi)容的要求比較低，相應的教材只介紹廣義似然比檢驗的基本概念和基本方法，其他內(nèi)容甚少．本文就是在原有大綱和教材要求的基礎上展開研究，總結搜集探討了以下內(nèi)容：第一章引理及似然比檢驗法，似然比檢驗法的最優(yōu)性，似然比檢驗法的無偏性，第二章廣義似然比檢驗法的前提和方法，第三章用廣義似然比檢驗法重點解決了單個正態(tài)總體下的方差已知的情況下對均值的雙邊檢驗和單邊檢驗，方差未知的情況下

7、對均值的雙邊檢驗和單邊檢驗，均值已知的情況下對方差的雙邊檢驗和單邊檢驗，均值未知的情況下對方差的雙邊檢驗和單邊檢驗，簡單介紹了兩個正態(tài)總體下的各種情況的檢驗，最后我用兩個表格總結了上述討論中得出的結果． 目　錄 第1章 引理及似然比檢驗法 1 1.1 引理 1 1.2 似然比檢驗法 2 第2章 廣義似然比檢驗法 6 第3章 廣義似然比檢驗法的應用 7 3.1 單個正態(tài)總體的假設檢驗 7 3.2 兩個正態(tài)總體的假設檢驗 17 3.3表格 19 結　論 21 致　謝 23 22 第1章 引理及似然比檢驗法 1.1 引理 設是連續(xù)型隨機變量，密度函數(shù)是 ..

8、檢驗問題： 設是的樣本，記 ， ． 定理1.1 給定設 (這里) 適合 ， 則對任何否定域只要就一定有 ． 即是所有檢驗水平不超過的否定域中犯第二類錯誤的概率最小的一個.證明 設是任何滿足的否定域，則 　　　　= =． 1.2 似然比檢驗法 1.2.1 似然比檢驗法 根據(jù)引理，否定域具有最優(yōu)性,其中 叫做似然比．這個否定域確定的檢驗法叫做似然比檢驗法．當似然比的分布函數(shù)連續(xù)時，是存在的. 例1 設檢驗問題： 設是來自總體的樣本,求該檢驗問題的否定域

9、. 解 的密度函數(shù)是 ， 根據(jù)似然比檢驗法只須尋找型的否定域，其中 ， 為了必須且只須 ，記， 而當正確時 ,則． 故應選滿足 查表知 ， 故該檢驗問題的否定域為 ． 1.2.2 似然比檢驗法的最優(yōu)性 定理1.2 設的分布密度是的可能值集合 與無關．設 是的樣本，若在下的分布函數(shù)是連續(xù)的，則對任何，存在使得是水平為的唯一最大功效的否定域．這里“唯一”的含義是：若也是水平為的最大功效的否定域，則(是Lebesgue 測度，) ． 證明 由于的分布函數(shù)連續(xù)，故有，使得 于是的水平是．設是的任一子集，檢驗水平不超過，即 ，我們來證明：若則必有

10、 ． （1.1） 實際上 這里及下面我們恒用代替.分兩種情況討論． （一） 此時在集合上　　　　 則 但在上 故 　　 　　　　　　　　 =． 故(1.1)式成立. （二） 令 因為的分布函數(shù)連續(xù)，故 即 但 故.從而 ． 故(1.1)仍然成

11、立.證明完畢 1.2.3 似然比檢驗法的無偏性 定理 在引理的假定下 證明 記，則 　　　　　　　= =． 第2章 廣義似然比檢驗法 上面我們研究的是似然比檢驗法，我們可以發(fā)現(xiàn)利用似然比檢驗法求出的否定域既是一致最大功效的又是無偏的，但卻有它的局限性，即未知參數(shù)的取值范圍必須是的形式，這是很少見的，那么對于一般的我們經(jīng)常采用似然比檢驗法的推廣廣義似然比檢驗法，這是一個很具有一般性的檢驗法

12、，由之可以派生出很多的具體的檢驗法 設樣本分布具有密度函數(shù)(或概率函數(shù))為. 檢驗問題: 　 稱為樣本值()的廣義似然比． 由定義知，.設分別表示在及上的最大似然估計，則 原假設成立，即的真值確定在內(nèi)，則也在內(nèi)或離很近，使得 從而.當顯著地大于1時，有即離很遠；因與的真值很接近,因而的真值在內(nèi)的可能性極小,即極不可能成立.故應該取否定域，其中滿足 第3章 廣義似然比檢驗法的應用 3.1 單個正態(tài)總體的假設檢驗 1、 設，已知，求檢驗問題； 的廣義似然比檢驗否定域． 解 正態(tài)

13、分布的最大似然估計，似然函數(shù)為 ． 故 廣義似然比 ． 下面我們來求： 否定域 其中滿足 即 從而 （3.1） 故否定域為 （3.2） 2、設 ,未知，求檢驗問題: 的廣義似然比檢驗否定域． 解 似然函數(shù)為 正態(tài)分布的最大似然估計為 ， 故 　　　　　　　　　　　 其中 ，

14、由于是關于的嚴格增函數(shù)，故廣義似然比檢驗的否定域為，其中滿足 當成立時，，故 　　　　　　　　　　　　　 （3.3） 即 . （3.4） 例2 某批礦砂的個樣本中的鎳含量，經(jīng)測定為(%) 設測定值總體服從正態(tài)分布，問在=下能否接受假設，這批礦砂的鎳含量的均值為 解 按題意需檢驗　　　　 設測定值總體服從正態(tài)分布，此處未知，此檢驗問題的否定域為，此處,,查表得，又算得 ，，，, 不落在否定域內(nèi)，故接受，即認為這批礦砂的鎳含量的均值為 3、設，

15、已知，，求檢驗問題： 的廣義似然比檢驗否定域． 解 似然函數(shù)為 　　　　　　　　　=． 時，正態(tài)分布的最大似然估計． 因時，，我們只需考慮的情況： 否定域 其中滿足 即 則 　　 （3.5） 故 　　　　　　　 （3.6） 同理我們可求得，已知，，檢驗問題： 的廣義似然比檢驗否定域為 例3 要求一種元件平均使用壽命不得低于小時，生產(chǎn)者從一批這種元件中隨機抽取件，測得其壽命的平均值為小時.已知該種元件壽命服從標準

16、差為小時的正態(tài)分布.試在顯著性水平=下判定這批元件是否合格？設總體均值為，未知.即需檢驗假設 . 解 在這里，=為已知，因此檢驗問題的否定域為 = ，，，，，得<， 落在否定域內(nèi)，故應拒絕，即認為這批元件是不合格的． 4、設，未知，求檢驗問題：的廣義似然比檢驗否定域． 解：似然函數(shù)為 時，正態(tài)分布的最大似然估計為 ，． 故 因時， 我們只需考慮的情況 其中 且 故　　　　 其中滿足 當成立時，，故 　　　　　　　　　　　　

17、 （3.7） 從而得到廣義似然比檢驗否定域為 （3.8） 同理我們可求得： 設，未知，求檢驗問題：的廣義似然比檢驗否定域為 ． 例4 下面列出的是某工廠隨機選取的支部件的裝配時間（分）：9.8 10.4 10.6 9.6 9.7 9.9 10.9 11.1 9.6 10.2 10.3 9.6 9.9 11.2 10.6 9.8 10.5 10.1 10.5 9.7.設裝配時間的總體服從正態(tài)分布，，均未知.是否可以認為裝配時間的均值顯著地大于（取=）？ 解 假

18、設檢驗問題為（未知），故否定域為 =，=，=，=，而=，，，=，因此不落在否定域內(nèi)，接受，即認為裝配時間得均值顯著地大于 5、設，已知，求檢驗問題：的廣義似然比檢驗否定域． 解 似然函數(shù)為 時，的最大似然估計 時，= ． 故 設 則 當時，遞增，而當時，遞減而當為真時 故 　　　 （3.9） 故由 知 　　　　　　　　　 （3.10） 其中是個自由度的分布的密度函數(shù)． 6、設，未知.求檢驗問題： 的廣義似

19、然比檢驗否定域． 解 似然函數(shù)為 時，， 時，， ． 故 ． 設，則，當時遞增，而當時，遞減而當為真時， 故 （3.11） 其中，滿足 故 　　　　　　　　　.　　　 （3.12） 其中是個自由度的分布的密度函數(shù). 7、設~,=已知， 求檢驗問題:的廣義似然比檢驗否定域． 解 似然函數(shù)為 時,的最大似然估計為 時 當時, 當時, ． 因,是關于 = 的增函

20、數(shù),故 且 而當為真時， 故 　　　　　　　　　　　 　 （3.13） 從而 （3.14） 8、設~,未知． 求檢驗問題的廣義似然比檢驗否定域 解 似然函數(shù)為 當時,的最大似然估計為 當時 當時, 當時, ． 因,是關于 = 的增函數(shù),故 且

21、 故 　　　　　　　　. 　　　　　　 （3.15） 從而 　　 （3.16） 例5 某種導線，要求其電阻的標準差不得超過（歐姆）.今在生產(chǎn)的一批導線中取樣品根，測得=（歐姆），設總體為正態(tài)分布，參數(shù)均未知.問在水平=下能否認為這批導線的標準差顯著地偏大？ 解 由題意，需要檢驗的假設為，該檢驗問題的否定域為 =，=，=，= 而=，落在否定域內(nèi)，故應拒絕，即認為這批導線的標準顯著偏大． 以上我們討論的只是單個總體的情況,對于兩個總體的情況方法完全一樣，我們只給出結論，不去詳細求解． 3.2

22、 兩個正態(tài)總體的假設檢驗 1、設 檢驗問題： 此時取檢驗統(tǒng)計量 （3.17） 則該檢驗問題的否定域為 其中， 滿足 （3.18） 2、設 檢驗問題： 此時取檢驗統(tǒng)計量 則該檢驗問題的否定域為 其中滿足 　　　　　　　　　　 　　　 （3.19） 3、設 檢驗問題： 此時取檢驗統(tǒng)計量 　　 （3.20） 則該檢驗問題的否定

23、域為 其中 滿足 　　　　　　　　　　 （3.21） 4、設 檢驗問題： 此時取檢驗統(tǒng)計量 該檢驗問題的否定域為 滿足 　 （3.22） 3.3表格 表3-1 單個正態(tài)總體的假設檢驗 零假設 備擇假設 檢驗統(tǒng)計量 分布 否定域 的決定 已知 已知 （3.6） （3.5） 已知

24、 已知 （3.2） （3.1） 已知 已知 （3.14） （3.13） 已知 已知 （3.10） （3.9） 未知 未知 （3.8） （3.7） 未知 未知 （3.4） （3.3） 未知 未知 （3.16） （3.15） 未知 未知 （3.11） （3.12） 表3-2 兩個正態(tài)總體的假設檢驗 零假設 備擇假設 檢驗統(tǒng)計量 分布 否定域 的決定

25、 （3.17） （3.18） （3.19） （3.20） （3.21） （3.22） 結　論 本文主要是研究了廣義似然比檢驗法的具體方法并利用廣義似然比檢驗法推導出單個正態(tài)總體和兩個正態(tài)總體的各種情況下的否定域，詳細推導了單個正態(tài)總體下對均值和方差的單邊和雙邊檢驗，得到了各檢驗問題否定域見表3-1，對于兩個正態(tài)總體的情形，也給出了結論見表3-2．  參考文獻 [1] 陳家鼎．數(shù)理統(tǒng)計學講義[M]．北京：高等教育出版社，1993． [2] 范金城，吳可法．統(tǒng)計推斷引導[M]．北京：科學出版社，2001．

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