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1、矩陣對角化問題 高等代數(shù)中，在講到線性空間和線性變換時，一個主要內(nèi)容是討論矩陣對角化,即在什么條件下矩陣與對角矩陣相似.而矩陣對角化的原始問題是：設(shè)是有限維復(fù)線性空間,是上的線性變換，能否在中找到一個基,使得在這個基下的矩陣比較簡單.作為純粹的幾何問題就是能否分解成一些不變子空間的直和.討論這個幾何問題的證明對于了解線性空間有很大好處.本文將對分解成所謂根子空間的直和給出一種較為初等的證明，并由根子空間分解定理推出線性變換(或階方陣)可對角化的充要條件.把這些充要條件與其他線性變換（或階方陣）可對角化的充要條件進行匯總比較，從而得到線性變換的矩陣對角化的方法的優(yōu)劣，便于學(xué)習(xí)和研究根據(jù)具體情

2、況選用. 1．預(yù)備知識 1.1有關(guān)定義 定義1.1.1 線性空間一個變換稱為線性變換，如果對于中任意的元素和數(shù)域中任意數(shù)K都有 (+)=（）+（） (）= () 定義1.1.2 設(shè)是數(shù)域上的線性空間的線性變換，W是的子空間，如果W中的向量在下像仍在W中，換句話說，對于W中任一向量，有,我們就稱是的不變子空間，簡稱-空間. 定義1.1.3設(shè),線性空間的子空間，如果和+中每個向=+,是唯一的,這個和就稱為直和. 定義1.1.4 如果數(shù)域上的階矩陣A相似于對角陣，則可對角化 定義1.1.5 設(shè)是數(shù)域上的階矩陣，如果數(shù)域上的多項式使得= 0,則稱以為根.在以為根的多項式中次數(shù)

3、最低且首相系數(shù)為1的多項式稱為的最小多項式. 定義1.1.6 設(shè)是數(shù)域上的維線性空間的線性變換，如果存在非零向量,數(shù),N,使得，那么稱為屬于的根向量.線性變換的屬于特征根的根向量的全體，再添上零向量所組成的的子集是的一個子空間，稱的這個子空間為的屬于特征值的根子空間. Sylvester不等式 設(shè)均為階矩陣，秩（）+秩()+秩（） 1.2 線性空間根子空分解定理 引理 設(shè)是n 維復(fù)線性空間V 的線性變換, 是的所有不同的特征值,且其中是V 的全部根子空間,則在 上為冪零線性變換,而在上為可逆線性變換. 證明 不失一般性,只證明在上為冪零線性變換,而在上為可逆線性變換.在中取一個

4、基 , 則有正整數(shù) ,使 , i = 1，2，…, t ,取p = max, 有, i = 1 ,2…t,于是對任意，令,則 =( )= ,即在上, = (為零變換) ,所以在上為冪零線性變換. 令W =,若不可逆,則一定有一個特征根是0 ,因而在W 上有屬于特征根0 的特征向量 (∈W) ,即有 ==0, 亦即(0). 又因∈W = ,所以有=,其中 ( i = 2 ,…,s) 于是有正整數(shù),使 , i = 2 ,…, s ,令,則τ() = = 0 , i = 2 ,…, s,從而τ() = τ() + … + τ(ξs) = 0 , 另一方面, 因為 ，又()==

5、 這就導(dǎo)致了矛盾.所以在 上為可逆線性變換. 定理1.2.1 (根子空間分解定理) 設(shè)是維復(fù)線性空間V的線性變換, 是的所有不同的特征值,是屬于 的根子空間, i = 1 ,2 ,…, s ,則. 證明 設(shè)的特征多項式為 令 i = 1 ,2 ,…, s , 則 互素, 于是有多項式 , 使, 將 代入上式, 得 ,(為單位變換), 任給ξ ∈ V ,有ξ =(ξ) =ξ= , 記, i = 1 ,2 ,…, s ,于是. 下面證明 , i = 1

6、,2 ,…, 因為,由哈密爾頓- 凱萊定理 (為零變換),于是有=（為零變換） 即, i = 1 ,2,… , s ,所以,又顯然 ,故. 再證明上面的和是直和,設(shè), i = 1 ,2 ,…,s 由引理知在上為冪零變換，所以存在正整數(shù) ,使得在上(為零變換),又由引理 ，在上為可逆變換,所以 在上也是可逆變換,于是 0 ==（）= +（）=（） 從而=0 ,于是 , i = 1 ,2 ,… s,由零向量的表法唯一知 根子空間分解定理全部證完. 運用根子空間分解定理可以推出一些矩陣對角化的充要條件.對角矩陣可以認(rèn)你為是矩陣中最簡單的一種，一些復(fù)雜的矩陣可以通過適當(dāng)?shù)姆椒ɑ癁閷?/p>

7、陣.通過相應(yīng)對角陣的研究學(xué)習(xí),可以推知這些復(fù)雜矩陣的性質(zhì),促進對復(fù)雜矩陣的了解,簡化很多復(fù)雜工作,給學(xué)習(xí)和研究帶來很大方便.下面就矩陣對角化的充要條件作一詳細(xì)論述. 2. 矩陣可對角化的一些充要條件及矩陣對角化方法 2.1 特征向量法 定理2.1.1 設(shè)是維線性空間V的一個線性變換, 的矩陣可以在某一組基下為對角陣充要條件是, 有個線性無關(guān)的特征向量. 證明 設(shè)在基下具有對角陣.即 i=1,2…n 因此, 就是的個線性無關(guān)的特征向量. 反過來,如果有個線性無關(guān)的特征向量,那么就取為基.顯然, 在這組基下的矩陣是對角陣.

8、 證 畢. 例1. 設(shè)線性變換在基下的矩陣是(1), (2), 問A是否可以對角化? 解 (1)因為特征多項式為 = 所以A的特征值是-1(二重)和5 把特征值-1代入齊次方程組得 (1) 解得基礎(chǔ)解系是和 因此屬于-1的兩個線性無關(guān)的特征向量是 把特征值5代入(1)得基礎(chǔ)解系,所以屬于5的全部特征向量為 則在基下的矩陣為B= (2) ==，所特征值為1(二重)和-2. 對應(yīng)特征值1的特征向量為 對應(yīng)特征值-2的特征向量為 由此知有兩個線性無關(guān)的特征向量，由定理1知不能對角化. 運用此定理判定一個線性變換的矩陣是否可

9、以對角化的方法簡單易懂,但是過程比較繁瑣.先計算一個行列式求出的特征值,再利用方程組和特征向量的有關(guān)理論及求法計算出是否有個線性無關(guān)的特征向量.計算過程容易出錯.下面利用最小多項式給出一個線性變換的矩陣可角化的充要條件.此定理比定理2.1.1簡潔實用 2.2 最小多項式法 引理 設(shè)A是一個對角陣A=，并設(shè),的最小多項式為，那么A的最小多項式為的最小公倍數(shù). 證明 =，首先=0.因此能被A的最小多項式整除.其次.那么=0, =0,=0,因而，.并由此得.這樣就證明了是A的最小多項式. 這個結(jié)論可以推廣到A為若干矩陣組成的準(zhǔn)對角陣的情形. 即如果A=，的最小多項式為，i=1,2

10、,…,s.那么A的最小多項式為. 定理2.2.1 數(shù)域P上級矩陣A與對角陣相似的充要條件為A的最小多項式是P上互素的一次因式的乘積. 證明 根據(jù)引理的推廣形式，條件的必要性是顯然的. 下面證明充分性. 根據(jù)矩陣和線性變換之間的關(guān)系，我們可以定義任意線性變換的最小多項式，它等于其對應(yīng)矩陣的最小多項式.所以只需證明,若數(shù)域上某線性空間V的線性變換的最小多項式是上互素的一次因式的乘積，則有一組特征向量做成V的基. 實際上，由于.由定理1.2.1同樣的步驟可證，其中,把各自的基合起來就是V的基，而每個基向量都屬于某個，因而是的特征向量.

11、 證畢. 推論 復(fù)數(shù)矩陣與對角陣相似的充要條件是的最小多項式無重根. 不利用定理2.2.1,該推論也可證明.下面給出令一種證明. 證明 必要性 設(shè)A相似diag，所以存在可逆矩陣T使,(為對角陣),從而,不妨是A的互不相同的特征根 記 因而 = == 而 = = =diag=0 所以=0.于是，但是沒有重根，因而沒有重根. 充分性 設(shè)為最小多項式的互不相同的根,則由無重根=，于是==0 令rank=，則dim=-,所以A共有個線性無關(guān)的特征向量并且顯然.另一方面.

12、因而又有，故.這就說明了有個線性無關(guān)的特征向量由定理2.1.1知可對角化. 證畢. 例2. 判下列矩陣是否可以對角化. （1） （2） 解（1）可求的A的特征多項式為 由于的最小多項式為的因式，計算得,.而=0.因此的最小多項式為.顯然的最小多項式是實數(shù)域上互素的一次因式的乘積，從而由定理2.2.1知A可對角化. （2）可求得的最小多項式為== 由于的最小多項式為的因式，計算得, =0.因此的最小多項式為.從而由定理2.2.1知不可對角化.

13、 例3 =E,則與對角陣相似.(k=1，2…) 證明 由知A為多項式的零點，即=0.因的最小多項式，而無重根，所以無重根，故由推論知與對角陣相似. 對于單純的判斷一個線性變換的矩陣能否對角化運用定理2.2.1及其推論是很簡潔方便的，它部避免了運用定理2.1.1的繁瑣過程.但是對于既要判定某個數(shù)域上的線性變換的矩陣是否可對角化，對于可對角化的矩陣又要求出相似變換矩陣及矩陣特征值的題目來說運用定理2.2.1及推論是達(dá)不到要求的.而運用定理2.1.1雖然能達(dá)到要求但方法卻很繁瑣.下面給出的方法僅需利用矩陣的乘法運算便可判定一個矩陣是否相似與對角

14、陣，并且在判定的過程中簡潔的構(gòu)造出相似變換矩陣完全不需解性方程組. 2.3 矩陣的乘法運算法 定理2.3.1 設(shè)為階矩陣的全部相異特征值，其重數(shù)分別為，,則A與對角陣相似的充要條件是=0.(i=1,2,…,s) 證明 必要性 若A相似于陣對角陣，則存在可逆矩陣使得=,其中為階單位矩陣（i=1,2,…,s）于是 ==,于是 == 由于=0（j=1,2,…,s）.所以=0. 充分性 因為對于任何階矩陣都存在可逆矩陣P，使得 A= P,其中為jordan塊(j=1,2,...,s).因此要證可對角化，只要證=（j=1,2,…,s）,由于 ==P 所以若.則因P

15、可逆而有（j=1,2,…,s）.又當(dāng)時，可逆，所以，即(j=1,2,…,s) 定理2.3.2 設(shè)時階矩陣的全部相異特征根，其重數(shù)分別為，則于對角陣相似的充要條件是的秩為（j=1,2,…,s）. 證明 必要性 = 其中分別是階的零矩陣和單位矩陣（j=1,2,…,s）.由于P滿秩且.所以==. 充分性 用反證法 假設(shè)不可對角化，則因幾何重數(shù)代數(shù)重數(shù)，必至少存在一整數(shù)k使得>，于是時.由sylvester不等式知 > =矛盾.所以A可對角化. 推論1 設(shè)為階矩陣的相異的特征根，其重數(shù)為，則矩陣的列向量中由對應(yīng)于的個線性無關(guān)的特征

16、向量. 證明 因可對角化，由定理2.3.1得=0， ==0.由此，中每一列非零向量都是方程組X=0解向量,即的特征向量.又有定理2.3.2知，所以的列向量組中有恰好對應(yīng)于的個線性無關(guān)的特征向量. 上述的結(jié)論表明，要構(gòu)造可對角化矩陣A 的相似變換矩陣,完全可以不像傳統(tǒng)的方法那樣解方程組X=0，而只需對每一特征值（j=1,2,…,s）從矩陣乘積中直接找出個與對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量，這樣所得的個特征向量為列作一階矩陣即可. 推論2 若階可對角化矩陣只有兩個相異特征值（重）和（重），則矩陣（或的 (或)個線性無關(guān)列向量就是對應(yīng)（或）的特征向量的極大無關(guān)組. 這一結(jié)論進一步表明，在可

17、對角化矩陣只有2個相異特征值的情況下，不僅不需要解方程組，而且不需要計算矩陣的乘積就可以把對應(yīng)于不同特征值的特征向量立即求出. 例4 求下列矩陣A相似變換矩陣. (1)= （2）= 解 （1）的特征值=12，=3（二重） , 由于,所以A可對角化，有推論2知 的一個特征向量（取的第3列） 的2個線性無關(guān)的特征向量 故相似變換矩陣==， （2）A的特征值=-1(二重)，=5，=1，而= , 由推論2可得的特征向量. 的特征向量分別為 于是相似變換矩陣為P=== A=diag(-1,-1,5,-1). 上文討論了矩陣是否可對角化的判定及矩陣對角化方

18、法問題，給出了簡便易行的判定和求法.區(qū)別于傳統(tǒng)的方法，定理2.3.1定理2.3.2及推論把矩陣對角化問題歸結(jié)為矩陣的乘法運算，不需要解方程組就可以得到特征向量及相似變換矩陣,但是上述方法都沒有達(dá)到特征值，特征向量，相似變換矩陣同步求解的效果.下面引入-矩陣，改進在一般情形下矩陣對角化的方法，使判定和求解一步到位并得到矩陣對角化十分簡單的方法，主要依據(jù)下面兩個定理. 2.4 引入-矩陣推出數(shù)字矩陣可對角化的充要條件 定理2.4.1 設(shè)A是數(shù)域上的n階方陣，為其特征矩陣E為n階單位陣.如果經(jīng)過初等變換化為對角陣,則A的特征值為的對角線上元素的乘積的多項式的根. （證明略） 定理2.4.2

19、在定理2.4.1 的假設(shè)下，如果經(jīng)初等變換化為,且為對角陣，則 （1） 對于A的每個特征值，中與的零行對應(yīng)的行向量生成屬于的特征子空間. （2） 若A的特征值都在內(nèi)，設(shè)為A的全部不同的特征值，其重數(shù)分別為，則A可以對角化的充要條件是中零行的數(shù)目=的重數(shù)（i=1,2,…,s） 證明 (1)因為與的秩為，則總有可逆的-矩陣,,使. 即對施行對應(yīng)的一些行初等變換和對應(yīng)的一些列初等變換可使化為對角陣，有 (1) 這里相當(dāng)于初等列變換的右乘作用在而不作用于E. 因為=，所以=.于是對A的每個特征值有=diag() 設(shè)中有個零行，相應(yīng)的個為0的對角元記為，取中對應(yīng)的列向量,則 =0.因為

20、可逆，所以 =0 （2） 由于可逆，故列滿秩，從而由（2）知正是屬于的個線性無關(guān)的特征向量，再從（1）式，注意到中個非零行是行滿秩的.由中定理1知屬于的線性無關(guān)的特征向量就是中與的零行對應(yīng)的行向量，他們生成對應(yīng)的特征子空間. (2) 可對角化秩==,即=（i=1,2,…,s） 證畢. 基于以上討論我們不難得到矩陣對角化的簡單方法，其步驟如下： (1)對作初等變換化為,其中，則A的特征值恰是=0的根. (2) 如果的特征向量全在P內(nèi)，且對每個有中零行數(shù)目=的重數(shù)，則可以對角化，否則不可對角化. (3) 對于每個，在中取出與中零行對應(yīng)的行向量得A屬于線性無關(guān)的特征

21、向量. (4) 若可以對角化，作可逆矩陣，則，為階矩陣. 例5 判定下列矩陣可否對角化，若可以求可逆矩陣T，使為對角陣. (1) = (2) = 解 故的特征值是(二重),因中的零行數(shù)目的重數(shù),故不可對角化. (2) 故的特征值為（2重根）, .又中零行數(shù)=2=的重數(shù)；的零行數(shù)=1=的重數(shù),故可對角化，且由 = 可得出是A屬于2的線性無關(guān)特征向量 由=得是屬于-4的線性無關(guān)的特征向量. 令T=,則 參考文獻(xiàn) [1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù).北京：高等教育出版社，第88版，1988. [2] 許以超.代數(shù)學(xué)引論.上海：社會科學(xué)技術(shù)出版社，1966 [3] 錢吉林.矩陣及其廣義矩陣.武漢：華中師范大學(xué)出版社. [4] 王心介.高等代數(shù)與解析幾何.北京：科學(xué)出版社,2002. [5] 張遠(yuǎn)達(dá).線性代數(shù)原理.上海：上海教育出版社，1980. [6] 彭海明.對“矩陣特征值與特征向量同步求解方法探討”的改進意見.數(shù)學(xué)通報，1993(2):45-47. [7] 劉國洪.王寶智.利用矩陣的初等行變換對矩陣的特征值和特征向量同步求解,數(shù)學(xué)通報,1996,2. 15